קטע אמצעים בטרפז

קטע אמצעים בטרפז הוא ישר היוצא מאמצע שוק אחת אל אמצע השוק השנייה.

משפט: קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכום הבסיסים.

המשפט ההפוך: קטע היוצא מאמצע שוק ומקביל לבסיס מגיע לאמצע הצלע השנייה ושווה למחצית סכום הבסיסים.

קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכום הבסיסים.

קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכום הבסיסים.

קטע אמצעים בטרפז המשפט ההפוך קטע היוצא מאמצע שוק ומקביל לבסיס מגיע לאמצע הצלע השנייה ושווה למחצית סכום הבסיסים.

קטע היוצא מאמצע שוק ומקביל לבסיס מגיע לאמצע הצלע השנייה ושווה למחצית סכום הבסיסים.

תכונות שכדאי להכיר בקטע אמצעים בטרפז

 

לקטע אמצעים בטרפז יש מספר תכונות שכדאי להכיר. הם יעזרו לכם לפתור תרגילים.

את כל התכונות הללו חייבים להוכיח כאשר משתמשים בהם בבחינת הבגרות.

בתכונות הללו נעשה שימוש בפתרון התרגילים שבהמשך. לכן אם אתם רוצים שהתרגילים יהיו קשים עבורכם אל תקראו את ההוכחה של התכונות.
אלא חזרו אליהם אם נתקעתם בתרגיל.

תכונה 1: קטע אמצעים בטרפז הוא חוצה וקטע אמצעים של כל ישר העובר בין שני בסיסי הטרפז

קטע אמצעים בטרפז הוא חוצה וקטע אמצעים של כל ישר העובר בין שני בסיסי הטרפז

אם EF הוא קטע אמצעים אז GO=OH

דבר זה נובע מכך:

  1. מרובע AGHD הוא טרפז – כי AB מקביל ל- DC ו- AG ו DH הם חלק מהצלעות הללו.
    אם צלע (AB) מקבילה לאחרת (DH) אז גם חלק ממנה (AG) מקביל לחלק מהצלע האחרת (DH). ומרובע שבו יש שתי צלעות מקבילות ושתי צלעות שאינן מקבילות הוא טרפז.
  2. הישר EO יוצא מאמצע הצלע AD ומקביל לבסיסים ולכן EO הוא קטע אמצעים בטרפז AGHD.
  3. ומכוון ש EO הוא קטע אמצעים אז GO=OH.

בשרטוט זה התייחסתי למצב שבו GH אינו מקביל ל- AD.
אם GH מקביל ל- AD אז המרובע AGHD  וגם המרובעים AGOE ו – EOHD היו מקביליות ולא טרפז (על פי "מרובע שבו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית").
התכונה ש- GO = OH הייתה מתקיימת  מתקיימת גם במקרה זה.
כי צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו ואז:
EA = GO
ED = OH
OH = ED = EH = GO

תכונה 2: המשך של תכונה 1 הוא שאם מעבירים שני ישרים הנפגשים על נקודה בקטע האמצעים נוצרת מקבילית

המשך של תכונה 1 הוא שאם מעבירים שני ישרים הנפגשים על נקודה בקטע האמצעים נוצרת מקבילית

אם EF קטע אמצעים אז מרובע GKHL הוא מקבילית

  1. מכוון ש EF חוצה לשני חלקים שווים את FH ו KL. כפי שראינו בתכונה 1.
  2. ומכוון שאחד המשפטים בעזרתו מוכיחים מקבילית הוא "מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית"
  3. מרובע GKHL הוא מקבילית.

תכונה 3: כאשר קטע אמצעים בטרפז חוצה אלכסונים הקטעים שנוצרים בצידי קטע האמצעים שווים זה לזה

אם EF קטע אמצעים בטרפז אז EK=FL

אם EF קטע אמצעים בטרפז אז EK=FL

תכונה זו נובעת מכך ש:

  1.  EK הוא קטע אמצעים במשולש DAB ולכן  EK=0.5AB.
  2. FL הוא קטע אמצעים במשולש CBA ולכן FL=0.5AB.
  3. ולכן 0.5AB= EK = FL.

