דמיון משולשים

דמיון משולשים הוא נושא סופר חשוב. אין שאלה בבגרות 4 יחידות או בגרות 5 יחידות שאין בחלק הגיאומטריה שלה סעיף בנושא דמיון משולשים.

לדף זה 3 חלקים:

  1. הסבר של יסודות דמיון המשולשים, כולל: היכרות עם משפטי הדמיון, מה זה יחס דמיון?, יחס השטחים של משולשים דומים.
    בסוף חלק זה יש בוחן.
  2. הוכחה קשה יותר והיכרות עם מצבים נפוצים בהם יש דמיון משולשים.
  3. 11 תרגילים עם פתרונות מלאים. תרגילים קלים וקשים.

משפטי דמיון משולשים

משפט דמיון ראשון

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.ז.צ.

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שני

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור ז.ז הערה – ברור שאם שתי זוויות שוות במשולשים אז גם הזווית השלישית שווה.

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שלישי

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.צ.צ.

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

תכונות משולשים דומים

  1. במשולשים דומים שלושת הזוויות שוות בהתאמה זו לזו.
  2. במשולשים דומים היחס שיוצרים כל זוג צלעות מתאימות שווה ליחס שיוצרים זוג אחר של צלעות מתאימות. כלומר אם זוג צלעות מתאימות אחד גדול פי 3 מהאחר, אז גם עבור שתי זוגות הצלעות האחרות הצלע הגדולה גדולה פי 3 מהאחרת.
  3. יחס השטחים שווה לריבוע יחס הצלעות. כלומר אם היחס בין צלעות מתאימות הוא פי 3 אז היחס השטחים הוא 3² = 9.
  4. התיכונים / חוצי הזווית / הגבהים / ההיקפים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס בין הצלעות במשלשים הדומים.

על מנת להוכיח דמיון משולשים יש שלושה משפטי דמיון. כמו בחפיפת משולשים יש חשיבות רבה לסדר האותיות ברישום הדמיון. אות אחת שאינה במקום – ויש טעות שהורסת את השאלה כולה.

כיצד מוצאים את יחס הדמיון בין משולשים דומים

יחס הדמיון בין משולשים דומים הוא מספר שאם נכפיל את בו את צלעות משולש אחד נקבל את אורכי הצלעות של המשולש השני.

הנוסחה ליחס הדמיון היא צלע במשולש אחד לחלק בצלע המתאימה לה במשולש הדומה = יחס הדמיון

הנוסחה ליחס הדמיון היא צלע במשולש אחד לחלק בצלע המתאימה לה במשולש הדומה = יחס הדמיון

כפי שאתם רואים הנוסחה לא קשה. עיקר העבודה והקושי הוא במציאת הצלע הדומה. תרגיל: נתונים המשולשים הדומים ATG∼FRE אורכי הצלעות הן: AT=8, TG=12, RE=6, FE=3.

  1. מצאו את יחס הדמיון של המשולשים.
  2. השלימו בכול משולש את גדלי צלעות שלושת המשולשים.

פתרון הצלעות AT, TG שייכות למשולש אחד. נראה עבור מי מיהן אנו יודעים גם את גודל הצלע הדומה. AT – FR אך את הגודל של FR אנו לא יודעים. TG – RE את הגודל של RE אנו יודעים. TG:RE=12:6=2 יחס הדמיון של המשולשים הללו הוא 2. כלומר כל צלע / תיכון / חוצה זווית / גובה במשולש ATG גדולה פי 2 מהצלע המתאימה להם במשולש FRE. בעזרת יחס הדמיון נוכל למצוא את אורך הצלעות הנוספות נבחר את הצלעות שלא עשינו בהן שימוש ביחס הדמיון. הצלע המתאימה ל FE היא AG. AG = 2 * FE = 2*3 =6 הצלע המתאימה ל AT היא FR. שימו לב שמקרה זה צריך לחלק ולא להכפיל. FR =AT:2 = 8:2 = 4 שרטוט דמיון המשולשים

