מציאת פונקציה קדומה

בדף זה נלמד למצוא פונקציה קדומה.
כפי שנסביר בהמשך מדובר בשני שלבים.

1. חישוב אינטגרל.
2. הצבת נקודה בתוצאת האינטגרל.

לדף זה שני חלקים:

1. מה היא פונקציה קדומה?
2. תרגילים.

1.מה היא פונקציה קדומה?

(g(x היא הפונקציה הקדומה של (f(x אם כאשר גוזרים את (g(x מקבלים את (f(x.

למשל:
מה היא הפונקציה הקדומה של f(x) = 2x?

פתרון
על מנת למצוא את הפונקציה שאם נגזור אותה נקבל f(x) = 2x נבצע את פעולת האינטגרל.

∫2x dx = x² + c

g(x) = x² + c
היא קבוצה של של פונקציות שיש כמה פונקציות היכולות להתאים לה.
g(x) = x²
g(x) = x² + 1
g(x) = x² – 2
g(x) = x² + 10
ועוד.

לכן כאשר ירצו שנמצא פונקציה קדומה יחידה יתנו לנו מידע נוסף שיהיה נקודה דרכה עוברת הפונקציה.

למשל:
מה היא הפונקציה הקדומה של f(x) = 2x והעוברת בנקודה (1,5).

פתרון

שלב ראשון: חישוב אינטגרל
∫2x dx = x² + c

שלב שני: הצבת הנקודה
g(x) = x² + c
5 = 1² + c
4 = c

הפונקציה הקדומה היא:
g(x) = x² + 4

לסיכום, שני השלבים למציאת פונקציה קדומה הם

1. חישוב אינטגרל.
2. הצבת נקודה בפונקציה.

כמו כן לפעמים תראו את ההגדרה המתמטית הזו לפונקציה קדומה, שהיא בדיוק מה שכתבנו למעלה.

אם  (F(x היא הפונקציה הקדומה של (f(x אז (f(x היא הנגזרת של (F(x.
כלומר:
(F ‘ (x) = f (x

• תזכורת לנוסחאות למציאת אינטגרל של פונקציה 

2.תרגילים

בחלק זה שני תרגילים.
תרגיל 1 דומה לדוגמה שלמעלה.
תרגיל 2 קשה יותר ואני ממליץ לכם לקרוא אותו.

תרגיל 1
נתונה הפונקציה  f (x)=x ידוע שהפונקציה (g(x  היא הפונקציה הקדומה של (f(x. הפונקציה (g(x עוברת בנקודה (2,3).
מצאו את (g(x.

פתרון
שלב ראשון
נחשב את האינטגרל של הפונקציה על מנת למצוא את הפונקציה הקדומה:

שלב שני
כדי למצוא את הפרמטר c נציב את שיעורי הנקודה (2,3) בפונקציה (g(x שקיבלנו:

ולכן c=1

הפונקציה הקדומה היא:

g(x) = 0.5x² + 1

 

תרגיל 2
נתונה הנגזרת f ‘(x)=x ידוע שערך ה y של נקודת הקיצון של (f(x הוא 3.
מצאו את (f(x.

פתרון
על מנת למצוא את את הפונקציה הקדומה אנו צריכים למצוא נקודה על הפונקציה.

נתון לנו ערך ה y של נקודת הקיצון.
נמצא את ערך ה x של הקיצון על ידי השוואת הנגזרת ל 0.

f ‘(x)=x = 0
x = 0

קיבלנו כי נקודת הקיצון של הפונקציה הקדומה היא (0,3).

ועכשיו יש לנו נקודה של הפונקציה הקדומה שניתן להציב במשוואתה.

הנושא של הקיצון פחות חשוב לנו, מה שחשוב לנו הוא שמצאנו נקודה הנמצאת על הפונקציה הקדומה וניתן להציב אותה במשוואת הפונקציה הקדומה על מנת למצוא את c.

מכאן נבצע בדיוק את אותו התהליך כמו בתרגיל הקודם
נחשב את האינטגרל של הפונקציה על מנת למצוא את הפונקציה הקדומה:

כדי למצוא את הפרמטר c נציב את שיעורי הנקודה (0,3) בפונקציה הקדומה ונקבל:

ולכן c=3

הפונקציה הקדומה היא:
f(x) = 0.5x² + 3

פונקציה קדומה לפונקציית שורש

תרגיל
מצאו את הפונקציה הקדומה של הפונקציה

פתרון

נחשב את האינטגרל של הפונקציה:

נציב את הנקודה (4,7) בפונקציה שקיבלנו ונמצא את c.

12√4 + c = 7

24 + c = 7

c = -17

 

תשובה: הפונקציה הקדומה היא:

f(x) = 12√x – 17

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.