בדף זה נלמד לפתור את המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות ביותר וזה הדף הראשון שאתם אמורים לפגוש בלימוד משוואות טריגונומטריות.
בדף זה נלמד לפתור משוואות הנראות כך:
sin x = 0.5
cos x = 0.5
tg x = 0.5
ההבנה של דרך הפתרון של המשוואות הללו חשובה מאוד להמשך.
לדף זה ארבעה חלקים:
- הסבר וידאו.
- זהויות טריגונומטריות שצריך לדעת על מנת לפתור משוואות טריגונומטריות.
- פתרון של משוואות טריגונומטריות.
- תרגילים.
אם אתם רוצים סיכום אז יש – משוואות טריגונומטריות סיכום.
1.הסבר וידאו
2.זהויות שהכרחי לדעת על מנת לפתור משוואת טריגונומטריות
לכל פונקציה טריגונומטרית מוזכרות כאן 3 זהויות.
את שתי הזהויות הראשונות עליכם לדעת על מנת לפתור את המשוואות הפשוטות ביותר, אלו שנלמדות בדף זה.
את הזהות השלישית יש לדעת על מנת לפתור תרגילים מורכבים יותר.
פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180-x
sin (-x) = – sin x
פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x
cos (180-x) = – cos x
פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
tg(180-x) = – tgx
(tg (-x) = – tg (x
3.פתרון משוואת מהסוג sin x = a, cosx = a, tg x = a
אנו רגילים שלמשוואה עם נעלם אחד יש פתרון יחיד.
אבל עבור פונקציות טריגונומטריות יכול להיות למשוואה עם נעלם אחד אינסוף פתרונות.
וזה בגלל:
- שלרוב הערכים לפונקציה הטריגונומטרית יש שני פתרונות בתחום 0-360.
- הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות מחזוריות, כלומר חוזרות על עצמן.
למשל פונקציית הסינוס חוזרת על עצמה כל 360 מעלות.
לכן אם נקבל משוואה:
sin x= 0.5
למשוואה זו יהיו אינסוף פתרונות.
את הפתרון הראשון נקבל מהמחשבון. והוא:
x = 30
ובנוסף אנו יודעים שעבור פונקציית הסינוס:
(sin x = sin (180 – x
לכן
sin 30 = sin 150
אז הפתרון השני הוא
x = 150
אלו הן שתי הפתרונות שבתחום שבין 0 ל 360.
אבל מה עם הפתרונות שיותר גדולים מ 360 או יותר קטנים מ 0?
למשל x = 390 או x = -150
לכן נוסיף 360k± לכל פתרון.
התשובה הסופית תהיה:
x1 = 30 ± 360k, x2 = 150 ± 360k
שלבים בפתרון משוואות טריגונומטריות של סינוס:
- מוצאים את הפתרונות בתחום 0-360 מעלות בעזרת מחשבון ובעזרת ההשלמה ל 180.
- מוצאים את הפתרון הכללי על ידי הוספת 360k± לכל אחד מהפתרונות
עבור פונקציית הקוסינוס
התכונה של פונקציית הקוסינוס היא ש:
(cos(x)=cos (-x.
לכן אם
x= 40 הוא פתרון
אז
x = -40 גם הוא פתרון.
ומכוון שגם בפונקציות הקוסינוס המחזוריות היא כל 360 מעלות.
הפתרון המלא יהיה
x1 = 30 ± 360k, x2 = 150 ± 360k
עבור פונקציית הטנגס
התכונה של פונקציית הטנגס היא שהמחזוריות שלה היא כל 180 מעלות.
(tg x = tg (x + 180
לכן אם:
x = 50 הוא פתרון.
אז גם
x = 230 הוא פתרון.
את הפתרון הכללי כותבים כך:
x = 50 ± 180k
סיכום
עבור פונקציית הסינוס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 360 מעלות ומכוון:
(sin x = sin(180 – x
זו תהיה דרך הפתרון.
עבור פונקציה הקוסינוס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 360 מעלות ומכוון:
(cos x = cos (-x
עבור פונקציית הטנגס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 180 מעלות:
4.תרגילים
בחלק זה נפתור תרגילים מהצורה
sin x = a
cos x = a
tg x = a
- sin x = 0.342
- cos x = 0.5
- tg x = 2.747
- sin x = 1
- cos x = 1
תרגיל 1
sin x = 0.342
תרגיל 2
cos x = 0.5
תרגיל 3
tg x = 2.747
תרגיל 4
sin x = 1
תרגיל 5
cos x = 1
5.נספח: זהויות טריגונומטריות שימושיות
פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180-x
sin (-x) = – sin x
פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x
cos (180-x) = – cos x
פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
(tg (-x) = – tg (x
tg(180-x) = – tgx
מעברים הפונקציות הטריגונומטריות השונות
(sin x = cos (90-x
(cos x = sin (90-x
tg x = sin x / cos x
מעברים נוספים:
sin²x + cos²x = 1
כאשר נחלק נוסחה זו ב cos ²x נקבל:
tg²x + 1 = 1/cos²x
כאשר נחלק את הנוסחה הראשונה ב sin²x נקבל:
cot ²x +1 = 1/sin²x
מעברים הקשורים לנוסחה
cos2x = cos²x – sin²x
עוד באתר:
- משוואות טריגונומטריות מהסוג sin(bx + c) = a (הנושא הבא שאתם צריכים ללמוד).
- משוואות טריגונומטריות (סיכום).
- זהויות טריגונומטריות.
- בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
- בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
שלום וברכה,
תודה רבה על ההסברים באתר.
איך עלי לפתור תרגיל כזה:
0=sin(x)-sin(2x)
הוצאת גורם משותף?
העברת אגף?
קצת הסתבכתי…
תודה רבה
שלום
פירוק של sin 2x על פי הנוסחה של זווית כפולה ואז והוצאת גורם משותף.
“למשל x = 390 או x = -150
לכן נוסיף 360k± לכל פתרון.”
נראה לי ש 150- זה טעות, והכוונה ל- 210-.
שלום
זו לא טעות כי
sin -150 = sin 210