משוואת ישר במרובעים גיאומטריה אנליטית

בדף זה הסברים על התכונות הרלוונטיות של מרובעים לגיאומטריה אנליטית.
הדף מיועד לתלמידי 3 יחידות הניגשים לשאלון 382 או תלמידי 4-5 יחידות בכיתה י ומעלה.

אנו נדבר על משפחת המקביליות: מקבילית, מעוין, מלבן, ריבוע.

התכונות הבולטות ביותר במשפחה זו שרלוונטיות לגיאומטריה אנליטית הן:

1. הצלעות מקבילות – ולכן משוואות הצלעות הן בעלות אותו שיפוע.
2. האלכסונים חוצים זה את זה – לכן פעמים רבות נשתמש בנוסחת אמצע קטע לחישוב נקודת מפגש האלכסונים או חישוב אחד הקודקודים.
3. במעוין ובריבוע האלכסונים מאונכים – לכן מכפלת שיפועי האלכסונים היא 1-.

לדף זה 2 חלקים:

1. פתרון תרגילים.
2. סיכום תכונות המרובעים (בנספח).

לפני דף זה עליכם לדעת:

1. משוואת הישר סיכום.

תרגילים

תרגיל 1
בריבוע ABCD ידועים הקודקוד   (D(-3, -1 ונקודת מפגש האלכסונים (M (-2, 1  חשבו את הקודקוד B.

פתרון
נניח שהנקודה B היא  (B (X_B, Y_B.
נחשב את הערכים של הנקודה B על פי הנוסחה לאמצע קטע

x_b – 3 = -4  / + 3
x_b = -1

y_b -1 = 2  / +2
y_b = 3

תשובה: (B(-1, 3

תרגיל 2
במלבן ABCD הנקודה (A (-2, -4 ומשוואת הישר AD היא 2-y=x.
א. אמצע הקטע AB הוא (1 , 7-)E, מצאו את הנקודה B.
ב. הנקודה D נמצאת ברביע הראשון ובמרחק של 200√ מהנקודה A. מצאו את הנקודה D.

פתרון
א. מצאו את הנקודה B.
על פי הנוסחה לאמצע קטע מתקיים:
7- = 2: (2 –  x)
x-2 =-14 /+2
x=-12.
1 = 2 : (4 – y)
y-4=2  /+4
y=6
תשובה: הנקודה (B(-12, 6

ב. מציאת הנקודה D הנמצאת ברביע הראשון ובמרחק של 200√ מהנקודה (A (-2, -4 (וכמובן גם על הישר AD שמשוואתו 2-y=x).
אם ערך ה X של הנקודה D הוא x_d אז ערך ה y הוא y_d=x_d-2.
(D(x_d, x_d-2.
על פי משוואת המרחק בין שתי נקודות מתקיים:
x_d+2)² + (x_d-2+4)² = 200)
x² +4x+4+x²+4x+4=200
2x²+8x+8=200 /:2
x²+4x+4 =100
x+2) ²=10²)
x+2=10 או x+2=-10
x_d=8 או x_d=-12
התשובה x_d=-12 נפסלת משום שאינה ברביע הראשון.
y_d=x_d-2=8-2=6
תשובה: הנקודה (D(8,6

תרגיל 3
במקבילית ABCD ידועות הנקודות
(A (0.4,3.2)   B(-0.8, -0.4)   C(1, 0.5
מצאו את הקודקוד D של המקבילית.

פתרון
על מנת למצוא את הנקודה D נמצא את משוואת הישרים AD, CD והנקודה D תהיה נקודת החיתוך של הישרים הללו.
על מנת למצוא את המשוואות הללו נשתמש בכך שצלעות נגדיות במקבילית מקבילות זו לזו.
לכן:
השיפוע של CD שווה לשיפוע של AB.
השיפוע של AD שווה לשיפוע של BC.

מציאת משוואת AD
השיפוע של BC הוא:

הישר AD שיפועו 0.5 ועובר בנקודה 0.4,3.2.
לכן משוואתו:
(y-y₁=m(x-x₁
y – 3.2 = 0.5 (x – 0.4
y – 3.2 = 0.5x – 0.2  / +3.2
y = 0.5x +3
זו משוואת AD.

מציאת משוואת CD
השיפוע של AB השווה לשיפוע CD הוא:

שיפוע CD הוא 3 והוא עובר בנקודה 1,0.5.
לכן משוואתו:
(y-y₁=m(x-x₁
(y – 0.5 = 3 (x -1
y – 0.5 = 3x – 3
y = 3x – 2.5
זו משוואת CD.

