היקף מעגל

בדף זה נלמד לחשב היקף מעגל ונפתור תרגילים נוספים הקשורים להיקף מעגל.

החלקים של דף זה הם:

1.סרטון הסבר

2.נוסחה

הנוסחה לחישוב היקף מעגל היא:
P=2₶R
ובמילים:
היקף שווה לרדיוס כפול 2 כפול פאי.

P – היקף המעגל.
R – רדיוס המעגל
₶ – (פאי) מספר שגודלו הוא בערך 3.14.

קוטר מעגל שווה לפעמיים הרדיוס. לכן יש כאלו העובדים עם הנוסחה:
היקף = קוטר כפול פאי.

הדבר היחידי שאתם צריכים לדעת על מנת לחשב היקף מעגל זה רדיוס המעגל (או קוטר).

דוגמה לחישוב היקף מעגל:
נתון מעגל שאורך הרדיוס שלו הוא 5 ס”מ. חשבו את היקפו.

פתרון
הנוסחה היא:
P=2₶R
P = 2 * 3.14 * 5
P = 31.4

תשובה: היקף המעגל הוא 31.4 ס”מ.

בהמשך הדף תרגילים המתמקדים בהיקף מעגל ומידי פעם שואלים גם על שטח מעגל (הנוסחה היא S=₶r²).
אם אתם מעוניינים בפירוט בנושא שטח מעגל תמצאו אותו בקישור.

3.תרגילים

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

• היקף מעגל תרגילים

בדף זה 12 תרגילים המחולקים לחלקים.

החלקים הם:

1. תרגילים 1-4 חישוב היקף ושטח על פי הרדיוס או הקוטר.
2. תרגילים 5-7 חישוב היקפים של צורות המשלבות מעגל וצורות אחרות (היקפים מורכבים).
3. תרגיל 8 כיצד משתנה היקף המעגל כאשר מגדילים רדיוס פי…
4. תרגיל 9 ידוע ההיקף, צריך לחשב את הרדיוס
5. 10-11 אופניים / מעגלים מתגלגלים והמרחק שהם עוברים תוך כדי הגלגול.
6. 12 חישוב אורך קשת ושטח גזרה.

כל חלק מתחיל בסרטון וידאו המסביר כיצד לפתור שאלות.
ועבור חלק מהשאלות יש סרטוני וידאו, פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

חישוב היקף ושטח מעגל על פי הרדיוס או הקוטר

תרגיל 1: חישוב היקף מעגל על פי הרדיוס
רדיוס של מעגל הוא 6 מטר. חשבו את היקף המעגל ואת שטחו.

פתרון
חישוב היקף המעגל
הנוסחה להיקף המעגל היא:
P=2₶R

נציב:
3.14 = ₶
R = 6
ונקבל:
P = 2 * 3.14 * 6
P = 6.28 * 6 = 37.68
תשובה: היקף המעגל הוא 37.68 מטר.

חישוב שטח המעגל
S=₶r²
S = 3.14 * 6²
S = 3.14 * 36 = 113.04

תרגיל 2: חישוב היקף על פי הרדיוס (תרגיל נוסף)
רדיוס של מעגל הוא 12 ס”מ. חשבו את היקף המעגל ואת שטח המעגל.

פתרון
חישוב היקף המעגל
נציב r=12 בנוסחה:
p=2₶r
p = 2* 3.14 * 12= 75.36
תשובה: היקף המעגל הוא 75.36.

חישוב שטח המעגל
הנוסחה לשטח מעגל היא S=₶r²
S = ₶*12² = 144₶ = 452.16
תשובה: שטח המעגל הוא 144₶.

תרגיל 3: חישוב היקף מעגל בעזרת קוטר
ידוע כי קוטר של ארטיק עגול בטעם מסטיק הוא 8 ס”מ. מה היקף הארטיק?