תכונה 4: אם מעבירים בטרפז שני חוצה זווית מזוויות סמוכות על שני הבסיסים אז הם יוצרים זווית של 90 מעלות ונפגשים על קטע האמצעים של הטרפז.

בטרפז ABCD הישרים AE, AE הם חוצה זווית.

  1. הוכיחו כי זווית AED גודלה 90 מעלות
  2. מעבירים את הישר EF כך שהוא מקביל לבסיסים. הוכיחו כי הישר EF הוא חלק מקטע האמצעים בטרפז.

פתרון
נגדיר:
A = 2a   (הגדרת זווית).
ומכוון שזווית B משלימה את זווית A ל 180 מעלות גודל זווית B הוא 180-2a.

בשרטוט אתם רואים את הזוויות שיוצרים חוצה הזווית AE, CE.
במשולש AEB זווית AEB משלימה את הזוויות הללו ל 180 מעלות, לכן גודלה 180 מעלות.

סעיף ב: הוכחה כי הקטע EF הוא חלק מקטע אמצעים.
אנו יודעים כי EF מקביל לשני הבסיסים.
לכן:
FEA = DAE= a  זוויות מתחלפות שוות בין מקבילים.
לכן משולש AFE הוא שווה שוקיים.
AF = FE

בצורה דומה
FEB = CBE= 90 -a  זוויות מתחלפות שוות בין מקבילים.
לכן משולש EFB הוא שווה שוקיים.
BF =FE

משתי המשוואות:
AF = FE
BF =FE
נקבל:
AF = BF
כלומר, F היא האמצע של הצלע AB.
תשובה: בטרפז ישר היוצר מאמצע שוק ומקביל לבסיסים הוא קטע אמצעים, ולכן EF הוא חלק מקטע האמצעים.

תרגילים

תרגיל 1

המרובעים ABCD הם טרפזים. EF הוא קטע האמצעים. חשבו את X,Y.

קטע אמצעים בטרפז

פתרון

בטרפז מספר 1:
חישוב x
על מנת לחשב את קטע האמצעים (x) נשתמש בתכונה שהוא שווה למחצית סכום הבסיסים (10+ 4).

7

חישוב y
ED= AE = 6
y = 6

בטרפז מספר 2:
חישוב x
סכום הבסיסים לחלק ל- 2 שווה ל- 5.
x+8) / 2 = 5)
x+8=10
x=2

חישוב y
BF = FC = 3
Y = FC = 3

תרגיל 2

בטרפז ABCD הקטע EF הוא קטע אמצעים.
AB=6, CD=10, BF=4 ס"מ.
BCD=75∠  מעלות.

  1. מצאו את אורכו של קטע האמצעים EF.
  2. חשבו את BC.
  3. חשבו את BFE∠.

קטע אמצעים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

1. קטע אמצעים שווה לסכום הבסיסים לחלק ב 2. ולכן:
EF = (AB+CD) : 2= 8
EF=8 ס"מ.

2. מכוון ש EF הוא קטע אמצעים אז הוא חוצה את את הצלע BC לשני חלקים שווים.
BC = 2*BF = 8

3. קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ולכן
BFE = ∠BCD=75∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

תרגיל 3

בטרפז ABCD מעבירים קטע אמצעים EF.
האלכסון BD חותך את EF בנקודה G.
EG=2, GF =5 ס"מ.
חשבו את אורכי הבסיסים AB ו CD.

שרטוט התרגיל

הרעיון של הפתרון:
נוכיח כי EG הוא קטע אמצעים במשולש DAB.
ו- FG הוא קטע אמצעים במשולש DBC.

פתרון

חלק 1: נמצא את אורכו של AB במשולש ABD

  1. EF – קטע אמצעים במשולש  – ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת הוא קטע אמצעים במשולש.
  2. AB= 2*FG = 4 – קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

חלק 2: נמצא את אורכו של BC במשולש BCD

  1. GF – קטע אמצעים במשולש  – ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת הוא קטע אמצעים במשולש.
  2. DC = 2*EG = 10 – קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

תשובה: DC=10, AB=4 ס"מ.

