דמיון משולשים

בדף זה 7 שלבים ברורים שאתם צריכים לדעת על מנת לשלוט בנושא דמיון משולשים.

כל שלב מתחיל בהסבר בעזרת סרטון וידאו ולאחריו הסבר במילים ותרגילים.
אם תשקיעו 40 דקות במעבר על סרטוני הוידאו + זמן בפתרון תרגילים תשדרגו משמעותית את היכולות שלכם בנושא זה.

השלבים הם:

  1. מהם משולשים דומים?
  2. היכרות עם 3 משפטי הדמיון
  3. כיצד מוכיחים דמיון משולשים?
  4. כיצד מזהים צלעות מתאימות?
  5. מהוא יחס הדמיון וכיצד מוצאים אותו?
  6. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?
  7. יחס השטחים של משולשים דומים.

ובדף נפרד יש דף עם בוחן בנושא דמיון משולשים.

עבור תלמידי כיתות ט ומעלה יש את הנושאים הבאים:

  1. כיצד לבנות משוואה בעזרת דמיון משולשים.
  2. דמיון משולשים שטח למתקדמים.
  3. דמיון משולשים במרובעים.
  4. דמיון משולשים במעגל.

1. מהם משולשים דומים?

בסרטון זה נסביר את שלושת התכונות החשובות של משולשים דומים.

2. משפטי דמיון משולשים

משפט דמיון ראשון

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.ז.צ.

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שני

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור ז.ז הערה – ברור שאם שתי זוויות שוות במשולשים אז גם הזווית השלישית שווה.

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

 

משפט דמיון שלישי

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.צ.צ.

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

הגעתם לכאן ואתם יודעים את שלושת משפטי הדמיון.
אבל עליכם גם לתרגל אותם בבעיות ולהוכיח דמיון משולשים בעזרת המשפטים.

  • דמיון משולשים הוכחה הוא דף הכולל 12 תרגילי הוכחת דמיון משולשים. ממליץ לכם לעבור אליו עכשיו ולפתור שם תרגילים.

3. איך מוכיחים דמיון משולשים?

בסרטון זה נעבור על הטכניקות הבסיסיות ביותר של הוכחת דמיון משולשים ונלמד לבצע את 6 הוכחות של דמיון משולשים.
אלו ההוכחות הבסיסיות ביותר.

  • ההוכחות המופיעות בסרטון שלמעלה מופיעות בכתב בדף דמיון משולשים הוכחה.
    בנוסף בדף המקושר יש  12 שאלות הוכחה באמצעות שלושת המשפטים.

4. כיצד מזהים "צלעות מתאימות" בין משולשים דומים?

על מנת להצליח לפתור תרגיל בנושא דמיון משולשים אתם חייבים להבין את המושג "צלעות מתאימות"
בחלק זה אנו נלמד רק איך מזהים צלעות מתאימות בין משולשים דומים.
בחלק הבא נלמד אלו שימושים יש לצלעות מתאימות.

מהן צלעות מתאימות?
יש חשיבות עצומה לסדר כתיבת האותיות בדמיון משולשים.
ABC ∼KLH
כאשר כותבים בצורה כזו זה אומר
הצלע AB – האותיות נמצאות במקומות 1,2 לכן הצלע המתאימה לה היא KL.
הצלע AC – האותיות נמצאות במקומות 1,3. לכן הצלע המתאימה לה היא KH.
הצלע BC – האותיות נמצאות במקומות 2,3 לכן הצלע המתאימה היא LH.

כאשר אתם מחפשים צלעות מתאימות:

  1. תמיד תסתמכו על סדר האותיות בכתיבת דמיון המשולשים.
  2. אף פעם אל תסתמכו על שרטוט המשולשים / מראה עיניים.

תרגיל
GRD ∼ KAS
מצאו את הצלעות המתאימות ל:
⇒ GD
⇒ RD
⇒ RG

פתרון
GD ⇒  KS
RD ⇒  AS
RG ⇒  AK

5. מהוא יחס הדמיון וכיצד מוצאים אותו?

