קטע אמצעים בטרפז

קטע אמצעים בטרפז הוא ישר היוצא מאמצע שוק אחת אל אמצע השוק השנייה.

משפט: קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכום הבסיסים.

המשפט ההפוך: קטע היוצא מאמצע שוק ומקביל לבסיס מגיע לאמצע הצלע השנייה ושווה למחצית סכום הבסיסים.

קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכום הבסיסים.

קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכום הבסיסים.

קטע אמצעים בטרפז המשפט ההפוך קטע היוצא מאמצע שוק ומקביל לבסיס מגיע לאמצע הצלע השנייה ושווה למחצית סכום הבסיסים.

קטע היוצא מאמצע שוק ומקביל לבסיס מגיע לאמצע הצלע השנייה ושווה למחצית סכום הבסיסים.

תכונות שכדאי להכיר בקטע אמצעים בטרפז

לקטע אמצעים בטרפז יש מספר תכונות שכדאי להכיר. הם יעזרו לכם לפתור תרגילים.

את כל התכונות הללו יש להוכיח כאשר משתמשים בהם בבחינת הבגרות.

בתכונות הללו נעשה שימוש בפתרון התרגילים שבהמשך. לכן אם אתם רוצים שהתרגילים יהיו קשים עבורכם אל תקראו את ההוכחה של התכונות.
אלא חזרו אליהם אם נתקעתם בתרגיל.

תכונה 1: קטע אמצעים בטרפז הוא חוצה וקטע אמצעים של כל ישר העובר בין שני בסיסי הטרפז

קטע אמצעים בטרפז הוא חוצה וקטע אמצעים של כל ישר העובר בין שני בסיסי הטרפז

אם EF הוא קטע אמצעים אז GO=OH

דבר זה נובע מכך:

  1. מרובע AGHD הוא טרפז.
  2. הישר EO יוצא מאמצע הצלע AD ומקביל לבסיסים ולכן EO הוא קטע אמצעים בטרפז AGHD.
  3. ומכוון ש EO הוא קטע אמצעים אז GO=OH.

תכונה 2: המשך של תכונה 1 הוא שאם מעבירים שני ישרים הנפגשים על נקודה בקטע האמצעים נוצרת מקבילית

המשך של תכונה 1 הוא שאם מעבירים שני ישרים הנפגשים על נקודה בקטע האמצעים נוצרת מקבילית

אם EF קטע אמצעים אז מרובע GKHL הוא מקבילית

  1. מכוון ש EF חוצה לשני חלקים שווים את FH ו KL. כפי שראינו בתכונה 1.
  2. ומכוון שאחד המשפטים בעזרתו מוכיחים מקבילית הוא "מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית"
  3. מרובע GKHL הוא מקבילית.

תכונה 3: כאשר קטע אמצעים בטרפז חוצה אלכסונים הקטעים שנוצרים בצידי קטע האמצעים שווים זה לזה

אם EF קטע אמצעים בטרפז אז EF=FL

אם EF קטע אמצעים בטרפז אז EF=FL

תכונה זו נובעת מכך ש:

  1.  EK הוא קטע אמצעים במשולש DAB ולכן  EK=0.5AB.
  2. FL הוא קטע אמצעים במשולש CBA ולכן FL=0.5AB.
  3. ולכן 0.5AB= EK = FL.

 

תרגילים

תרגיל 1

המרובעים ABCD הם טרפזים. EF הוא קטע האמצעים. חשבו את X,Y.

קטע אמצעים בטרפז

פתרון

בטרפז מספר 1:
x = (10 + 4) /2 = 14 /2 =7
כי x הוא קטע אמצעים השווה למחצית סכום הבסיסים.

y = AE=6
כי AE=ED.

בטרפז מספר 2:
x+8) / 2 = 5)
x+8=10
x=2

Y = FC = 3

תרגיל 2

בטרפז ABCD הקטע EF הוא קטע אמצעים.
AB=6, CD=10, BF=4 ס"מ.
BCD=75∠  מעלות.