יחס הדמיון ויחס השטחים של משולשים דומים

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע של יחס הדמיון. אם מצאנו כי יחס הדמיון של המשולשים ΔATG∼ΔFRE הוא 2. אז יחס השטחים הוא 2²=4. אם שטח משולש ΔFRE הוא 10 אז שטח משולש ΔATG הוא 40. בסוג אחר של השאלות יתנו את היחס שבין השטחים ויבקשו שנמצא את יחס הדמיון. כיצד עושים זאת? מכוון שאם יש לנו את יחס הדמיון אנו מעלים בריבוע (²) על מנת למצוא את יחס השטחים כאשר יש לנו את יחס השטחים אנו נוציא לו שורש (√) ונקבל את יחס הדמיון. (שורש היא הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע). למשל: אם היחס בין שני שטחי משולשים דומים הוא 2.25 אז יחס הדמיון בניהם הוא: 1.5 = 2.25√ כלומר כל צלע במשולש הגדול פירוט ותרגילים בנושא זה תוכלו למצוא בדף דמיון משולשים שטח.

דפים נוספים באתר בנושאים דומים:

  1. משפטי דמיון ופרופורציה  – דף הכולל משפטי דמיון נוספים; במשולש ישר זווית, משפט תאלס ועוד.
  2. משפטים בגיאומטריה – דף הכולל את רשימת המשפטים המאושרים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.
  3. דמיון משולשים כיתה ח.
  4. משולש – דף הכולל קישורים רבים לנושאים הקשורים למשולש.

בוחן בהבנת דמיון משולשים

בוחן זה כולל 10 שאלות + שאלת בונוס.
הבוחן בודק את שלושת היסודות של דמיון המשולשים: הוכחת דמיון משולשים, חישוב יחס דמיון, חישוב יחס בין שטחי משולשים דומים.

 

מלאו במלבן הירוק את התשובה. התשובה היא מספר בלבד או אותיות בלבד.

לסיום לחצו על "סיימתי את הבוחן"

1.

2.

באיזה משפט דמיון עושים את השימוש הרב ביותר?

3.

4.

שאלות 4-5 מתייחסות לאותו שרטוט.


5.

שאלה זו מתייחסת לשרטוט ולתשובה של השאלה מעל.
אם שטח משולש ABC הוא 8. מה הוא שטחו של משולש EDF?

6.

7.

8.

9.

נתון דמיון משולשים ABC ∼ FDE. גדלי הצלעות הידועים הם
FD = 6,  AC = 24,  BA = 18, BC = 15
מה גודלה של הצלע ED?

10.

ידוע שהמשולשים ABC ו FDE הם משולשים דומים.
גודל שטח משולש FDE הוא 1/4 (רבע) משטח משולש ABC.
גודל הצלע AC הוא 17. מה גודלה של הצלע FE?

11.

שאלת בונוס: שילוב של בעיה מילולית עם דמיון משולשים


 


חלק שני של הדף: תרגילים יותר קשים

בחלק הזה של הדף נלמד:

  1. כיצד פותרים שאלות מהסוג  AD² = DB * CD
  2. מצבים מיוחדים שבהם יש משולשים דומים וכדאי להכיר מראש.

איך פותרים תרגילים מהסוג: הוכיחו AD² = DB * CD

לפעמים יבקשו מאיתנו להוכיח שוויון עם חזקה ריבועית AD² = DB * CD או ללא חזקה ריבועית AD * AC = DB*CD. על מנת לפתור תרגילים מסוג זה פועלים בשני שלבים: 1.מוכיחים דמיון משולשים. ברוב המקרים הצלעות שנמצאות במשוואה יהיו חלק מהצלעות במשולשים הדומים. ואם לא כל הצלעות אז לפחות מרביתם. 2.משתמשים ביחסים הנובעים מדמיון המשולשים על מנת ליצור את המשוואה המבוקשת. כלומר אם הצלעות AD ו DB מופיעות משוואה מצאו אותם ואת הצלעות המתאימות להם (נניח X,Y) ורשמו את יחס הדמיון. נניח AD / X = DB / Y. יתכן וזו ממש המשוואה שהייתם צריכים למצוא ויתכן שתצטרכו להוסיף פיתוח קל, כלומר למצוא למה שווה צלע X,Y ולהציב זאת במשוואה. אני מבדיל בין שני סוגי בעיות / משוואות: 1.בעיות שאינן כוללות מספר. למשל AD² = DB * CD. משוואה מסוג זה רומזת לנו שכל 4 הצלעות שנמצאות במשוואה נמצאות במשולשים הדומים. 2. בעיות שכוללות מספר. למשל, AD² =4DF * CD. במקרה זה כנראה שאחת הצלעות שנמצאת במשוואה לא שייכת למשולשים הדומים אבל יש קשר בין הצלע שיש במשוואה לבין צלע ששייכת לדמיון המשולשים. למשל אם DB=4DF אז ניתן לעבור מהמשוואה של סעיף 1 למשוואה של סעיף 2. המחשה בתרגיל המצורף (וגם בתרגיל מספר 11 שבהמשך): במשולש ABC מעבירים גובה AD לצלע BC./ DAB = ∠DCA = a∠