נניח ונתון לנו דמיון המשולשים הזה:
ABC ∼ DEF
אז הצלעות המתאימות הן:
AB ⇒  DE
AC ⇒  DF
BC ⇒  EF

התכונה של משולשים דומים היא שבין כל שתי צלעות מתאימות קיים יחס קבוע.
והיחס הזה נקרא יחס הדמיון.
כלומר:

מוצאים את יחס הדמיון בשני שלבים:

  1. נמצא שתי צלעות מתאימות (צלע אחת בכול משולש) שאנו יודעים את גודלן.
  2. נחלק אורך צלע אחת באורך צלע שנייה והתוצאה היא יחס הדמיון.

הנוסחה ליחס הדמיון היא צלע במשולש אחד לחלק בצלע המתאימה לה במשולש הדומה = יחס הדמיון

בדוגמה שלפנינו ניתן לראות שכל צלע במשולש ABC גדולה מהצלע המתאימה לה במשולש DEF פי 3.
לכן יחס הדמיון בין המשולשים הוא 3.

לסיכום:

  • יחס הדמיון בין משולשים דומים הוא מספר שאם נכפיל את בו את צלעות משולש אחד נקבל את אורכי הצלעות של המשולש השני.
  • הגודל של יחס הדמיון הוא התוצאה של חלוקת שתי צלעות מתאימות.

תרגיל:
נתונים המשולשים הדומים ATG∼FRE.
אורכי הצלעות הן: AT=8, TG=12, RE=6, FE=3.

  1. מצאו את יחס הדמיון של המשולשים.
  2. השלימו בכול משולש את גדלי צלעות שלושת המשולשים.

שרטוט דמיון המשולשים

פתרון
סעיף א: מציאת יחס הדמיון
נחלק את ארבעת הצלעות לשני המשולשים, על מנת שיהיה יותר קל לזהות צלעות מתאימות.
הצלעות  AT=8, TG=12 שייכות ל ATG.
הצלעות RE=6, FE=3 שייכות ל FRE.

נחפש צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלם.
AT ⇒ FR אך את אנו לא יודעים את הגודל של FR.
TG ⇒ RE ואנו יודעים את הגודל של שניהם ולכן ניתן ללמוד מיהם את יחס הדמיון.

2

יחס הדמיון של המשולשים הללו הוא 2. כלומר כל צלע / תיכון / חוצה זווית / גובה במשולש ATG גדולה פי 2 מהצלע המתאימה להם במשולש FRE.

סעיף ב: מציאת הגודל של הצלעות הנוספות
AT ⇒ FR אלו צלעות מתאימות.
AT=8
FR קטנה פי 2, לכן:
FR = 0.5AT
FR = 8* 0.5 = 4

FE ⇒ AG
FE=3
AG גדולה פי 2.
AG = 2 * FE
AG = 2 * 3 = 6

 

6. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?

לאחר שמצאנו את יחס הדמיון ניתן בעזרת פעולות כפל וחילוק למצוא גדלים של צלעות מתאימות.
את חלק זה נלמד בעזרת 3 תרגילים.
לתרגילים 1,3 יש גם פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1 
יחס הדמיון בין המשולשים ABC ∼ KFT הוא 3 : 1 (כאשר KFT הוא המשולש עם הצלעות הגדולות יותר).
ידוע כי צלעות משולש ABC הן AB = 2, AC=4, BC = 5 סנטימטר.
מצאו את אורכם של הצלעות  FT,  TK

פתרון
(לתרגיל זה פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב).

עבור הצלע FT
האותיות של הצלע FT נמצאות במקומות 2-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא הצלע BC שאורכה 5 סנטימטר.
הצלע FT גדולה פי 3 ולכן אורכה 15 סנטימטר.

עבור הצלע TK
האותיות של הצלע TK נמצאות במקומות 1-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא AC שגודלה 4 סנטימטר.
TK גדולה ממנה פי 3 ולכן גודלה 12 סנטימטר.

תרגיל 2: יחס דמיון קשה יותר
יחס הדמיון בין המשולשים DEF ∼ KHT הוא 5 : 2 (כאשר KFT הוא המשולש עם הצלעות הגדולות יותר).
ידוע כי EF = 6, KH = 20 סנטימטר.
מצאו את אורכן של הצלעות המתאימות.

פתרון
עם יחס הדמיון 5 : 2 קשה לעבוד.
לכן נצמצם את יחס הדמיון פי 2 ונקבל:
2.5 : 1
עכשיו אנו יודעים שכל צלע במשולש הגדול גדולה פי 2.5 מהצלע המתאימה לה במשולש הקטן.

