מה הוא לוגריתם? כיצד מחשבים לוגריתם בסיסי?

לוגריתם הוא פונקציה.
בדיוק כמו שסינוס, קוסינוס או טנגס הם פונקציות.

זה מבנה הפונקציה הלוגריתמית:
log_ab

בפונקציה הלוגריתמית יש שני מספרים:
a בסיס הלוגריתם.
b.

כאשר אנו רואים תרגיל הנראה כך:

log_ab = ?

התשובה היא: באיזה חזקה אנו צריכים להעלות את a על מנת לקבל את b?

דוגמה מספרית
 ? = log₃9

איזו חזקה צריכה להיות על המספר 3 כדי שנקבל 9?
במקרה זה החזקה היא 2 ולכן:
log₃9 = 2

הערה
בפונקציה הלוגריתמית a מוגדר כאשר
a < 0 וגם a ≠ 1

לסיכום

   log_ab = x    ⇒     a^x = b

אלו שני דברים האומרים בדיוק את אותו דבר.

לוגריתם שלא כתבו את הבסיס שלו
כאשר כתוב log ללא בסיס לרוב הכוונה היא לבסיס 10
log x = log₁₀ x  (לרוב).

קיצור נוסף
הכתיבה ln היא קיצור לבסיס המעריכי (e):
ln x = log_ex

חישוב לוגריתם

חישוב הלוגריתם שנחשב כאן מבוסס על מה שלמדנו קודם וגם על הכלל:

אם:

a^x = a^y

אז: x = y

כלומר כאשר בסיסי החזקה שווים, ניתן להתעלם מיהם ולהשוות את מעריכי החזקה.

• משוואות מעריכיות הוא דף העוסק בפתרון משוואות מסוג זה.

דוגמה 1
 log₇7⁴ = x
מצאו את x.

פתרון
המשוואה המתאימה היא:

7^x  = 7⁴

x = 4

דוגמה 2
 log₂16 = x
מצאו את x.

פתרון
המשוואה המתאימה היא:

2^x  = 16 = 2⁴

x = 4

דוגמה 3

 log₁₀100 = x
מצאו את x.

פתרון

המשוואה המתאימה היא:

10^x  = 100 = 10²

x = 2

דוגמה 4

 ln e⁴= x
מצאו את x.

פתרון

המשוואה המתאימה היא:

e^x  = e⁴

x = 4

דוגמה 5

 log₈1 = x
מצאו את x.

פתרון

המשוואה המתאימה היא:

8^x  = 1 = 8⁰

x = 0

 

דוגמה 6

 log_0.50.25 = x
מצאו את x.

פתרון

המשוואה המתאימה היא:

0.5^x  = 0.25 = 0.5²

x = 2

דוגמה 7

 log_0.110 = x
מצאו את x.

פתרון

המשוואה המתאימה היא:

0.1^x  = 10 = 0.1^-1

x = – 1

דוגמאות למציאת בסיס הלוגריתם

דוגמה 1

log_x36 = 2

מצאו את x.

פתרון

המשוואה המתאימה היא:

x² = 36 = 6²

x = 6

דוגמה 2 (מתאים ל 5 יחידות)

log_x25 = -2

מצאו את x.

פתרון

המשוואה המתאימה היא:

x^-2 = 25

על מנת למצוא את x אנו צריכים שבשני צדדי המשוואה תהיה אותו חזקה – של 2-.

נחשוב לאיזה מספר בחזקת 2- שווה 25.
אנו יודעים כי:

5² = 25
ולכן על פי חוק החזקה:

נקבל
(1/5)^-2 = 25
(0.2)^-2 = 25

נחזור לתרגיל:

x^-2 = 25 = 0.2^-2

x = 0.2

עוד באתר:

• פונקציה לוגריתמית.
• חוקי לוגריתמים.
• פונקציה מעריכית.