תרגיל 4

בטרפז ABCD הבסיס הגדול גדול פי 4 מהבסיס הקטן. CD= 4AB.
EF הוא קטע האמצעים בטרפז.
האלכסון AC חותך את EF בנקודה H והאלכסון BD חותך את EF בנקודה G.
הוכיחו כי GH = 1.5AB

שרטוט התרגיל

הרעיון של הפתרון:
נגדיר את גודל הבסיס הקטן כמשתנה.
באמצעות משתנה זה נגדיר את הבסיס הגדול, אורך קטע האמצעים, EG, FH.
הקטע המבוקש הוא התוצאה של EF – EG – FH.

פתרון מלא

  1. נגדיר AB=X.
    לכן CD = 4AB=4X
  2. במשולש ABD
    EG – הוא קטע אמצעים – ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת הוא קטע אמצעים במשולש.
    EG=0.5X
  3. במשולש ABC
    FH – הוא קטע אמצעים – ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע אחרת הוא קטע אמצעים במשולש.
    FH=0.5X
  4. EF = (AB+CD) /2 = 2.5X
  5. GH = EF – FH-EG = 2.5X- 0.5X-0.5X = 1.5X
  6. GH = 1.5AB – מש"ל.

תרגיל 5

בטרפז ABCD מעבירים את קטע האמצעים EF שהנקודה O היא האמצע שלו.
מהנקודה K שעל הבסיס AB מעבירים דרך O ישר אל הנקודה L שעל הבסיס CD.
הוכיחו כי מרובע הוא מקבילית.

קטע אמצעים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון בקצרה:

  1. AKLD הוא הוא טרפז ו EO הוא קטע אמצעים בטרפז (מכוון ש EO יוצא מאמצע צלע AD ומקביל לבסיסים).
  2. לכן EO חוצה את KL, כך ש KO=LO.
  3. במרובע KFLE האלכסונים חוצים זה את זה ולכן המרובע הוא מקבילית.

תרגיל 6

בטרפז ABCD מעבירים את קטע האמצעים EF.
חוצה זווית C∠ וחוצה זווית B∠ נפגשים בנקודה K שעל קטע האמצעים.
הוכיחו כי BKC = 90∠.

קטע אמצעים בטרפז, שרטוט התרגיל

פתרון בקצרה:

  1. נגדיר C=2X∠ ולכן DCG = ∠GCF = X.
  2. B = 180-2X∠ זווית חד צדדית לזווית משלימה ל 180 מעלות לזווית C∠.
  3. ולכן GBF = 90-X∠ (הישר BG הוא חוצה זווית).
  4. GBF + ∠GCF = 90∠. ולכן BGC = 90∠.

שרטוט של הפתרון

תרגיל 7

הוכיחו שבטרפז שווה שוקיים שבו האלכסונים מאונכים זה לזה הגובה שווה לקטע האמצעים בטרפז.

קטע אמצעים בטרפז, שרטוט התרגיל

 

פתרון בקצרה

  1. קטע אמצעים בטרפז שווה לסכום הבסיסים לחלק ב 2. ננסה להוכיח כי גם הגובה בטרפז שווה לכך.
  2. נוריד שני גבהים BF, AE.
  3. AED ≅ BFC משולשים חופפים על פי ז.צ.ז (שוקי הטרפז שוות, זווית בסיס הטרפז, הזוית שיוצר הגובה ולכן גם הזווית השלישית במשולש).
  4. ACD ≅ BDC על פי צ.ז.צ (שוקי הטרפז שווים, זוויות בסיס הטרפז, בסיס הטרפז הוא צלע משותפת).
  5. לכן ODC = ∠OCD= 45∠ זוויות מתאימות בין משולשים חופפים ומכוון שזווית COD = 90∠ כל אחת מיהן שווה 45.
  6. CAE =45∠ משלימה ל 180 מעלות במשולש CAE.
  7. AE = EC במשולש CAE מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות.