עבור הצלע  6 = EF
האותיות שלה נמצאות במקומות 2-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא HT.
HT = 6 * 2.5 = 15

עבור הצלע    20 = KH
האותיות שלה נמצאות במקומות 1-2.
לכן הצלע המתאימה לה היא DE.
DE = 20 : 2.5 = 8

תרגיל 3 (יחס דמיון שלא ניתן לצמצם)
יחס הדמיון בין המשולשים DEF ∼ KHT הוא 3:7
DE = 3,  HT = 14,  TK =21
חשבו את אורכי הצלעות החסרות.

פתרון
(לתרגיל זה פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב).
עבור הצלע DE
DE  ⇒ KH הן צלעות מתאימות.
DE = 3
על פי יחס הדמיון ניתן לבנות את המשוואה:

נפתור את המשוואה:

KH = 7.

עבור הצלע HT
HT ⇒ EF  אלו צלעות מתאימות.
HT = 14
על פי יחס הדמיון ניתן לבנות את המשוואה:

EF = 6

עבור הצלע TK
TK ⇒ FD  אלו צלעות מתאימות.
TK =21
על פי יחס הדמיון ניתן לבנות את המשוואה

FD = 9

7. יחס השטחים של משולשים דומים

תכונת יחס השטחים של משולשים דומים היא תכונה שמרבים להשתמש בה.
יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע של יחס הדמיון.

אם מצאנו כי יחס הדמיון של המשולשים ΔABC∼ΔEDF הוא 1:3.
אז יחס השטחים הוא 3²=9.

כלומר, אם שטח משולש ΔABC הוא 10 אז שטח משולש ΔDEF הוא 90.

יחס השטחים במשולשים דומים

בסוג אחר של השאלות יתנו את היחס שבין השטחים ויבקשו שנמצא את יחס הדמיון.
כיצד עושים זאת?

מכוון שאם יש לנו את יחס הדמיון אנו מעלים בריבוע (²) על מנת למצוא את יחס השטחים כאשר יש לנו את יחס השטחים אנו נוציא לו שורש (√) ונקבל את יחס הדמיון. (שורש היא הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע).

למשל: אם היחס בין שני שטחי משולשים דומים הוא 9 אז יחס הדמיון בניהם הוא: 3 = 9√ כלומר כל צלע במשולש הגדול.

דוגמאות נוספות לקשר שבין יחס השטחים ויחס הדמיון.

שאלות ותשובות קצרות בנושא יחס השטחים

1.במשולש אחד הצלעות גדולות פי 6 מבמשולש הדומה לו. מה הוא היחס בין השטחים?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן יחס השטחים הוא:
36 = 6²

2.נתון כי יחס הדמיון בין שני משולשים דומים הוא 0.5. שטח המשולש הגדול הוא 30 סמ"ר. מה היחס בין השטחים? מה שטחו של המשולש הקטן?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן יחס השטחים הוא:
0.25 = 0.5²
שטח המשולש הקטן הוא 1/4 משטח המשולש הגדול
7.5 = 4 : 30
תשובה: יחס השטחים הוא 0.25 ושטח המשולש הקטן 8.5 סמ"ר.

3.נתון כי יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 2. מה הוא היחס בין הצלעות?
פתרון
יחס הדמיון הוא שורש יחס השטחים.
לכן יחס הדמיון הוא 2√

4. אם שטח משולש אחד הוא 20 סמ"ר ונתון כי יחס הדמיון של הצלעות בינו לבין משולש אחר הוא 4 (המשולש האחר הוא המשולש הקטן). מה הוא שטח המשולש האחר?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון
16 = 4²
יחס שטחי המשולשים הוא 16. שטח המשולש הגדול הוא 20.
לכן שטח המשולש הקטן הוא:
1.25 = 20:16
תשובה: שטח המשולש הקטן הוא 1.25 סמ"ר.

5. נתון כי אורך צלע משולש אחד היא 10 ס"מ ואורך הצלע המתאימה לה במשולש דומה היא 2 ס"מ. אם שטח המשולש הקטן הוא 6 סמ"ר. מה הוא שטח המשולש הגדול?
פתרון
יחס הדמיון של המשולשים הללו הוא
5 = 10:2
יחס השטחים הוא:
25 = 5²
שטח המשולש הגדול גדול פי 25 מהקטן
150 = 6*25
תשובה: 150 סמ"ר.