  1. הוכיחו: AD² = DB * CD
  2. אם ידוע כי CB = 4CD הוכיחו כי 4AD² = DB * CB

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים

פתרון

  1. CDA = ∠BDA= 90∠   נתון AD גובה.
  2. DAB = ∠DCA = a∠
  3. CDA ∼ ADB משולשים דומים על פי ז.ז.
  4. AD / DB  = CD / AD  נובע מדמיון המשולשים.
  5. AD² = DB * CD  (פיתוח של משוואה 4)

חלק שני: נציב במשוואה שקיבלנו את  CB = 4CD AD² = DB * CB / 4  (נכפיל ב 4). 4AD² = DB * CB

8 מצבים נפוצים היוצרים דמיון משולשים

קווים מקבילים במשולש יוצרים דמיון משולשים כאשר יש קווים מקבילים במשולש נוצרים גם משולשים דומים. את הוכחת הזוויות השוות עושים בעזרת זוויות מתאימות שוות. ויש גם זווית משותפת. חותכים בצורות מקבילות יוצרים משולשים דומים בצורות מקבילות בהם מעבירים חותכים נוצרים משולשים דומים. זה יכול להיות מבלבל כי לא משתמשים ביטוי "ישרים מקבילים" אלא ידברו על צורות הכוללות קווים מקבילים; טרפז, מקבילית, מעוין… וכאשר אנו לא רואים את הביטוי המפורש "ישרים מקבילים" אנו לא מחפשים את התכונות של הישרים המקבילים. שני חותכים היוצאים מתוך צורה עם ישרים מקבילים ונפגשים יוצרים משולשים דומים. שני חותכים היוצאים מתוך צורה עם ישרים מקבילים ונפגשים יוצרים משולשים דומים. דוגמה נוספת לחותכים מחוץ לצורה עם ישרים מקבילים   מקבילית / מלבן/ מעוין / ריבוע החסומים במשולש יוצרים 2 או 3 משולשים דומים מקבילית / מלבן/ מעוין / ריבוע החסומים במשולש יוצרים 2 או 3 משולשים דומים מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע החסומים במשולש יוצרים 2 או 3 משולשים דומים. חותכים בתוך צורה הכוללת ישרים מקבילים יוצרים משולשים דומים. חותכים בתוך צורה הכוללת ישרים מקבילים יוצרים משולשים דומים. גובה במשולש ישר זווית יוצר 3 משולשים דומים. גובה במשולש ישר זווית יוצר 3 משולשים דומים. ABC ∼DAC ∼DBA.   שני מיתרים הנחתכים במעגל יוצרים משולשים דומים. שני מיתרים הנחתכים במעגל יוצרים משולשים דומים. על מנת להוכיח שהזוויות שוות משתמשים במשפט "זוויות היקפיות הנשענות על מיתרים שווים שוות זו לזו". אם ממשיכים צלעות של מרובע החסום במעגל עד פגישתם נוצרים משולשים דומים. אם ממשיכים צלעות של מרובע החסום במעגל עד פגישתם נוצרים משולשים דומים. לצורך ההוכחה משתמשים במשפט "סכום זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל הוא 180 מעלות". משיק למעגל הוא מצב שיכול ליצור משולשים דומים אך זה לא הכרחי. משיק למעגל הוא מצב שיכול ליצור משולשים דומים אך זה לא הכרחי. בגלל המשפט "זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר" אנו מקבלים זווית אחת שווה. יתכן ונתונים אחרים יספקו לנו עוד אחת.

