משוואת ישר כיתה י

השיפוע 3 – זה אומר שניתן להציב את שתי הנקודות בנוסחה לשיפוע על פי שתי נקודות.

נציב את שתי הנקודות הללו בנוסחה למציאת שיפוע ונקבל:

3x – 9 = -3
3x = 6
x = 2

תשובה: הנקודה (2,2)  או הנקודה (3,5) יוצרות ישר ששיפועו 3.
כלומר קיבלנו שתי אפשרויות לפתרון התרגיל.

שאלות מהסוג המופיע בדף זה נפתרות לרוב על ידי השלבים הבאים:

1. בחירת ערך ה x בנקודה כמשתנה (ערך ה X בנקודה A, בנקודה B …). (לעיתים רחוקות יותר בוחרים את ערך ה y).
2. הגדרת באמצעות ערך ה x את ערך ה y בנקודה.
3. ביצוע מספר פעולות נוספות על פי השאלה.
4. בניית משוואה ומציאת ה x.

אז בשאלה זו:
נגדיר:
x_A ערך ה x בנקודה A.
2x_A + 3 ערך ה y בנקודה A.
הנקודה היא:

(A(x_A, 2x_A + 3

עכשיו נשרטט את הישר y = 2x+3 ואת הנקודה A על מנת להבין את המצב בשאלה.
אין צורך לדעת איפה הנקודה A נמצאת על הישר, נבחר עבורה מיקום מקרי.

נחשב את אורך צלעות המלבן

משוואת הישר AB היא:

y = x_A

לכן

B(x_A , 0)

המרחק בין הנקודות A, B הוא:

2x_A + 3 – 0 = 2x_A + 3

משוואת הישר AC שמקביל לציר ה x היא:

y = 2x_A + 3

לכן הנקודה C היא:

C (0, 2x_A + 3)

המרחק בין A, C הוא:

x_A – 0 = x_A

לסיכום אורכי צלעות המלבן:

AC = x_A

AB = 2x_A + 3.

לכן המשוואה שנקבל היא:
AC * AB = S
2X_A + 3) X_A = 44)
2X_A² + 3X_A = 44  / -44
2X_A² + 3X_A  – 44 = 0

נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל שתי אפשרויות:
x_A = 4   או   x_A = -5.5.

כלומר יש שתי אפשרויות לנקודה A.

נציב את ערכי ה x שקיבלנו במשוואת הישר y = 2x +3 על מנת למצוא את ערכי ה y האפשריים של הנקודה A.
y₁ = 2*4+3 = 11

y₂ = 2*(-5.5) + 3 = -8

תשובה: הנקודה A יכולה להיות (4,11) או (8-, 5.5-).

הנקודה המבוקשת B נמצאת על הישר y = 2x -1, לכן ניתן להגדיר אותה באמצעות משתנה אחד.

בעזרת הנתון שהמרחק הוא 29√ ניתן לבנות משוואה ולמצוא את הנעלם.

שלב 1: נגדיר את ערכי ה x וערכי ה y של הנקודה B באמצעות משתנה אחד
x_b   ערך ה x בנקודה B.

מכוון שהנקודה B נמצאת על הישר y = 2x -1 ערך ה y בנקודה B הוא:
y = 2x_b -1

(B(x_b, 2x_b -1

שלב 2: בניית משוואה ופתרונה
נציב את ערכי הנקודה (A(-1, -4 והנקודה (B(x_b, 2x_b -1 במשוואת המרחק בין נקודות ונקבל:

d² = (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)²
d² = (x_b  + 1)² + (2x_b -1 + 4)²
d² = (x_b  + 1)² + (2x_b + 3)²

נפתח סוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר ונקבל:
d² = x_b² + 2x_b + 1 + 4x_b² + 12x_b + 9
d² = 5x_b² + 14x_b + 10

אנו יודעים שהמרחק בין הנקודות הוא 29√. לכן:
d² = 29
5x_b² + 14x_b + 10 = 29  / -29
5x_b² + 14x_b -19 = 0

ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.
אנו נראה דרך אחרת, פירוק הטרינום כאשר a ≠ 1.

5x_b² + 14x_b -19 = 0
5x_b² – 5x_b + 19x_b – 19 = 0
5x_b (x_b – 1) + 19(x_b-1) = 0
x_b – 1)( 19 + 5x_b) = 0)

x_b = 1
או
5x_b = -19  / :5
x_b = -3.8

שלב 3: הצבה של ערכי x_b ומציאת הנקודה B
נציב x_b = 1 במשוואת הישר y = 2x -1 ונקבל:
y = 2*1 – 1 = 1
y = 1
אפשרות ראשונה היא: (1, 1)B

נציב x_b = -3.8 במשוואת הישר y = 2x -1 ונקבל:

y = 2 * -3.8 – 1

y =  -7.6 – 1 = -8.6

אפשרות שנייה היא (8.6- , 3.8-)B

תשובה: יש שתי אפשרויות לנקודה B והן:
(1, 1)B
(8.6- , 3.8-)B