מרגישים שאתם יודעים את החומר? בדקו את זה בדף דמיון משולשים בוחן.

נושאים המתאימים לתלמידי ט ומעלה

בחלק זה נלמד 4 נושאים המתאימים לתלמידי כיתה ט ומעלה.
את הנושא הראשון מבניהם גם תלמידים טובים בכיתה ח יכולים ללמוד.

8. כיצד לבנות משוואה מהסוג AE * DO = CD * AO

9.דמיון משולשים שטח למתקדמים

בסרטון זה נלמד כיצד פותרים 3 סוגים של בעיות שטח קשות יותר.

10. דמיון משולשים במרובעים

בסרטון 6 מצבים של דמיון משולשים במרובעים.

11. מצבים בדמיון משולשים במעגל

בסרטון זה נעבור על מצבים שונים היוצרים דמיון משולשים במעגל.

סיימנו את התאוריה, בהמשך הדף תרגילים.

נושאים נוספים באתר:

12. תרגילים בדמיון משולשים

מצורפים 8 תרגילים עם פתרונות מלאים.

תרגילם 1-3 הם תרגילים יסודיים העוסקים בהבנה של יחס הדמיון ורישום נכון של דמיון משולשים.
תרגילים 4-8 הם תרגילים קשים יותר.

התרגילים מתאימים לתלמידי כיתות ח-ט.

תרגיל 1: כתיבת דמיון משולשים בסדר הנכון

ידוע כי המשולשים המופיעים בתרגיל זה דומים. רשמו את דמיון המשולשים בסדר האותיות הנכון.
מכוון שניתן משולש לרשום כל בכמה אופנים ועל מנת שתוכלו לבדוק את התשובה שלכם עם התשובה כאן תמיד תרשמו את המשולש הראשון כמשולש ΔABC.

כתיבת דמיון המשולשים בסדר הנכון

כתיבת דמיון המשולשים בסדר הנכון

 

תשובות סופיות:

1.  ΔABC ∼ΔFED.
2.  ΔABC ∼ΔFDE.
3. ΔABC ∼ΔDEF.

פתרון בגלריית תמונות

[Best_Wordpress_Gallery id="1466" gal_title="g-similar triangles-problems-1"]

פתרון מלא וכתוב לזוג מספר 3.

אנו רואים שצלעות משולש ΔABC גדולות פי 2 מצלעות משולש ΔDEF.
הצלע AB גדולה פי 2 מהצלע DE.
על פי צלע זו ניתן לכתוב את הדמיון בשני אופנים:
ΔABC ∼ΔDEF או ΔABC ∼ΔEDF.
על מנת לבחור אחד מהשניים עלינו להסתכל מה קורה הלאה:
הצלע BC מהצלע EF.
לעומת זאת הצלע BC אינה גדולה פי 2 מהצלע DF ולכן אפשרות השנייה נפסלת ואילו אפשרות הראשונה היא הנכונה.
ΔABC ∼ΔDEF

תרגיל 2: הבנת משמעות סדר כתיבת האותיות ללא שרטוט

נתון כי ΔSDK ∼ ΔTEB.

מצאו את את הצלעות המתאימות לצלעות: KD, TB
מצאו את הזוויות המתאימות לזוויות: E, ∠S∠

פתרון

  1. KD הן האותיות הנמצאות במקום 3 ו- 2. ולכן הצלע השווה מוגדרת על ידי האותיות הנמצאות במקומות 3 ו- 2 של המשולש השני, וזו הצלע BE.
  2. צלע TB דומה לצלע SK – שוב פעם בגלל מיקום האותיות.

בנוגע לזוויות:

  1. E=∠D∠ – שתיהן במקום השני של סדר רישום הדמיון.
  2.  S =∠T∠ – שתיהן במקום הראשון של סדר רישום הדמיון.

פתרון התרגיל בגלריית תמונות

[Best_Wordpress_Gallery id="1468" gal_title="g-similar-triangles-problem-2"]

תרגיל 3: שימוש ביחס הדמיון וביצוע חישובים ללא שרטוט

נתון כי ΔABC ∼ ΔDEF  וכי יחס הדמיון הוא 3 (משולש ΔABC גדול יותר).
כמו כן מתקיים:

  1. צלע BC=6 ס"מ.
  2. צלע FD=1 ס"מ.
  3. D = 50∠ מעלות.
  4. שטח משולש ABC הוא 18 סמ"ר.

