המישור של גאוס: הצגה טריגונומטרית של מספרים מרוכבים

בדף זה נלמד מה היא הצגה טריגונומטרית של מספרים מרוכבים וכיצד עוברים בין הצגה טריגונומטרית להצגה אלגברית.

סרטון הסבר

היכרות עם ההצגה הטריגונומטרית

מישור גאוס – מישור המספרים המרוכבים

על מנת לתאר מספר מרוכב z = a + bi על מערכת צירים אנו יכולים להגדיר את מערכת הצירים בצורה הבאה:

את ציר ה x נגדיר כציר המתאר את החלק הממשי של המספר המרוכב (a) (מכנים את הציר הזה גם באנגלית Re).

בציר ה y נתאר את החלק המדומה (bi).  (מכנים את הציר הזה באנגלית Im).

מערכת צירים מסוג זה נקראת המישור של גאוס.

למשל:
z = 3 + 2i

ימוקם כך על מערכת הצירים בצורה הזו:

ההצגה הטריגונומטרית של מספר מרוכב

בהצגה הטריגונומטרית נשתמש בפונקציות הטריגונומטריות cos, sin על מנת לייצג את המספרים המרוכבים.

הצגה זו נקראת גם הצגה פולרית / קוטבית , ויש לה שימוש בהרבה תחומים במתמטיקה.

בהצגה זו אנו משתמשים בשני גדלים:

r – הרדיוס, מרחק הנקודה מהראשית.
θ – הזווית שהרדיוס יוצר עם ציר ה x.

למשל המספר המרוכב z = 3 + 2i ימוקם כך במישור של גאוס.

את הגדלים r, θ אנו יכולים למצוא בעזרת המשולש

במשולש שנוצר את הגדלים a,b של המספר המרוכב z = a + bi ניתן לתאר כך:

a = r * cos θ
זו ההצגה הטריגונומטרית של החלק הממשי.

bi = r * sin θ * i
זו ההצגה הטריגונומטרית של החלק המרוכב.

לכן את המספר המרוכב ניתן לכתוב כך:

z = a + bi
z = r * cos θ + r * sin θ * i
z = r(cosθ + sinθ * i)

וניתן גם לכתוב בקיצור את הפונקציות הטריגונומטריות sin, cos ולכתוב את המספר המרוכב כך:
z = r cisθ

עבור המספר z = 3 + 2i

אנו יכולים למצוא את הערכים של r, θ וכך לכתוב את המספר בצורה טריגונומטרית:

בעזרת משפט פיתגורס נמצא את הרדיוס:

r = √(a² + b²)

r = √(3² + 2²) = √13

בעזרת הפונקציות הטריגונומטריות נמצא את θ :

a = r * cos θ
3 = √13 * cos θ
cos θ = √13 = 0.83
θ = 33.69

ברגע שיש לנו את r, θ יש לנו את ההצגה הטריגונומטרית של המספר המרוכב.

z = r(cosθ + sinθ * i)
z = r(√13 + 0.554 * i)

לסיכום
z = a + bi
בהצגה האלגברית יש שני משתנים a,b.

z = r(cosθ + sinθ * i)
בהצגה הטריגונומטרית יש שני משתנים r, θ.

אם יש לנו הצגה אלגברית z = a + bi
אנו יכולים למצוא את ההצגה הטריגונומטרית בעזרת הנוסחאות:

r = √(a² + b²)

a = r * cos θ
או
b = r * sin θ

הערה
המשוואה הטריגונומטרית יכולה לתת לנו יותר מפתרון אחד, מבין הפתרונות נבחר את הפתרון שמתאים לרביע שבו נמצאת הנקודה על פי ההצגה האלגברית.

ואם יש לנו את ההצגה הטריגונומטרית שבה r, θ ידועים.
אנו יכולים לעבור להצגה האלגברית בעזרת הנוסחאות:

a = r * cos θ
b = r * sin θ

מעבר של נקודות הנמצאות על הצירים

כאשר מספר הוא ממשי – הוא נמצא על הציר הממשי והזווית θ שלו היא 0 או 180 מעלות בהתהם לסימן המספר.

כאשר מספר הוא מדומה טהור (למשל z = 2i). אז הזווית שלו היא 90 הוא 270 מעלות בהתאם לסימן המספר.

תרגילים

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
• שאלון 582.