  1. מצאו את אורכו של קטע האמצעים EF.
  2. חשבו את BC.
  3. חשבו את BFE∠.

קטע אמצעים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

1. קטע אמצעים שווה לסכום הבסיסים לחלק ב 2. ולכן:
EF = (AB+CD) : 2= 8
EF=8 ס"מ.

2. מכוון ש EF הוא קטע אמצעים אז הוא חוצה את את הצלע BC לשני חלקים שווים.
BC = 2*BF = 8

3. קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ולכן
BFE = ∠BCD=75∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

תרגיל 3

בטרפז ABCD מעבירים קטע אמצעים EF.
האלכסון BD חותך את EF בנקודה G.
EG=2, GF =5 ס"מ.
חשבו את אורכי הבסיסים AB ו CD.

שרטוט התרגיל

פתרון

במשולש ABD:

  1. EF – קטע אמצעים במשולש  – ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת הוא קטע אמצעים במשולש.
  2. AB= 2*FG = 4 – קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

במשולש BCD

  1. GF – קטע אמצעים במשולש  – ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת הוא קטע אמצעים במשולש.
  2. DC = 2*EG = 10 – קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

תשובה: DC=10, AB=4 ס"מ.

תרגיל 4

בטרפז ABCD הבסיס הגדול גדול פי 4 מהבסיס הקטן. CD= 4AB.
EF הוא קטע האמצעים בטרפז.
האלכסון AC חותך את EF בנקודה H והאלכסון BD חותך את EF בנקודה G.
הוכיחו כי GH = 1.5AB

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נגדיר AB=X.
    לכן CD = 4AB=4X
  2. במשולש ABD
    EG – הוא קטע אמצעים – ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת הוא קטע אמצעים במשולש.
    EG=0.5X
  3. במשולש ABC
    FH – הוא קטע אמצעים – ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת הוא קטע אמצעים במשולש.
    FH=0.5X
  4. EF = (AB+CD) /2 = 2.5X
  5. GH = EF – FH-EG = 2.5X- 0.5X-0.5X = 1.5X
  6. GH = 1.5AB – מש"ל.

תרגיל 5

בטרפז ABCD מעבירים את קטע האמצעים EF שהנקודה O היא האמצע שלו.
מהנקודה K שעל הבסיס AB מעבירים דרך O ישר אל הנקודה L שעל הבסיס CD.
הוכיחו כי מרובע הוא מקבילית.

קטע אמצעים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון בקצרה:

  1. AKLD הוא הוא טרפז ו EO הוא קטע אמצעים בטרפז (מכוון ש EO יוצא מאמצע צלע AD ומקביל לבסיסים).
  2. לכן EO חוצה את KL, כך ש KO=LO.
  3. במרובע KFLE האלכסונים חוצים זה את זה ולכן המרובע הוא מקבילית.

תרגיל 6

בטרפז ABCD מעבירים את קטע האמצעים EF.
חוצה זווית C∠ וחוצה זווית B∠ נפגשים בנקודה K שעל קטע האמצעים.
הוכיחו כי BKC = 90∠.

קטע אמצעים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון בקצרה:

  1. נגדיר C=2X∠ ולכן DCG = ∠GCF = X.
  2. B = 180-2X∠ זווית חד צדדית לזווית משלימה ל 180 מעלות לזווית C∠.
  3. ולכן GBF = 90-X∠ (הישר BG הוא חוצה זווית).
  4. GBF + ∠GCF = 90∠. ולכן BGC = 90∠.

תרגיל 7

בטרפז שווה שוקיים ABCD (שבו AD=BC) הישר EF הוא קטע אמצעים.
מעבירים את הישר FG קח ש EG מקביל ל AD.

  1. הוכיחו כי מרובע FGDE הוא מקבילית.
  2. מעבירים את הישר BG הוכיחו כי BGC=90∠.