א. מצאו את גדלי הצלעות, והזוויות המתאימות.
ב. מצאו את שטח משולש ΔDEF.
ג. פי כמה גדול היקף משולש ΔABC מהיקף משולש ΔDEF ?
ד. בכמה גדול היקף משולש ΔABC מהיקף משולש ΔDEF ?

תשובות סופיות:
א. EF=2 ס"מ.  CA=3 ס"מ.  A=50∠.
ב. שטח משולש DEF הוא 2 סמ"ר.
ג. היקף משולש ΔABC גדול פי 3 מהיקף משולש ΔDEF.
ניתן לדעת זאת גם מבלי לדעת את הגודל המדויק של צלעות המשולשים.
ד. לא ניתן לדעת.

פתרון מלא
במשולשים דומים:

  1. יחס הצלעות הוא כיחס הדמיון (בשאלה זו יחס הדמיון הוא 3).
  2. הזוויות שוות זו לזו.
  3. יחס שטחי המשולשים הוא כריבוע יחס הדמיון (בשאלה זו יחס השטחים הוא 3²=9).

לכן
סעיף א: מציאת הגדלים של הזוויות והצלעות המתאימות.
נתון: ΔABC ∼ ΔDEF
BC = 6, FD  =1

  1. הצלע המתאימה ל- BC היא EF והיא קטנה ממנה פי 3.
    EF=6:3=2 ס"מ.
  2. הצלע המתאימה לצלע FD היא CA והיא גדולה ממנה פי 3.
    CA=1*3=3 ס"מ.
  3. הזווית המתאימה ל- D∠ היא A∠ והן שוות אחת לשנייה.
    A=50∠ מעלות.

סעיף ב:
שטח משולש ABC הוא 18 סמ"ר ושטח משולש DEF קטן ממנו פי 9=3².
18:9=2.
שטח משולש DEF הוא 2 סמ"ר.

סעיף ג + סעיף ד
בנוגע ליחס היקפי המשולשים:
יחס ההיקפים של משולשים דומים הוא כיחס הדמיון – במקרה הזה 3.
לכן היקף משולש ΔABC גדול פי 3 מהיקף משולש ΔDEF.

אבל לא ניתן "ב " כמה גדול היקף משולש אחד מהיקף משולש אחר – משום שאנו יודעים רק את יחס הצלעות ולא את הפרש הגדלים של הצלעות

תרגיל 4: מציאת יחס הדמיון ושימוש בו

נתונים משולשים דומים ΔABC ∼ ΔDEF נתונים אורכי הצלעות:
AB=6 , BC=5, AC=3 וגם DE=12 (אורכי הצלעות בס"מ).
אורכו של הגובה DG הוא 5 ס"מ.

  1. מצאו את יחס הדמיון של המשולשים.
  2. מצאו את אורכי צלעות משולש DEF.
  3. מי הוא הגובה המתאים לגובה DG? ומה אורכו?
  4. מצאו את שטח משולש ΔDEF וגם את שטח משולש ΔABC.

נתוני השאלה

תשובות סופיות

  1.  יחס הדמיון הוא 2.
  2. FE=10 ס"מ.  FD=6  ס"מ.
  3. AH=2.5 ס"מ.
  4. שטח משולש ΔDEF הוא 25 סמ"ר
    שטח משולש ΔABC הוא 6.25 סמ"ר.

פתרון מלא

סעיף א:  מציאת יחס הדמיון
על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.
במשולש ΔDEF נתונה לנו רק הצלע 12=DE, נחפש את הצלע הדומה לה:
ΔABC ∼ ΔDEF
DE נמצאת במקומות 1,2 וגם הצלע AB נמצאות במקומות 1,2.
לכן אלו צלעות דומות.
DE:AB=12:6=2.
יחס הדמיון הוא 2. כלומר כל צלע במשולש ΔDEF גדולה פי 2 מהצלע המתאימה לה במשולש ΔABC.

סעיף ב: מציאת אורכי צלעות DEF.
במשולש ABC אנו יודעים את שלושת הצלעות.
AB=6 , BC=5, AC=3
אנו יודעים שהצלעות במשולש ABC קטנות פי 2 מהצלעות במשולש DEF.
לכן ניתן למצוא את שלושת צלעות משולש DEF על ידי הכפלת צלעות ABC פי 2.

