הוכחת ריבוע

ריבוע הוא מרובע שארבע צלעותיו שוות באורכן וארבע זוויותיו שוות 90 מעלות.

אם נתון לנו ריבוע שאנו לא יודעים כלום עליו השלבים להוכחת ריבוע הם:

1. מוכיחים שהמרובע הוא מקבילית.
2. מוכיחים שהמקבילית היא מעוין או מלבן.
3. מוכיחים שהמעוין או מלבן הם ריבוע.

ברוב המקרים לא יבקשו להוכיח שמרובע הוא ריבוע אלא יתנו לנו כבר צורה עם תכונות מסוימות כמו מקבילית, מלבן, מעוין ואז נצטרך להתחיל משלב 1 או שלב 2.

משפטים

משפטים להוכחה שהמרובע הוא מקבילית.

משפטים להוכחה שהמקבילית היא מלבן:

1. מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן.
2. מקבילית שבה יש זווית של 90 מעלות היא מלבן.

משפטים להוכחה שהמקבילית היא מעוין:

1. מקבילית שבה זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
2. מקבילית שבה האלכסונים חוצי זווית היא מעוין.
3. מקבילית שבה האלכסונים מאונכים היא מעוין.

לאחר מיכן נמשיך את ההוכחה בדרך הבאה:
שימו לב שהמשפטים הבאים נכונים אך מורים שונים יכולים להסכים לקבל רק את חלקם כמשפט מקובל להוכחה.

אם הוכחנו מעוין:

1. מעוין עם זווית ישרה (90 מעלות) הוא ריבוע.
2. מעוין עם אלכסונים שווים באורכם הוא ריבוע.

אם הוכחנו מלבן:

1. מלבן שאלכסוניו מאונכים זה לזה הוא ריבוע.
2. מלבן עם זוג צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.
3. מלבן שאלכסוניו הם חוצה זווית הוא ריבוע.

(הסברים כיצד להוכיח מקבילית, מעוין או מלבן תמצאו בקישור).

תרגילים

תרגיל 1
הוכיחו כי מלבן שאחד מאלכסוניו הוא חוצה זווית הוא ריבוע (מבלי להיעזר במשפט).

פתרון
מכוון שכל זוויות המלבן הן 90 מעלות נותר לנו כי כל הצלעות שוות זו לזו.

1. ADB = ∠ABD = 90 : 2= 45∠
2. AD = AB במשולש ABD מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות (ABD הוא משולש שווה שוקיים).
3. AD = BC, AB = CD צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
4. AD= BC = AB = CD  כלל המעבר. נובע מ 2,3 ולכן ABCD הוא ריבוע.

תרגיל 2
הוכיחו כי מעוין שיש לו זוויות בת 90 מעלות (D = 90∠) הוא ריבוע.

פתרון
עלינו להוכיח שלמרובע זה יש 4 זוויות של 90 מעלות.

1. B = ∠D = 90∠ זוויות נגדיות במעוין שוות זו לזו.
2. A = ∠C =(360-180) / 2 = 90∠ סכום זוויות במרובע הוא 360 מעלות. (נימוק אחר: זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל 180 מעלות).

תרגיל 3
בריבוע ABCD מעבירים אלכסון AC.
מנקודה E שעל האלכסון מעבירים את הישרים EF ו EG  המקבילים לצלעות הריבוע.
הוכיחו כי המרובע EFAG הוא ריבוע.

פתרון

1. EFA = ∠EGA = 90∠ זוויות חד צדדיות המשלימות את זווית A = 90∠ ל 180 מעלות.
2. EF מקביל ל AG וגם EG מקביל ל AF (נתון) ולכן EFAG הוא מקבילית – מרובע שבו זוג צלעות מקבילות הוא מקבילית.
3. EFAG הוא מלבן. מקבילית שבה זווית של 90 מעלות היא מלבן.
4. EFAG הוא ריבוע. מלבן שבו האלכסון הוא חוצה זווית היא ריבוע. (בנתוני השאלה כתוב כי AC הוא חוצה זווית A).

עוד באתר:

• הוכחת מרובעים – דרכי ההוכחה של מרובעים נוספים.
• ריבוע – נושאים נוספים הקשורים לצורה זו.
• מתמטיקה לכיתה ט – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.