מקרה מיוחד: בטרפז ניתן לדעת בעזרת יחס הדמיון את הקשר בין השטחים של כל ארבע המשולשים שיוצרים האלכסונים

מכוון

  1. שהאלכסונים בטרפז יוצרים משולשים דומים.
  2. ומכוון שלכל שני משולשים צמודים יש גובה משותף.

אם נדע את השטח של אחד המשולשים ואת יחס הדמיון בין המשולשים נוכל לחשב את השטח של כל אחד מהמשולשים ואת שטח הטרפז כולו. נניח כי בשרטוט הנוכחי יחס הדמיון בין המשולשים AOB ל COD הוא 3. ושטח משולש AOB הוא X. מכוון שהאלכסונים יוצרים משולשים דומים אם נדע שטח של משולש אחד ואת יחס הדמיון נוכל לדעת את השטח של כל אחד מהארבעת המשולשים AOB ∼ COD דמיון המשולשים. חישוב שטח משולש BOC: מהקודקוד B למשולש BOC ולמשולש BOA יש את אותו הגובה לצלעות AO ו OC. ומכוון ש OC= 3AO אז שטח משולש BOC גדול פי 3 משטח משולש AOB. חישוב שטח משולש AOD: בדיוק אותו דבר. DO = 3OB ולכן שטח משולש AOD גדול פי 3 משטח משולש AOB. חישוב שטח משולש COD: יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. במקרה זה 3²=9. שטח משולש COD הוא פי 9 משטח משולש AOB.

חלק שלישי: תרגילים בדמיון משולשים

מצורפים 11 תרגילים עם פתרונות מלאים.

תרגילם 1-3 הם תרגילים יסודיים העוסקים בהבנה של יחס הדמיון ורישום נכון של דמיון משולשים.
תרגילים 4-9 הם תרגילים קשים יותר.
תרגילים 10-11 קשים יותר.

תרגיל 1: מה ניתן ללמוד מדמיון משולשים?

שאלה בסיסית לדוגמה על תכונות של משולשים דומים : ΔABC ∼ΔDEF . כמו כן DE=8 ו AB=2 ס"מ. א. מצא פי כמה גדול השטח משולש DEF משטח משולש ABC ? ב. אם אורכו של DH תיכון במשולש DEF הוא 10 מה אורכו של AG תיכון במשולש ABC? שרטוט התרגיל בדמיון משולשים

פתרון

א. נמצא את הפרופורציה שבין הצלעות DE:AB = 8:2=4. כלומר כל צלע במשולש  ΔDEF גדולה פי 4 מהצלע המתאימה במשולש ΔABC. היחסים בין השטחים הם כריבוע היחס בין הצלעות לכן שטח משולש ΔDEF גדול פי 4² = 16 משטח המשולש ΔABC. ב. היחס בין התיכונים במשולש שווה ליחס בין הצלעות. לכן היחס בין תיכונים מתאימים במשולשים הללו הוא 4. AG=DH:4=10:4=2.5 תשובה: AG=2.5 ס"מ.

תרגיל 2: הוכחת דמיון משולשים

במשולש ΔABC מעבירים ישר DE כך ש DE ΙΙ BC. AD=8, DB=5, DE=6. א. הוכיחו ומצאו איזה משולש דומה למשולש ΔABC. ב. אורך של איזו צלע ניתן למצוא? ג. שאלה קצת יותר קשה, למתקדמים: EC=5. מצאו את אורכי AE ו AC. שרטוט התרגיל, דמיון משולשים פתרון א. נוכיח כי ΔABC ∼ΔADE.

  1. A∠ – היא זווית משותפת ושווה.
  2. ADE=∠ABC∠ – זוויות מתאימות ושוות בין ישרים מקבילים.
  3.  ΔABC ∼ΔADE על פי משפט דמיון ז.ז.

