דמיון משולשים, איך פותרים תרגילים מהסוג: הוכיחו AD² = DB * CD

ברוב התרגילים שנפגוש הוכחת דמיון משולשים תהיה שלב בדרך למשוואה שיבקשו מאיתנו לבנות.

בדף זה נלמד כיצד לבנות את המשוואה.

חלקי הדף הם:

1. הסבר וידאו.
2. הסבר כתוב.
3. מכשולים נפוצים היכולים להופיע בשאלות מסוג זה.
4. תרגילים.

1.הסבר וידאו

2.הסבר כתוב

כאשר נצטרך לבנות משוואה הנראית כך:
AE * DO = CD * AO
או
AD² = DB * CD

נפעל על פי השלבים הבאים:

1. נזהה שני משולשים דומים הכוללים 3 או 4 צלעות המופיעות במשווה.
2. נוכיח את דמיון המשולשים.
3. בעזרת צלעות מתאימות נבנה משוואה הכוללת את הצלעות הנדרשות במשוואה המבוקשת.

אם המשולשים הדומים שמצאנו כוללים את 4 הצלעות המופיעות במשוואה, שלושת השלבים הללו יובילו אותנו לפתרון.

אם המשולשים הדומים כוללים רק 3 צלעות המופיעות במשוואה שאנו צריכים להוכיח אז עלינו למצוא את הקשר בין הצלע "המיותרת" שאנו רוצים להוציא מהמשוואה לצלע שאנו מעוניינים "להוסיף" למשוואה.
לאחר שנמצא את הקשר נבצע פעולת הצבה.

• הערה: לרוב בונים משוואות מסוג זה בעזרת דמיון משולשים אבל גם משפטי פרופורציה אחרים יכולים לעזור לבנות משוואות בצורה דומה למה שנלמד כאן. למשל משפט תאלס או משפט חוצה זווית.

הסבר מפורט ודוגמה
במקבילית ABCD מאריכים את את הצלע AB עד הנקודה E ומעבירים את הישר CE החותך את AD בנקודה O.

1. הוכיחו AE * DO = CD * AO

פתרון
נחפש משולשים דומים הכוללים 3 או 4 צלעות המופיעות בשוויון.
AE, DO, CD, AO
המשולשים הללו הם:
EAO, CDO

שלב ראשון: נוכיח את דמיון המשולשים

1. OCD = ∠OEA∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
2. ODC = ∠OAE∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
3. EAO ∼ CDO  משולשים דומים על פי ז.ז.

שלב ב: נבנה משוואה
על מנת לבנות את המשוואה נחפש צלעות מתאימות שהן חלק מהצלעות המופיעות במשוואה.
AE * DO = CD * AO

נתחיל ב AE.

אם AE נמצאת במשוואה אז גם הצלע המתאימה CD צריכה להיות במשוואה.
כרגע המשוואה נראית כך:

אנו צריכים גם את DO במשוואה, ולכן גם הצלע המתאימה AO חייבת להיות חלק מהמשוואה.
קיבלנו את המשוואה:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף CD * DO ונקבל:
AE * DO = CD * AO
זו המשוואה המבוקשת.

3.מכשולים נפוצים היכולים להופיע בשאלות מסוג זה