משוואות טריגונומטריות בסיסיות

בדף זה נלמד לפתור את המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות ביותר וזה הדף הראשון שאתם אמורים לפגוש בלימוד משוואות טריגונומטריות.

בדף זה נלמד לפתור משוואות הנראות כך:
sin x = 0.5
cos x = 0.5
tg x = 0.5

ההבנה של דרך הפתרון של המשוואות הללו חשובה מאוד להמשך.

לדף זה שלושה חלקים:

  1. זהויות טריגונומטריות שצריך לדעת על מנת לפתור משוואות טריגונומטריות.
  2. פתרון של משוואות טריגונומטריות.
  3. תרגילים.

אם אתם רוצים סיכום אז יש – משוואות טריגונומטריות סיכום.

1.זהויות שהכרחי לדעת על מנת לפתור משוואת טריגונומטריות

לכל פונקציה טריגונומטרית מוזכרות כאן 3 זהויות.
את שתי הזהויות הראשונות עליכם לדעת על מנת לפתור את המשוואות הפשוטות ביותר, אלו שנלמדות בדף זה.
את הזהות השלישית יש לדעת על מנת לפתור תרגילים מורכבים יותר.

פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180-x
sin (-x) = – sin x

פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x
cos (180-x) = – cos x

פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
tg(180-x) = – tgx
(tg (-x) = – tg (x

2.פתרון משוואת מהסוג sin x = a, cosx = a, tg x = a

אנו רגילים שלמשוואה עם נעלם אחד יש פתרון יחיד.

אבל עבור פונקציות טריגונומטריות יכול להיות למשוואה עם נעלם אחד אינסוף פתרונות.

וזה בגלל:

  1. שלרוב הערכים לפונקציה הטריגונומטרית יש שני פתרונות בתחום 0-360.
  2. הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות מחזוריות, כלומר חוזרות על עצמן.
    למשל פונקציית הסינוס חוזרת על עצמה כל 360 מעלות.

לכן אם נקבל משוואה:
sin x= 0.5
למשוואה זו יהיו אינסוף פתרונות.

את הפתרון הראשון נקבל מהמחשבון. והוא:
x = 30

ובנוסף אנו יודעים שעבור פונקציית הסינוס:
(sin x = sin (180 – x
לכן
sin 30 = sin 150
אז הפתרון השני הוא
x = 150

אלו הן שתי הפתרונות שבתחום שבין 0 ל 360.
אבל מה עם הפתרונות שיותר גדולים מ 360 או יותר קטנים מ 0?
למשל x = 390 או x = -150
לכן נוסיף 360k± לכל פתרון.

התשובה הסופית תהיה:
x1 = 30 ± 360k,  x2 = 150 ± 360k

שלבים בפתרון משוואות טריגונומטריות של סינוס:

  1. מוצאים את הפתרונות בתחום 0-360 מעלות בעזרת מחשבון ובעזרת ההשלמה ל 180.
  2. מוצאים את הפתרון הכללי על ידי הוספת 360k± לכל אחד מהפתרונות

עבור פונקציית הקוסינוס

התכונה של פונקציית הקוסינוס היא ש:
(cos(x)=cos (-x.
לכן אם
x= 40  הוא פתרון
אז
x = -40 גם הוא פתרון.

ומכוון שגם בפונקציות הקוסינוס המחזוריות היא כל 360 מעלות.
הפתרון המלא יהיה
x1 = 30 ± 360k,  x2 = 150 ± 360k

עבור פונקציית הטנגס

התכונה של פונקציית הטנגס היא שהמחזוריות שלה היא כל 180 מעלות.
(tg x = tg (x + 180
לכן אם:
x = 50 הוא פתרון.
אז גם
x = 230  הוא פתרון.

את הפתרון הכללי כותבים כך:
x = 50 ± 180k

סיכום

עבור פונקציית הסינוס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 360 מעלות ומכוון:
(sin x = sin(180 – x
זו תהיה דרך הפתרון.

 

עבור פונקציה הקוסינוס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 360 מעלות ומכוון:
(cos x = cos (-x

 

עבור פונקציית הטנגס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 180 מעלות:

3.תרגילים

בחלק זה נפתור תרגילים מהצורה
sin x = a
cos x = a
tg x = a

  1.   sin x = 0.342
  2.   cos x = 0.5
  3.   tg x = 2.747
  4.   sin x = 1
  5.   cos x = 1

פתרונות
sin x = 0.342
בעזת המחשבון נמצא
x = 20

על פי תכונת פונקציית הסינוס:
(sin 20 = sin (180 – 20

לכן בתחום של 0-360 המעלות הפתרונות הם:
x1 = 20,   x2 = 160
והפתרונות הכלליים הם:
x1 = 20 ± 360k,    x2 = 60 ± 360k

cos x = 0.5
בעזרת המחשבון נמצא
x = 60

על פי תכונת הקוסינוס:
(cos 60 = cos (-60

לכן בתחום של  360 – 360- המעלות הפתרונות הם:
x1 = 60 ,   x2 = – 60
והפתרונות הכלליים הם:
x1 = 60 ± 360k,    x2 = – 60 ± 360k

tg x = 2.747
בעזרת המחשבון נקבל:
x = 70

המחזוריות של הפונקציה טנגנס היא כל 180 מעלות ולכן הפתרון הוא:
x = 70 ± 180k

הערה
למה לא מצאנו את הפתרון השני של המשוואה בתחום 0-360 מעלות?
כי הפונקציה tg היא במחזוריות של 180 מעלות והפתרון הכללי x = 70 ± 180k מוצא גם את הפתרון השני בתחום 0-360 מעלות. (זה הפתרון x = 250).

sin x = 1
בעזרת המחשבון נמצא
x = 90
על פי תכונת הסינוס
(sin 90 = sin (180-90
ומכוון ש:
90 – 180 = 90
אנו נשארים עם פתרון יחיד, למשוואה זו יש רק פתרון יחיד בתחום 0-360

הפתרון הכללי:
x = 90 ± 360k

cos x = 1
בעזרת המחשבון נמצא
x = 0
על פי תכונת הקוסינוס
(cos 0 = cos (-0
מכוון שזה בדיוק אותו הפתרון יש לנו פתרון יחיד.

הפתרון הכללי:
x = 0 ± 360k

5.נספח: זהויות טריגונומטריות שימושיות

פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180-x
sin (-x) = – sin x

פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x
cos (180-x) = – cos x

פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
(tg (-x) = – tg (x
tg(180-x) = – tgx

מעברים הפונקציות הטריגונומטריות השונות
(sin x = cos (90-x
(cos x = sin (90-x
tg x = sin x / cos x

מעברים נוספים:
sin²x + cos²x = 1
כאשר נחלק נוסחה זו ב cos ²x נקבל:
tg²x + 1 = 1/cos²x
כאשר נחלק את הנוסחה הראשונה ב sin²x נקבל:
cot ²x +1 = 1/sin²x

מעברים הקשורים לנוסחה
cos2x = cos²x – sin²x

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.