ב. על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו לדעת שתי צלעות מתאימות. בשאלה זו אלו הן AD=8, AB = 13. יחס הדמיון הוא 8/13. הנתון הנוסף הוא DE =6. מי הצלע המתאימה ל DE? זו BC. DE/BC= 8/13 BC = 13DE/8 BC= 13*6/8=9.75 תשובה: BC=9.75 ס"מ. ג. EC=5 ס"מ. הבעיה היא ש EC היא לא צלע באף אחד מהמשולשים. אבל אם נגדיר את AE=X אז נוכל להגדיר שתי צלעות בשתי המשולשים בעזרת משתנה: AE=X. AC=X+5. ואז לבנות משוואה עם נעלם אחד: X/X+5 = 8/13 13X = 8(X+5)=8X+40 13X=8X+40 /-8X 5X=40 /:5 X=8 AE=X=8 AC=X+5=13. תשובה: AE=5, AC=13 ס"מ.

תרגיל 3: הוכחת דמיון משולשים, רשום נכון של הדמיון.

במשולש ΔABC העבירו קו DE כך ש: B=∠AED, ∠C=∠ADE∠. רשמו איזה משולש דומה למשולש ΔABC. הקפידו על רישום האותיות בסדר הנכון.

דמיון משולשים, שרטוט התרגיל

פתרון
ΔABC ∼ ΔAED – על פי משפט דמיון ז.ז.
סדר האותיות במשולש הוא כזה בגלל שהאות המתאימה ל B היא E. והאות המתאימה ל C היא D

תרגיל 4: דמיון משולשים במשולש ישר זווית

במשולש ישר זווית ΔABC (זווית B=90∠) העבירו גובה ליתר BD ⊥ AC. א. הוכיחו כי נוצרו 2 משולשים הדומים למשולש ΔABC. ב. האם המשולשים שנוצרו דומים גם בניהם?

דמיון משולשים במשולש ישר זווית

פתרון

  1. נגדיר A=α∠ ונשלים בעזרתה את הזוויות האחרות בכול המשולשים.
  2. C=90-α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
  3. DBC=α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔDBC.
  4. DBA=α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔDBA.

שרטוט הזוויות במשולש ישר זווית

כך נראות הזוויות שהשלמנו:  לכן על פי משפט דמיון ז.ז המשולשים הבאים דומים: ΔABC ∼ ΔBDC ∼ ΔADB כן, שני המשולשים שנוצרו דומים למשולש ΔABC וגם דומים אחד לשני על פי משפט דמיון ז.ז.

תרגיל 5: הוכחת דמיון משולשים, שימוש ביחס הדמיון

במשולש ישר זווית ΔABC חסום ריבוע DEFB. AD=4,  DE=3 ס"מ. A=40∠. א. הוכיחו כי ΔADE∼ ΔEFC. ב. חשבו את FC. ג. חשבו את AC (ללא הוכחת דמיון משולשים נוספת).

דמיון משולשים במשולש וריבוע

פתרון

  1. AED=50∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔAED.
  2. C=50∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
  3. ADE=∠EFC=90∠ – צלעות הריבוע מאונכות לצלעות משולש ΔABC.
  4. ΔADE∼ ΔEFC על פי משפט דמיון ז.ז.סעיף ב.
  5. EF=DE=3 – צלעות הריבוע שוות זו לזו.
  6. על פי דמיון המשולשים מתקיים: AD/FE = DE/FC FC = DE*FE / AD FC= 3*3 / 4=9/4 FC=2.25 ס"מ.סעיף ג. נעשה זאת בעזרת משפט פיתגורס במשולש ΔABC.
  7. AB= AD+DB=4+3=7. BC= BF+FC = 3 + 2.25=5.25
  8. AC² = AB² + BC² AC² = 7² + 5.25² AC²=49+27.565=76.565 AC=8.75 ס"מ.

תרגיל 6

משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים (BC=BA). בתוכו מעבירים את הישר CD כך ש CD=CA. BC=10, CA=6 ס"מ. א. הוכיחו דמיון משולשים. ב. מצאו את AD.

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים במשולש שווה שוקיים

פתרון א. נוכיח כי ΔBCA ∼ ΔCDA

  1. נגדיר A=∠C=α∠ – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ΔABC שוות זו לזו.
  2. ADC=∠A=α∠ – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ΔCDA שוות זו לזו.
  3.  ΔBCA ∼ ΔCDA על פי משפט דמיון ז.ז.

ב. נחשב את יחס הדמיון בין המשולשים. BC/CA=10/6=1.666 – זה יחס הדמיון. מי הצלע המתאימה ל AD במשולש ΔBCA? זו CA. CA / AD = BC/ CA AD = CA² / BC=6²/10=3.6. תשובה: AD= 3.6 ס"מ.