FE=CB*2=5*2=10 ס"מ.
FE = 10
FD=AC*2=3*2=6  ס"מ.
FD = 6
הצלע השלישית DE ידועה לנו מהנתונים:
12=DE

סעיף ג: גבהים במשולשים דומים
הגובה המתאים לגובה DG הוא הגובה היוצא מהקודקוד המתאים לקודקוד D וזה הקודקוד A.
לכן נקרא לגובה זה AH.
היחס בין הגבהים במשולשים דומים הוא כיחס הדמיון, 2 במקרה זה.
AH=DG/2=5/2=2.5 ס"מ.

סעיף ד: חישוב שטחי המשולשים
ניתן לחשב את את שטח משולש ΔDEF על פי הנוסחה של צלע כפול גובה לצלע לחלק ב 2.
25=50/2=2/ (10*5)=EF*DG) / 2)

שטח משולש ΔDEF הוא 25 סמ"ר.
יחס שטחי המשולשים הוא כריבוע יחס הדמיון 2²=4.
לכן שטח משולש ABC שווה ל:
SABC = 25 : 4 = 6.25
תשובה: שטח משולש ΔABC הוא 6.25 סמ"ר.

תרגיל 5: הוכחת דמיון, שימוש בדמיון המשולשים

במשולש ישר זווית ΔABC  (זווית B=90∠) מעבירים גובה BD אל היתר.
A=35∠.
א. השלימו את הזוויות בכול המשולשים.
ב. הוכיחו כי קיימים משולשים הדומים למשולש ΔABC.
ג. הוכיחו: AD * DC = DB * BD.

פתרון

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים במשולש ישר זווית

תשובות סופיות
א. C=55, ∠CBD=35, ∠ABD=55∠
ב. ΔABC ∼ ΔADB ∼ ΔBDC
ג. הוכחה.

פתרון מלא

א. C=55∠ – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
CBD=35∠ – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔDBC.
ABD=55∠ – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔDBA.

ב. כך נראית השלמת הזוויות בשרטוט:

השלמת הזוויות בשרטוט

בשלושת המשולשים הזוויות הן: 90,55,35. לכן שלושת המשולשים חופפים על פי משפט ז.ז
ΔABC ∼ ΔADB ∼ ΔBDC

ג. על פי דמיון המשולשים מתקיים:
AD / BD = DB / DC
AD * DC = DB * BD

תרגיל 5:

במשולש ΔABC מעבירים ישר DE כך ש DE ΙΙ BC. AD=8, DB=5, DE=6.
א. הוכיחו ומצאו איזה משולש דומה למשולש ΔABC.
ב. אורך של איזו צלע ניתן למצוא?
*ג. נתון EC=5. מצאו את אורכי AE ו AC. שרטוט התרגיל, דמיון משולשים

פתרון א. נוכיח כי ΔABC ∼ΔADE.

  1. A∠ – היא זווית משותפת ושווה.
  2. ADE=∠ABC∠ – זוויות מתאימות ושוות בין ישרים מקבילים.
  3.  ΔABC ∼ΔADE על פי משפט דמיון ז.ז.

ב. על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו לדעת שתי צלעות מתאימות. בשאלה זו אלו הן AD=8, AB = 13.
יחס הדמיון הוא 8/13.
הנתון הנוסף הוא DE =6. מי הצלע המתאימה ל DE? זו BC.
לכן ניתן למצוא את אורכה של BC.
DE/BC= 8/13 BC = 13DE/8 BC= 13*6/8=9.75
תשובה: BC=9.75 ס"מ.

ג. EC=5 ס"מ.
הבעיה היא ש EC היא לא צלע באף אחד מהמשולשים.
אבל אם נגדיר את AE=X אז נוכל להגדיר שתי צלעות בשתי המשולשים בעזרת משתנה:
AE=X. AC=X+5.
ואז לבנות משוואה עם נעלם אחד:
X/X+5 = 8/13 13X = 8(X+5)=8X+40 13X=8X+40 /-8X 5X=40 /:5 X=8 AE=X=8 AC=X+5=13.
תשובה: AE=5, AC=13 ס"מ.

תרגיל 5: שאלת שטח פשוטה

נתון ΔABC ∼ΔDEF .
כמו כן DE=8 ו AB=2 ס"מ.

