אינטגרל מסוים וחישוב שטחים לפונקציית שורש

בדף אינטגרל של פונקציית שורש למדנו לחשב אינטגרלים.
כאן נלך צעד נוסף ונלמד לחשב אינטגרל מסוים ולאחר מיכן נפתור תרגילי חישוב שטחים.

אינטגרל מסוים

הנוסחה הבסיסית לחשוב אינטגרל מסוים היא:

תרגיל 1

פתרון
נהפוך את השורש לפונקציית פולינום:

נבצע אינטגרל, ונציב את התחומים.

תרגיל 2

פתרון

בתרגיל זה יש לנו פונקציה מורכבת בתוך השורש.
הפונקציה היא f(x) = x + 1.
לכן נציב f(x) = t , כלומר x + 1 = t
נגזור את שני האגפים, נקבל:
dx = dt

הערה: מכיוון שזהו אינטגרל מסוים , גבולות האינטגרל גם ישתנו בהתאם להצבה.

נציב באינטגרל:

נפתור את האינטגרל לפי t :

תשובה:

חישובי שטחים

תרגיל 3
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה: ,
לבין הישר: .

נתון כי נקודות החיתוך הן x₁ = 3 , x₂ = 6.

פתרון

השטח חסום מלמטה ע”י הישר , ומלמעלה ע”י הפונקציה.
לכן ניתן לבטא את השטח באמצעות חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
נקודות החיתוך בין הפונקציה לישר נתונות לנו בשאלה.
לכן השטח הכלוא נתון ע”י האינטגרל:

חישוב האינטגרל:
א. הצבה:
נרצה להשתמש בהצבה t = x – 2.
לכן נסדר את הביטוי בצורה הבאה:

(אם נפתח חזרה את הסוגריים נקבל בדיוק אותו ביטוי).

כעת נציב: t = x – 2.
dx = dt.
יש לזכור לשנות את הגבולות בהתאם.
נקבל:

ב. פתרון האינטגרל לפי t :

כצפוי, קיבלנו מספר שלילי , מכיוון שהשטח נמצא מתחת לציר x.
לכן ניקח את המספר בערכו המוחלט.

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 1.

תרגיל 4
חשבו את השטח המוגבל ע”י הפונקציה f(x) = 1/√x ,
הישרים y = 1 , y = 0.5 , וציר y.

פתרון

בתרגיל זה אנו צריכים לחלק את השטח לשני שטחים נפרדים.
זאת מכיוון שהוא חסום ע”י יותר מפונקציה אחת.
1. מלבן – חסום ע”י הישרים y = 1, y = 0.5.
2.שטח חסום בין הישר לפונקציה – חסום ע”י הפונקציה f(x) = 1/√x והישר y = 0.5.

קודם כל נמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה לישרים (אנו נזדקק להן):
א. עם הישר y = 1:

x = 1√
x = 1

ב. עם הישר y = 0.5:

x = 2√
x = 4

נחשב כל שטח בנפרד – התשובה תהיה סכום השטחים:

1. מלבן :
על מנת לחשב את שטח המלבן לא נצטרך לבצע אינטגרל.
(ניתן לחשב ע”י אינטגרל, אבל במקרה זה אין צורך)
נשתמש בנוסחה לשטח מלבן : גובה*בסיס = S

שטח המלבן הוא : S₁ = 1*0.5 = 0.5

2. השטח החסום בין הישר לפונקציה :
נקודות החיתוך הן : x = 1 , x = 4

לכן השטח ניתן לחישוב ע”י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

(אין צורך להוסיף קבוע מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח הכלוא:

לכן S₂ = 0.5

חישבנו כל שטח בנפרד – רק נשאר לנו לסכום את שני השטחים.
לכן השטח הכולל הוא :
S_tot = S₁ + S₂ = 0.5 + 0.5 = 1

תשובה : השטח החסום הוא 1.

תרגיל 8

מעבירים לפונקציה משיק בנקודה x = 0.
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק, והישר x = 8.

פתרון

1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = 0 בפונקציה.

f(0) = √(0+1) = 1

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) = (0 , 1)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.

נציב את x = 0 בנגזרת הפונקציה:
f ‘ (0) = 1/2
כלומר: m = 1/2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y₀= m*(x-x₀, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x_0,y₀) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 1 = 0.5*(x – 0
y – 1 = 0.5x
y = 0.5x +1

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק , נחשב את השטח הכלוא.
השטח חסום מלמטה ע”י הישר , ומלמעלה ע”י הפונקציה.
לכן ניתן לבטא את השטח באמצעות חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
גבולות האינטגרל הם x = 0 (נק’ ההשקה) והישר x = 8.

לכן השטח נתון ע”י האינטגרל:

חישוב האינטגרל:
א. הצבה:
נציב: x + 1 = t
ואז מתקיים : x = t – 1.
dx = dt.

הערה: יש לזכור לשנות את הגבולות בהתאם להצבה.

נציב באינטגרל ונקבל:

ב. חישוב האינטגרל לפי t:

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 6.6667.

תרגיל 4 (עם פרמטר)

א. הביעו באמצעות הפרמטר c את השטח הכלוא בין הפונקציה, ציר x , והישרים : x = 4 , x = 7.
ב. נתון כי השטח הנ”ל שווה ל – 2 . מצאו את c.

(הערה: הניחו כי הפונקציה מוגדרת בתחום הדרוש).

פתרון

א. השטח הכלוא נתון ע”י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל ע”י הצבה:
נציב: t = x + c
מתקיים : dx = dt.
גבולות האינטגרל משתנים בהתאם:
-התחתון – 4 + c
-העליון – 7 + c

נציב באינטגרל ונקבל:

נפתור את האינטגרל לפי t :

ב. מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 2.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:

נעלה בריבוע את שני האגפים , נפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר:

נעלה בריבוע את שני האגפים:
c + 4 = 1