פתרון
בשאלה זו נתון לנו הקוטר ולא הרדיוס.
אורך הקוטר גדול פי 2 מאורך הרדיוס. כלומר:
פעמיים הרדיוס הם 8 סנטימטר.
רדיוס אחד הוא 4 סנטימטר.

נציב זאת בנוסחה P=2₶r
P = 2* 3.14 * 4
P = 6.28 * 4 = 25.12

תשובה: היקפו של ארטיק המסטיק הוא 25.12 ס”מ.

דרך פתרון שנייה
בדרך זו נציב ישירות את הקוטר במשוואת המעגל.
הנוסחה הרגילה להיקף מעגל היא:
P=2₶r
אבל אפשר לרשום אותה גם כך:
P=₶ * 2r

2r שווים באורכם לקוטר שידוע לנו שהוא 8.
P = 3.14 * 8 = 25.12

לסיכום אם D הוא קוטר המעגל אז ניתן לכתוב את נוסחת היקף המעגל כך:
P = ₶ * D

תרגיל 4
קוטרו של מעגל הוא 10 סנטימטר ואורך צלעו של ריבוע היא 10 סנטימטר.
לאיזו צורה היקף גדול יותר?

פתרון
היקף הריבוע
היקף ריבוע שווה ל 4 פעמים הצלע שלה.
40 = 4 * 10

היקף מעגל
אם קוטרו של המעגל הוא 10 אז רדיוס המעגל הוא 5.
נציב בנוסחה:
P=2₶r
ונקבל:
P = 2 * 3.14 * 5
P = 6.28 * 5 = 31.4

תשובה: היקף הריבוע גדול מהיקף המעגל.

4.היקפים של צורות מורכבות

תרגיל 5: חישוב היקף של צורה מורכבת
חשבו את היקף הצורה הבנויה ממלבן שאורך צלעותיו הוא 3 ו 8 ס”מ ועל הצלע של 3 ס”מ נמצא קוטר המעגל.

פתרון
למלבן 3 צלעות בהיקף 3,8,8
19=3+8+8 (שימו לב שאת אחת מצלעות הלבן אין צורך לחשב כי המעגל “מכסה” עליה)

למעגל יש חצי מעגל בהיקף.
קוטר המעגל הוא 3.
לכן היקף העיגול המלא הוא:
P=2₶r
p = 3.14*1.5*2 = 9.42

מכוון שבצורה זו יש רק חצי עיגול ההיקף הוא :
4.71 = 2 : 9.42

נחבר את שני ההיקפים ונקבל:
23.71=19+4.71
תשובה: היקף הצורה המורכבת הוא 23.71 ס”מ.

• היקף מלבן תרגילים נוספים.

תרגיל 6
על ריבוע שאורך צלעו 6 סנטימטר בונים שני מעגלים כמתואר בשרטוט.
חשבו את היקף ושטח הצורה שנוצרה.

פתרון
חישוב ההיקף
היקף הצורה שנוצרה שווה לפעמיים היקף חצי המעגל, כלומר להיקף מעגל שלם.
ועוד אורך שתי צלעות ריבוע.

אורך שתי צלעות ריבוע הוא:
12 = 6 * 2

צלע הריבוע היא קוטר במעגל.
לכן אורך הקוטר במעגל הוא 6.
היקף מעגל הוא:
P=2₶r
p = 6 * 3.14 = 18.84

היקף הצורה כולה הוא:
30.84 = 12 + 18.84

חישוב השטח
שטח הצורה שווה לשטח הריבוע ועוד שטח שני חצאי עיגול. (שביחד הם שטח עיגול שלם).

שטח הריבוע הוא מכפלת צלע ריבוע בעצמה:
S = 6 * 6 = 36

שטח המעגל הוא:
S  = 3.14 * 3²
S = 3.14 * 9 =  28.26

שטח הצורה כולה:
64.26 = 36 + 28.26

תרגיל 7
רדיוסו של מעגל הוא 50 מטרים.
יוצרים מסלול ריצה מחצי מעגל ששני הקצוות שלו מחוברים על ידי קוטר המעגל. (הקו הכחול שבשרטוט).
אדם הלך במסלול זה סביב הקו הכחול 3 סיבובים.
מה המרחק שהאדם הלך.