תרגיל 7

במשולש ΔABC מעבירים חוצה זווית AD. AD=BD. א. מצאו אלו משולשים דומים כאן והוכיחו דמיון משולשים.

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים במשולש שעובר בו חוצה זווית

פתרון
על מנת למצוא את דמיון המשולשים נגדיר את אחת הזווית כ α ונשלים את שאר הזוויות בעזרתה.

  1. נגדיר: BAD=∠CAD=α∠.
  2. ABD=α∠ – במשולש שווה שוקיים ΔABD זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  3. ADB=180-2α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABD.
  4. ADC=2α∠  – זווית צמודה לזווית ADB∠ ומשלימה אותה ל 180 מעלות.
  5. C=180-3α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔADC.

כך נראה המשולש כשכול הזוויות מסומנות בו:

סימון הזוויות שמצאנו במשולש

סימון הזוויות שמצאנו במשולש

ניתן לראות כי המשולשים הדומים הם ΔCBA∼ΔCAD והם דומים על פי משפט דמיון ז.ז.

תרגיל 8: דמיון משולשים בין יותר משני משולשים

בתוך משולש ΔABC העבירו שני ישרים מקבלים כך שנוצרו 3 משולשים דומים: ΔABC ∼ΔAGF ∼ ΔADE שטח משולש ΔAGF גדול פי 6 משטח משולש ΔADE.

  1. מה יחס הדמיון בין משולש ΔAGF למשולש ΔADE?
  2. אם AE=3 ס"מ. ו GC = 4 ס"מ.  מה יחס הדמיון בין ΔADE למשולש ΔABC.
  3. רשמו בשורה אחת את יחס הדמיון בין שלושת המשולשים.
  4. רשמו בשורה אחת את יחס השטחים של שלושת המשולשים.

דמיון משולשים עם יותר משני משולשים

פתרון

  1. אם יחס השטחים הוא 6 אז יחס הדמיון הוא 6√.
  2. על מנת למצוא יחס זה עלינו לחשב את האורך של AC
    AG = √6 * AE=√6 *3=7.35 – בגלל יחס דמיון המשולשים.
    AC= AG+ GC=7.35+4=11.35
    יחס הדמיון בין המשולשים הוא: 11.35 : 3 או   3.78 : 1
  3. יחס הדמיון בין שלושת המשולשים הוא: 3.78  :  6√  :  1
  4. יחס השטחים בין שלושת המשולשים הוא: 14.31  : 6  : 1.
    סדר היחס בסעיפים ג ו ד הוא: ΔADE : ΔAGF : ΔABC

תרגיל 9: שימוש במשפט דמיון שהוא לא ז.ז

הקווים AC ו BD נפגשים בנקודה E. הקווים AB ו DC משלימים אותם לשני משולשים. נתון DE=3, EB=2. CE=6, EA=4. DC=9.

  1. הוכיחו כי המשולשים דומים – הקפידו על רישום נכון של דמיון המשולשים.
  2. מצאו את אורכה של הצלע AB.
  3. אם שטח שני המשולשים ביחד הוא 32.5 סמ"ר. מה הוא שטחו של כל אחד מהמשולשים?

שרטוט התרגיל

פתרון
הוכחת דמיון המשולשים:

  1. DE:EB=  3:2=1.5
  2. CE:EA = 6:4=1.5
  3. DEC=∠AEB∠ – זוויות קודקודיות שוות.
  4. מצאנו כי היחס של שתי צלעות שווה וגם הזווית שבניהן שווה לכן המשולשים דומים על פי צ.ז.צ ΔDEC∼ΔBEA.

2- מה האורך של צלע AB. כפי שמצאנו יחס הדמיון של המשולשים הוא 1.5. הצלע המתאימה לצלע AB היא CD. לכן על פי יחס הדמיון: CD:AB=1.5 AB=6. 3 – היחס בין שטחי שני המשולשים הוא ריבוע יחס הצלעות 1.5²=2.25. 1:2.25 – היחס. לכן אם השטח הכללי הוא 32.5 סמ"ר אז בשטח של המשולש הגדול הוא 22.25 סמ"ר והשטח של המשולש הקטן הוא 10 סמ"ר.