  1. מצא פי כמה גדול השטח משולש DEF משטח משולש ABC ?
  2. אם אורכו של DH תיכון במשולש DEF הוא 10 מה אורכו של AG תיכון במשולש ABC?

שרטוט התרגיל בדמיון משולשים

פתרון

סעיף א.
ΔABC ∼ΔDEF
נמצא צלעות מתאימות בין המשולשים
האותיות AB נמצאות במקומות 1-2 וגם האותיות DE נמצאות במקומות 1-2.
לכן הצלעות AB ו- DE הן צלעות מתאימות.

נמצא את יחס הדמיון
יחס הדמיון שווה לחלוקה של צלעות מתאימות.
DE:AB = 8:2=4. כלומר כל צלע במשולש  ΔDEF גדולה פי 4 מהצלע המתאימה במשולש ΔABC.

נמצא את יחס השטחים
היחסים בין השטחים הם כריבוע היחס בין הצלעות לכן שטח משולש ΔDEF גדול פי 4² = 16 משטח המשולש ΔABC.

סעיף ב
היחס בין התיכונים במשולש שווה ליחס בין הצלעות (יחס הדמיון). לכן היחס בין תיכונים מתאימים במשולשים הללו הוא 4.
AG=DH:4=10:4=2.5
תשובה: AG=2.5 ס"מ.

תרגיל 6

בתוך משולש ΔABC מעבירים שני קווים מקבילים כך שנוצרים 3 משולשים דומים:
ΔABC ∼ ΔAFG ∼ΔADE
א. ידוע כי שטח משולש ΔAFG גדול פי 9 משטח משולש ΔADE. פי כמה גדולה הצלע FG מהצלע המתאימה לה במשולש ΔADE? מה יחס הדמיון בין משולש ΔAFG למשולש ΔADE?
ב. ידוע כי AD=2 ס"מ. DB=12 ס"מ.
פי כמה גדול שטח משולש ΔABC משטח משולש ΔADE?
פי כמה גדול שטח משולש ΔABC משטח משולש ΔAFG?
ג. רשמו את יחס הדמיון ויחס השטחים בין שלושת המשולשים (שורה אחת עם יחס הדמיון ושורה אחת עם יחס השטחים).

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים עם שני ישרים מקבילים

תשובות סופיות
א. FG גדולה פי 3 מהצלע DE. יחס הדמיון 3.
ב. SABC= 49SADE
SABC= (49/9)SAFG
ג. יחס השטחים הוא
1:9:49
יחס הדמיון הוא
49√ : 9 : 1

פתרון מלא

  1. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן אם יחס השטחים הוא 9 אז יחס הדמיון הוא 9√ =3.
    לכן FG גדולה פי 3 מהצלע DE.
  2. הצלע הדומה ל AD היא AB.
    AB=AD+DB=12+2=14
    יחס הדמיון בין המשולשים ΔABC ו ΔADE הוא:
    AB : AD = 14:2 = 7
    לכן יחס השטחים הוא 7²=49.
    SABC= 49SADE – זה יחס השטחים.
    נחשב את יחס השטחים בין ΔABC ו ΔAFG.
    SABC= (49/9)SAFG
  3. יחס השטחים הוא
    1:9:49
    יחס הדמיון הוא
    49√ : 9 : 1

תרגיל 7: דמיון משולשים במשולש ישר זווית

במשולש ישר זווית ΔABC (זווית B=90∠) העבירו גובה ליתר BD ⊥ AC.
א. הוכיחו כי נוצרו 2 משולשים הדומים למשולש ΔABC.
ב. האם המשולשים שנוצרו דומים גם בניהם?

דמיון משולשים במשולש ישר זווית

פתרון

  1. נגדיר A=α∠ ונשלים בעזרתה את הזוויות האחרות בכול המשולשים.
  2. C=90-α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
  3. DBC=α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔDBC.
  4. DBA=α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔDBA.

שרטוט הזוויות במשולש ישר זווית

כך נראות הזוויות שהשלמנו:  לכן על פי משפט דמיון ז.ז המשולשים הבאים דומים: ΔABC ∼ ΔBDC ∼ ΔADB כן, שני המשולשים שנוצרו דומים למשולש ΔABC וגם דומים אחד לשני על פי משפט דמיון ז.ז.

תרגיל 8

משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים (BC=BA). בתוכו מעבירים את הישר CD כך ש CD=CA. BC=10, CA=6 ס"מ.
א. הוכיחו דמיון משולשים.
ב. מצאו את AD.

