לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

משוואות טריגונומטריות בסיסיות

בדף זה נלמד לפתור את המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות ביותר וזה הדף הראשון שאתם אמורים לפגוש בלימוד משוואות טריגונומטריות.

בדף זה נלמד לפתור משוואות הנראות כך:
sin x = 0.5
cos x = 0.5
tg x = 0.5

ההבנה של דרך הפתרון של המשוואות הללו חשובה מאוד להמשך.

לדף זה ארבעה חלקים:

  1. הסבר וידאו.
  2. זהויות טריגונומטריות שצריך לדעת על מנת לפתור משוואות טריגונומטריות.
  3. פתרון של משוואות טריגונומטריות.
  4. תרגילים.

אם אתם רוצים סיכום אז יש – משוואות טריגונומטריות סיכום.

1.הסבר וידאו

2.זהויות שהכרחי לדעת על מנת לפתור משוואת טריגונומטריות

לכל פונקציה טריגונומטרית מוזכרות כאן 3 זהויות.
את שתי הזהויות הראשונות עליכם לדעת על מנת לפתור את המשוואות הפשוטות ביותר, אלו שנלמדות בדף זה.
את הזהות השלישית יש לדעת על מנת לפתור תרגילים מורכבים יותר.

פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180-x
sin (-x) = – sin x

פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x
cos (180-x) = – cos x

פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
tg(180-x) = – tgx
(tg (-x) = – tg (x

3.פתרון משוואת מהסוג sin x = a, cosx = a, tg x = a

אנו רגילים שלמשוואה עם נעלם אחד יש פתרון יחיד.

אבל עבור פונקציות טריגונומטריות יכול להיות למשוואה עם נעלם אחד אינסוף פתרונות.

וזה בגלל:

  1. שלרוב הערכים לפונקציה הטריגונומטרית יש שני פתרונות בתחום 0-360.
  2. הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות מחזוריות, כלומר חוזרות על עצמן.
    למשל פונקציית הסינוס חוזרת על עצמה כל 360 מעלות.

לכן אם נקבל משוואה:
sin x= 0.5
למשוואה זו יהיו אינסוף פתרונות.

את הפתרון הראשון נקבל מהמחשבון. והוא:
x = 30

ובנוסף אנו יודעים שעבור פונקציית הסינוס:
(sin x = sin (180 – x
לכן
sin 30 = sin 150
אז הפתרון השני הוא
x = 150

אלו הן שתי הפתרונות שבתחום שבין 0 ל 360.
אבל מה עם הפתרונות שיותר גדולים מ 360 או יותר קטנים מ 0?
למשל x = 390 או x = -150
לכן נוסיף 360k± לכל פתרון.

התשובה הסופית תהיה:
x1 = 30 ± 360k,  x2 = 150 ± 360k

שלבים בפתרון משוואות טריגונומטריות של סינוס:

  1. מוצאים את הפתרונות בתחום 0-360 מעלות בעזרת מחשבון ובעזרת ההשלמה ל 180.
  2. מוצאים את הפתרון הכללי על ידי הוספת 360k± לכל אחד מהפתרונות

עבור פונקציית הקוסינוס

התכונה של פונקציית הקוסינוס היא ש:
(cos(x)=cos (-x.
לכן אם
x= 40  הוא פתרון
אז
x = -40 גם הוא פתרון.

ומכוון שגם בפונקציות הקוסינוס המחזוריות היא כל 360 מעלות.
הפתרון המלא יהיה
x1 = 30 ± 360k,  x2 = 150 ± 360k

עבור פונקציית הטנגס

התכונה של פונקציית הטנגס היא שהמחזוריות שלה היא כל 180 מעלות.
(tg x = tg (x + 180
לכן אם:
x = 50 הוא פתרון.
אז גם
x = 230  הוא פתרון.

את הפתרון הכללי כותבים כך:
x = 50 ± 180k

סיכום

עבור פונקציית הסינוס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 360 מעלות ומכוון:
(sin x = sin(180 – x
זו תהיה דרך הפתרון.

 

עבור פונקציה הקוסינוס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 360 מעלות ומכוון:
(cos x = cos (-x

 

עבור פונקציית הטנגס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 180 מעלות:

4.תרגילים

בחלק זה נפתור תרגילים מהצורה
sin x = a
cos x = a
tg x = a

  1.   sin x = 0.342
  2.   cos x = 0.5
  3.   tg x = 2.747
  4.   sin x = 1
  5.   cos x = 1

פתרונות
sin x = 0.342
בעזת המחשבון נמצא
x = 20

על פי תכונת פונקציית הסינוס:
(sin 20 = sin (180 – 20

לכן בתחום של 0-360 המעלות הפתרונות הם:
x1 = 20,   x2 = 160
והפתרונות הכלליים הם:
x1 = 20 ± 360k,    x2 = 60 ± 360k

cos x = 0.5
בעזרת המחשבון נמצא
x = 60

על פי תכונת הקוסינוס:
(cos 60 = cos (-60

לכן בתחום של  360 – 360- המעלות הפתרונות הם:
x1 = 60 ,   x2 = – 60
והפתרונות הכלליים הם:
x1 = 60 ± 360k,    x2 = – 60 ± 360k

tg x = 2.747
בעזרת המחשבון נקבל:
x = 70

המחזוריות של הפונקציה טנגנס היא כל 180 מעלות ולכן הפתרון הוא:
x = 70 ± 180k

הערה
למה לא מצאנו את הפתרון השני של המשוואה בתחום 0-360 מעלות?
כי הפונקציה tg היא במחזוריות של 180 מעלות והפתרון הכללי x = 70 ± 180k מוצא גם את הפתרון השני בתחום 0-360 מעלות. (זה הפתרון x = 250).

sin x = 1
בעזרת המחשבון נמצא
x = 90
על פי תכונת הסינוס
(sin 90 = sin (180-90
ומכוון ש:
90 – 180 = 90
אנו נשארים עם פתרון יחיד, למשוואה זו יש רק פתרון יחיד בתחום 0-360

הפתרון הכללי:
x = 90 ± 360k

cos x = 1
בעזרת המחשבון נמצא
x = 0
על פי תכונת הקוסינוס
(cos 0 = cos (-0
מכוון שזה בדיוק אותו הפתרון יש לנו פתרון יחיד.

הפתרון הכללי:
x = 0 ± 360k

5.נספח: זהויות טריגונומטריות שימושיות

פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180-x
sin (-x) = – sin x

פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x
cos (180-x) = – cos x

פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
(tg (-x) = – tg (x
tg(180-x) = – tgx

מעברים הפונקציות הטריגונומטריות השונות
(sin x = cos (90-x
(cos x = sin (90-x
tg x = sin x / cos x

מעברים נוספים:
sin²x + cos²x = 1
כאשר נחלק נוסחה זו ב cos ²x נקבל:
tg²x + 1 = 1/cos²x
כאשר נחלק את הנוסחה הראשונה ב sin²x נקבל:
cot ²x +1 = 1/sin²x

מעברים הקשורים לנוסחה
cos2x = cos²x – sin²x

עוד באתר:

4 מחשבות על “משוואות טריגונומטריות בסיסיות”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. שלום וברכה,
    תודה רבה על ההסברים באתר.
    איך עלי לפתור תרגיל כזה:
    0=sin(x)-sin(2x)
    הוצאת גורם משותף?
    העברת אגף?
    קצת הסתבכתי…
    תודה רבה