מציאת הנקודה D.
זו נקודת המפגש של הישרים:
AD
y = 0.5x +3
CD
y = 3x – 2.5

3x -2.5 = 0.5x + 3  / -0.5x + 2.5
2.5x = 5.5  / :2.5
x = 2.2

נציב x = 2.2  במשוואה y = 0.5x +3 ונקבל:
y = 0.5 * 2.2 + 3 = 4.1

תשובה: הנקודה (D (2.2, 4.1

הערה
קיימת דרך נוספת לפתור והיא למצוא את נקודת מפגש אלכסוני המקבילית באמצעות הנקודות A, C.
ואז למצוא את הנקודה D על ידי שימוש בנוסחת אמצע קטע והנקודות B ונקודת מפגש האלכסונים.

תרגיל 4
במקבילית ABCD משוואת הישר AB היא y=2x+1.
משוואת הישר BC היא  y=-3x-10 .
הנקודה D היא (5,0).
א. מצאו את משוואת הצלע CD.
ב. מצאו את הנקודה B.
ג. מצאו את נקודות המפגש של אלכסוני המקבילית (E).

פתרון

א. מצאו את משוואת הצלע CD.
CD מקבילה ל AB לכן השיפוע שלה 2.
על מנת למצוא משוואת ישר על פי שיפוע (2) ונקודה (D(5,0 מציבים בנוסחה:
(y-y₁=m(x-x₁
(y-0 = 2(x-5
y=2x-10 – זו המשוואה.

ב. מצאו את הנקודה B.
משוואת AB היא y=2x+1.
משוואת BC היא  y=-3x-10 .
הנקודה B מתקבלת על ידי:
2x+1= -3x-10 / +3x-1
5x=-11 / :5
x=-2.2
נמצא את ערך ה Y בנקודה:
y=2x+1
y= 2*-2.2+1= -3.4
(B (-2.2, -3.4
(דוגמאות נוספות למציאת נקודות חיתוך בין ישרים).

ג. מצאו את נקודות המפגש של אלכסוני המקבילית (E).
אנו יודעים את הנקודה (B (-2.2, -3.4 ואת הנקודה  (D(5,0.
הנקודה E נמצאת בדיוק באמצע שלהם.
נשתמש בנוסחה למציאת אמצע של נקודות:
x_E = (5-2.2) : 2= 1.4
y_E= (0-3.4) :2 =-1.7
נקודה האמצע היא (E(1.4, -1.7

תרגיל 5 (שני נעלמים)
(מיועד ל 4-5 יחידות)
במקבילית ידועות הצלעות:
AD  ⇒  y = 2x + 3
CD ⇒   y = x + 6
נקודת מפגש האלכסונים היא (E (2.5, 6
חשבו את ארבעת קודקודי המקבילית.

פתרון
שלב א: חישוב הנקודה D
הנקודה D היא החיתוך של שני ישרים
AD  ⇒  y = 2x + 3
CD ⇒   y = x + 6

2x + 3 = x + 6
x = 3
y = x + 6 = 9
(D (3,  9

שלב ב: חישוב הנקודה B
בעזרת הנוסחה לאמצע קטע ניתן למצוא את B
(D (3,  9
(E (2.5, 6
לכן ערך ה x של B הוא 2.
ערך ה y של B הוא 3.
(B (2, 3
(פתרון זה נכתב בקיצור)

שלב ג: הגדרת הנקודות A, C בעזרת שני משתנים
הרעיון של שלב זה הוא כזה:
ניתן להגדיר את הנקודה A בעזרת משתנה אחד ואת הנקודה B באמצעות משתנה שני.
לאחר מיכן בעזרת הנוסחה לאמצע קטע ניתן לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים.

נגדיר כי ערך ה x של הנקודה A הוא x_A לכן ערך ה y של A הוא:
y = 2x_A + 3
(A (x_A, 2x_A + 3

נגדיר כי ערך ה x של הנקודה C הוא x_c לכן ערך ה y של A הוא:
y = x_c + 6
(C (x_c, x_c + 6

שלב ד: בניית שתי משוואות עם שני נעלמים ותשובה
הנקודה (E (2.5, 6
היא האמצע של הנקודות
(A (x_A, 2x_A + 3
(C (x_c, x_c + 6

לכן אנו יכולים את שתי המשוואות הבאות:

x_A + x_c ) * 0.5 = 2.5)
2x_A + 3  + x_c + 6) * 0.5 = 6)

x_A + x_c ) * 0.5 = 2.5)
x_A + x_c  = 5

2x_A + 3  + x_c + 6) * 0.5 = 6)
2x_A + 3  + x_c + 6 = 12
2x_A  + x_c = 3

נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה ונקבל:
x_a = -2
לכן
(A (-2,  -1

x_c = 7
(C (7, 13

תשובה: ארבעת קודקודי המקבילית הם:
(A (-2,  -1
(B (2, 3
(C (7, 13
(D (3,  9

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

נספח: פירוט תכונות המרובעים