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים במשולש שווה שוקיים

פתרון א. נוכיח כי ΔBCA ∼ ΔCDA

  1. נגדיר A=∠C=α∠ – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ΔABC שוות זו לזו.
  2. ADC=∠A=α∠ – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ΔCDA שוות זו לזו.
  3.  ΔBCA ∼ ΔCDA על פי משפט דמיון ז.ז.

ב. נחשב את יחס הדמיון בין המשולשים. BC/CA=10/6=1.666 – זה יחס הדמיון.

מי הצלע המתאימה ל AD במשולש ΔBCA?
זו CA
. CA / AD = BC/ CA AD = CA² / BC=6²/10=3.6.

תשובה: AD= 3.6 ס"מ.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

37 thoughts on “דמיון משולשים

  1. עילאי

    היי, יש לי שאלה שאני צריך שתענה לי עליה, בבקשה תענה עלייה כמה שיותר מהר. תודה מראש!
    השאלה בקישור הזה כי אין לי ממש איך לשאול אותך:

      1. עילאי

        אני אנסה להסביר. משולש ABE דומה למשולש CDE.
        א. מהו יחס הדימיון?
        ב. שטח משולש ABE הוא 15 סמ"ר.
        מהו שטחו של המשולש הדומה לו?

        1. לומדים מתמטיקה מאת

          אתה צריך למצוא שתי צלעות מתאימות שאתה יודע את אורכן. לחלק אותן אחת בשנייה וזה יחס הדמיון
          דוגמאות כאן
          http://www.m-math.co.il/geometry/triangle/similar-triangles-ratio/
          לגבי סעיף ב
          יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן אם יחס הדמיון הוא 3 אז יחס השטחים הוא 9.
          הסבר כאן
          http://www.m-math.co.il/geometry/similar-triangles-area/

  2. נועה

    האתר הכי טוב.. כל פעם כשאני צריכה עזרה במתמטיקה אני נכנסת לאתר הזה. בנוסף ההסברים מאוד טובים!!
    תודה ענקית!!

  3. עדי

    אם יש למ שאלה שבה אני צריכה להוכיח משולשים דומים, והצלחתי להוכיח שכל הצלעות של המשולש הקטן שוות לחצי מהשףצלעות של המשולש הגדול, האם אני יכולה להוכיח כך משולשים דומים או שחייבים להוכיח לפי משפט ז.ז.ז??

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום עדי
      אם מצאת פרופורציה שווה בין 3 צלעות את יכולה להשתמש במשפט דמיון שלישי: צ.צ.צ על מנת להוכיח דמיון ואין צורך להשתמש במשפט ז.ז (במשפט זה מספיקות 2 זוויות ואין צורך בשלושה).
      בהצלחה

  4. אלון-ןולא

    וואו.
    האתר הזה הציל לי את החיים בעניין מתמטיקה
    הייתי בפיגור ענקי לפני שמצאתי את האתר והתחלתי לצמצם את הפער בזכותך
    אני לא יודע איך להודות לך
    תבורך/כי ואני מקווה שאת/ה יודע/ת כמה את/ה עוזר לתלמידים שמרגישים אבודים בחומר :>

  5. חנה

    היי,אם נתון לי שמשולש א דומה למשולש ב
    ונותנים לי ששטח משולש א הוא 375 סמ"ר
    ושטח משולש ב הוא 15 סמ"ר
    איך קובעים את יחס הדמיון?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום חנה.
      יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.
      אז אם אנו יודעים את יחס השטחים עלינו לעשות את הפעולה ההפוכה לריבוע על מנת להגיע אל יחס הדמיון – וזו פעולת השורש.
      25 = 15 / 375 (25 הוא יחס השטחים).
      שורש של 25 הוא 5 – ו 5 הוא יחס הדמיון.
      כלומר כל צלע במשולש הגדול גדולה פי 5 מצלע במשולש הקטן.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      המשולשים אינם דומים כי על פי משפט הדמיון צ.צ.צ יחס הדמיון בין כל הצלעות צריך להיות זהה.
      יחס הדמיון בין הצלעות השוות הוא 1:1 ואם יחס הדמיון של הצלעות האחרות אינו כזה – המשולשים אינם דומים.

      1. מושי

        תודה ענקית עזרת לי מאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדד תבורך !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.