תרגיל 10: ממבחן מפמ"ר כיתה ט

תרגיל זה הוא פתרון לשאלה במבח"ן מפמ"ר תשע"ד – רמה רגילה טור א. שאלה מספר 4. את השאלה עצמה תוכלו לראות על ידי חיפוש "מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט". (השאלה מתאימה לתלמידים שלמדו קטע אמצעים במשולש).

פתרון

נתונים:

  • מעוין ABCD.
  • ABD – משולש שווה צלעות.
  • EP Ι Ι BC

צ"ל:

  1. הנקודה E היא אמצע הצלע AC –  אלכסוני המעוין חוצים זה את זה.
  2. EP Ι Ι BC – נתון.
  3. EP Ι Ι BC. – אם שני ישרים מקבילים וישר שלישי מקביל לאחד מיהם אז הישר השלישי מקביל גם לישר השני.
  4. EP קטע אמצעים במשולש ACB  – ישר היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לשלישית הוא קטע אמצעים. ולכן P היא אמצע AB.
  5. PBE=∠PBD∠ – זו אותה זווית.
  6. DAB=∠EPB∠  – זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים.
  7. ΔABD ~ ΔPBE. – אם שתי זוויות במשולש אחד שוות בהתאמה לשתי זוויות במשולש שני אז המשולשים דומים.
  8. EP Ι Ι BC – הוכח בסעיף 3. ולכן PADE טרפז.
  9. BAD=∠BDA=60 – הזוויות במשולש שווה צלעות ABD שוות זו לזו.
  10. PADE טרפז שווה שוקיים – אם בטרפז זוויות הבסיס שוות אז הוא שווה שוקיים.

תרגיל 11

נתונה מקבילית ABCD. הנקודה E נמצאת על המשך הצלע DC. הישר AE חותך את הצלע BC בנקודה F. 2CF = FB. הוכיחו: AD = 3BF * FE / AF

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. CFE = ∠AFB∠ זוויות קודקודיות שוות.
  2. BCE = ∠CBA∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. CFE ∼ BFA משולשים דומים על פי ז.ז.
  4.  BF / CF = AF / FE  נובע מדמיון משולשים.
  5. FB + CF = 2CF + CF =3CF = BC =AD  חיבור צלעות וגם צלעות נגדיות מקבילית שוות זו לזו.
  6. CF = AD / 3   (נציב את משוואה 6 במשוואה 4).
  7. 3BF / AD = AF / FE
  8. AD = 3BF * FE / AF
שאלה שאלות

27 תגובות בנושא “דמיון משולשים

  1. אלון-ןולא

    וואו.
    האתר הזה הציל לי את החיים בעניין מתמטיקה
    הייתי בפיגור ענקי לפני שמצאתי את האתר והתחלתי לצמצם את הפער בזכותך
    אני לא יודע איך להודות לך
    תבורך/כי ואני מקווה שאת/ה יודע/ת כמה את/ה עוזר לתלמידים שמרגישים אבודים בחומר :>

  2. חנה

    היי,אם נתון לי שמשולש א דומה למשולש ב
    ונותנים לי ששטח משולש א הוא 375 סמ"ר
    ושטח משולש ב הוא 15 סמ"ר
    איך קובעים את יחס הדמיון?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום חנה.
      יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.
      אז אם אנו יודעים את יחס השטחים עלינו לעשות את הפעולה ההפוכה לריבוע על מנת להגיע אל יחס הדמיון – וזו פעולת השורש.
      25 = 15 / 375 (25 הוא יחס השטחים).
      שורש של 25 הוא 5 – ו 5 הוא יחס הדמיון.
      כלומר כל צלע במשולש הגדול גדולה פי 5 מצלע במשולש הקטן.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      המשולשים אינם דומים כי על פי משפט הדמיון צ.צ.צ יחס הדמיון בין כל הצלעות צריך להיות זהה.
      יחס הדמיון בין הצלעות השוות הוא 1:1 ואם יחס הדמיון של הצלעות האחרות אינו כזה – המשולשים אינם דומים.

      1. מושי

        תודה ענקית עזרת לי מאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדד תבורך !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.