פתרון
נחשב את אורכה של הקפה אחת.
אורכה של הקפה אחת הוא:
חצי מהיקף המעגל + קוטר המעגל.

נחשב את היקף המעגל:
p = 2 * 50 * 3.14
p = 100 * 3.14 = 314
חצי מהיקף המעגל הוא:
157 = 2 : 314

קוטר המעגל הוא:
100 = 2 * 50

סך כל היקף הצורה הוא:
257 = 100 + 157.

האדם הלך 3 הקפות:
771 = 3 * 257
תשובה: האדם הלך 771 מטרים.

5.כיצד ההיקף משתנה כאשר הרדיוס גדל פי…

כאשר מגדילים / מקטינים את הרדיוס פי מספר מסוים, כיצד משתנים השטח וההיקף?

• היקף המעגל גדל בדיוק פי אותה מידה שהגדילו את הרדיוס.
• שטח המעגל גדל בריבוע ביחס למה שהגדילו את הרדיוס.

דוגמה 1
היקף מעגל הוא 10 סנטימטר ושטחו 8 סנטימטר.
מגדילים את רדיוס המעגל פי 3.
כיצד ישתנו שטח והיקף המעגל?

פתרון
היקף המעגל יגדל כמו הרדיוס, פי 3.
שטח המעגל יגדל פי הרדיוס בריבוע 3² = 9.

אם במקור ההיקף היה 10 והשטח היה 8 אז:
ההיקף החדש:
30= 3 * 10
השטח החדש:
72 = 9 * 8

דוגמה 2
היקף מעגל הוא 20 סנטימטר ושטחו 24 סמ”ר.
מקטינים את רדיוס המעגל פי 2.
כיצד ישתנו שטח והיקף המעגל?

פתרון
היקף המעגל קטן כמו הרדיוס פי 2.
שטח המעגל קטן כמו הרדיוס בריבוע,  2² = 4.

אם במקור ההיקף היה 20 והשטח 24 אז:
ההיקף החדש:
10 = 2 : 20
השטח החדש:
6 = 4 : 24

הערה:
שימו לב שדיברנו על רדיוס שגדל / קטן פי … ולא ב…
אם הרדיוס גדל ב … משהו לא ניתן לדעת בכמה ישתנו ההיקף או השטח של המעגל החדש.
למשל עם רדיוס מעגל גדל ב 3 סנטימטר לא ניתן לדעת כיצד ישתנה היקף המעגל החדש או שטחו.

6.היקף המעגל ידוע מציאת רדיוס ושטח

תרגיל 9: היקף המעגל ידוע, מה הרדיוס?
נתון מעגל שהיקפו הוא 18.84 ס”מ.
חשבו את רדיוס המעגל ואת שטחו.

פתרון
ההיקף הוא 6₶ והנוסחה לחישוב היקף היא p=2₶r.
לכן:
2₶r=6₶
2r=6  (צמצמנו את ה ₶).
3 = r
תשובה: רדיוס המעגל הוא 3 ס”מ.

 

7.גלגלים מתגלגלים והמרחק שהם עוברים

עוד באתר:

1. מבחן בנושא היקף מעגל לכיתה ו.
2. מבחן בנושא היקף מעגל לכיתה ז.
3. מבחן בנושא שטח והיקף מעגל לכיתה ז למתקדמים.
4. שטח עיגול – הסבר ותרגילים.
5. היקף משולש – הסבר ותרגילים.
6. היקף – נוסחאות היקף של צורות נוספות.
7. מעגל – דף מסכם על הצורה, כולל גם מידע המיועד לתלמידי תיכון.