קטע אמצעים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. FG מקביל ל ED נתון. וגם EF מקביל ל DC (קטע אמצעים מקביל לבסיסים).
  2. FGDE מקבילית בגלל שמרובע שבו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.

חלק שני:

  1. נגדיר D=a∠ לכן C=a∠  (זוויות בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו) וגם FCG=a∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. FC=FG =BF במשולש FCG מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות.
  3. שימו לב: במשולש BGC הישר FG הוא תיכון והוא והוא שווה למחצית הצלע אליה הוא מגיע. לכן משולש BGC הוא משולש ישר זווית (אם במשולש התיכון ליתר שווה למחצית היתר אז המשולש ישר זווית).
  4. אם לא ראיתם את המשפט הזה הייתם צריכים להמשיך אל חפיפת משולשים GFO ≅ BFO ואז להראות ש GOF = ∠BOF = 90 כי הן זוויות צמודות (שמשלימות ל 180 ) ושוות כי הן זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

תרגיל 8

הוכיחו שבטרפז שווה שוקיים שבו האלכסונים מאונכים זה לזה הגובה שווה לקטע האמצעים בטרפז.

קטע אמצעים בטרפז, שרטוט התרגיל

 

פתרון בקצרה

  1. קטע אמצעים בטרפז שווה לסכום הבסיסים לחלק ב 2. ננסה להוכיח כי גם הגובה בטרפז שווה לכך.
  2. נוריד שני גבהים BF, AE.
  3. AED ≅ BFC משולשים חופפים על פי ז.צ.ז (שוקי הטרפז שוות, זווית בסיס הטרפז, הזוית שיוצר הגובה ולכן גם הזווית השלישית במשולש).
  4. ACD ≅ BDC על פי צ.ז.צ (שוקי הטרפז שווים, זוויות בסיס הטרפז, בסיס הטרפז הוא צלע משותפת).
  5. לכן ODC = ∠OCD= 45∠ זוויות מתאימות בין משולשים חופפים ומכוון שזווית COD = 90∠ כל אחת מיהן שווה 45.
  6. CAE =45∠ משלימה ל 180 מעלות במשולש CAE.
  7. AE = EC במשולש CAE מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות.

קטע אמצעים בטרפז, שרטוט התרגיל

נגדיר:
FC=ED=X (צלעות מתאימות בין משולשים חופפים).
AB=EF = Y צלעות נגדיות במלבן.

על פי 7 מצאנו כי הגובה AE הוא:
AE = X+Y.

קטע אמצעים (KL) שווה לסכום הבסיסים לחלק ב 2 וזה שווה ל:
KL = (Y+Y+2X) / 2 = X+Y

מכאן נובע KL=AE (קטע אמצעים שווה לגובה).

עוד באתר בנושאים דומים:

  1. טרפז – מידע ותרגילים על הצורה.
  2. טרפז שווה שוקיים –  מידע ותרגילים על הצורה.
  3. שטח טרפז.
  4. משפטים בגיאומטריה – משפטים נוספים בהם ניתן להשתמש בבגרות ללא הוכחה.

נספח

שאלה בסיסית שכולם צריכים לדעת לפתור

בשאלה בסיסית זו עליכם לבנות משוואה בעזרת תכונות הטרפז.
שאלה זו לא דורשת שימוש במשפטי טרפז כלשהם והיא חוזרת על עצמה הרבה מאוד פעמים בשאלות על טרפז וצורות נוספות.
אם אתם תלמידי כיתה ח ומעלה ואתם מתחילים את דרככם שאלה זו היא חובה.

9 מצבים בטרפז שכדאי להכיר מראש

בסרטון וידאו זה תכירו 9 מצבים נפוצים בנושא טרפז שהיכרות מוקדמת איתם תעזור לכם לפתור שאלות.
הסרטון מומלץ לתלמידי כיתה ט ומעלה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.