קטע אמצעים בטרפז, שרטוט התרגיל

נגדיר:
FC=ED=X (צלעות מתאימות בין משולשים חופפים).
AB=EF = Y צלעות נגדיות במלבן.

על פי 7 מצאנו כי הגובה AE הוא:
AE = X+Y.

קטע אמצעים (KL) שווה לסכום הבסיסים לחלק ב 2 וזה שווה ל:
KL = (Y+Y+2X) / 2 = X+Y

מכאן נובע KL=AE (קטע אמצעים שווה לגובה).

עוד באתר בנושאים דומים:

  1. טרפז – מידע ותרגילים על הצורה.
  2. טרפז שווה שוקיים –  מידע ותרגילים על הצורה.
  3. שטח טרפז.
  4. משפטים בגיאומטריה – משפטים נוספים בהם ניתן להשתמש בבגרות ללא הוכחה.

נספח

שאלה בסיסית שכולם צריכים לדעת לפתור

בשאלה בסיסית זו עליכם לבנות משוואה בעזרת תכונות הטרפז.
שאלה זו לא דורשת שימוש במשפטי טרפז כלשהם והיא חוזרת על עצמה הרבה מאוד פעמים בשאלות על טרפז וצורות נוספות.
אם אתם תלמידי כיתה ח ומעלה ואתם מתחילים את דרככם שאלה זו היא חובה.

9 מצבים בטרפז שכדאי להכיר מראש

בסרטון וידאו זה תכירו 9 מצבים נפוצים בנושא טרפז שהיכרות מוקדמת איתם תעזור לכם לפתור שאלות.
הסרטון מומלץ לתלמידי כיתה ט ומעלה.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

8 thoughts on “קטע אמצעים בטרפז

  1. שושי

    תודה רבה על האתר הוא ממש יעיל!!
    האם אפשר לעדות סרטון על איך מוכיחים שחוצי זויות הבסיס נפגשים בנקודה על קטע אמצעים בטרפז שווה שוקיים . וצריך להוכיח שהנקודה שבה הם נפגשים היא אמצע הקטע אמצעים

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      מה שאני יכול זה לתת זה כיוון של הפתרון.
      1. מגדירים זווית בסיס תחתונה כ 2x ולכן זווית הבסיס העליונה היא 180 פחות 2x.
      2. מעבירים שני חוצי זווית הנפגשים בנקודה E. שמים לב שנוצר משולש ישר זווית.
      3. מעבירים דרך הקודקוד E קו מקביל לבסיסי הטרפז, אם נצליח להוכיח שהקו הזה הוא תיכון נוכיח לשוק הטרפז אז פתרנו את השאלה.
      4. נוכיח על ידי זוויות מתחלפות שוות שהקו המקביל יוצר שני משולשים שווה שוקיים, ולכן הקו המקביל הוא תיכון.
      עליך לשרטט את מה שכתוב כאן על מנת להבין את הפתרון.
      בהצלחה

  2. הש

    בתכונות הטרפז, בתכונה מספר אחד, כיצד אתם מוכיחים את הטענה ש ADHG הוא טרפז? זה לא נתון, וטעון הוכחה. תודה.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום.
      תודה על התגובה.
      המרובע ADHG הוא טרפז כי AB מקביל ל- DC ו- AG ו DH הם חלק מהצלעות הללו ואם צלע (AB) מקבילה לאחרת (DH) אז גם חלק ממנה (AG) מקביל לחלק מהצלע האחרת (DH). ומרובע שבו יש שתי צלעות מקבילות ושתי צלעות שאינן מקבילות הוא טרפז.

      אומנם המרובע ADHG יכול להיות גם מקבילית אם GH מקביל ל- AD וגם אז התכונה מתקיימת אלא שהמצב הזה פחות נפוץ בשאלות.
      הוספתי הערה מפורטת יותר במקום המדובר בדף.
      תודה על תשומת הלב ובהצלחה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.