בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון 582 חורף 2018

בדף זה פתרון של שאלון 582 חורף 2018.

ניתן ללמוד את החומר בקישורים:

• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 582 / 572.

תרגיל 1

א.
C נקודה כלשהי ששיעוריה (x,y).

CD חוצה זווית במשולש ABC, ולכן הזוויות ACD ו -BCD שוות.
נבטא את הזוויות באמצעות שטחי המשולשים:
2/(S_ΔACD = AC*CD*sin(ACD
2/(S_ΔBCD = BC*CD*sin(BCD

כעת נמצא את שטחי המשולשים הנ”ל לשטחי המשולשים בנוסחה של בסיס*גובה/2:
(גובה המשולשים הוא בעצם שיעור ה-y של נקודה C, שסימנו אותו ב-y)
S_ΔACD = AD*h/2 = 9*y/2 = 4.5y
S_ΔBCD = BD*h/2 = 10*y/2 = 5y

כעת נשווה בין הנוסחאות לשטחי המשולשים:
ACD:
AC*CD*sin(ACD)/2 = 4.5y
(sin(ACD) = 4.5y/(AC*CD

BCD:
BC*CD*sin(BCD)/2 = 5y
(sin(BCD) = 5y/(BC*CD

הזוויות הנ”ל שוות, לכן גם הסינוס שלהן שווה. נשווה בין הסינוסים:

נחלק ב – y ונכפיל ב – CD:

נציב את אורכי הצלעות AC ו -BC   (נמצא אותן לפי נוסחה לאורך קטע לפי 2 נקודות)

נעלה בריבוע:

כפל בהצלבה:
25x² + 25y² = 20.25x² – 769.5x + 7,310.25 + 20.25y²
4.75x² + 769.5x + 4.75y² = 7,310.25
נחלק ב-4.75 :
x² + 162x + y² = 1,539
נוסיף ל-2 האגפים 6,561 :
x² + 162x + 6,561 = 8,100
נוסחת כפל מקוצר:
x + 81)² + y² = 8,100)

זוהי משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות הנקודות C שמקיימות את הדרישות.
(זוהי משוואה של מעגל שמרכזו בנקודה (81,0-) ורדיוסו 90).

ב.
בסיס המשולש ABC הוא קבוע – הצלע AB, שאורכה 19.
בשביל שטח משולש מקסימלי, נרצה שגובה המשולש יהיה מקסימלי (רחוק ככל הניתן מציר x).
לכן נרצה שנקודה C תהיה בעל שיעור y גדול ככל הניתן (בערכו המוחלט).
מכיוון שהנקודה C נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה (81,0-) ורדיוסו 90,
שיעור ה-y המקסימלי שהיא יכולה לקבל הוא 90.
לכן גובה המשולש המקסימלי הוא 90.
לכן שטח המשולש המקסימלי הוא:
S_ΔABC = 19*90/2 = 855

ג.
הצלע BC משיקה למעגל, אם השיפועים שלהן שווים באותה נקודה.
השיפוע של הצלע BC:
(m = (y – 0)/(x – 19
(m = y / (x – 19

נמצא את השיפוע של משוואת המעגל. ראשית נבודד את y מהמשוואה:
(y = ±√(8100-(x+81)²

ניקח את החלק החיובי של המעגל, ונגזור את הפונקציה:

נשווה בין השיפועים:

אנו יודעים כי C נמצאת על משוואת המעגל, ולכן היא מקיימת את המשוואה:
 (y = ±√(8100-(x+81)²
נציב במשוואה:

כפל בהצלבה:
x + 81)² + 8,100 = -x² + 19x – 81x + 1539)-
x² – 162x – 6,561 + 8,100 = -x² – 62x + 1,539-
100x = 0-
x = 0

ישנן 2 נקודות על המעגל המקיימות x = 0.
(מוצאים אותן ע”י הצבת x = 0 במשוואה : (y = ±√(8100-(x+81)² )
1. (1,539√ , 0)
2. (1,539√- , 0)
וזוהי התשובה.

 

 שאלה 2

נתון: ‘DK = t*AA

א.
על מנת למצוא את t, נמצא את נפחי הפירמידה והמנסרה כתלות,
וניעזר בנתון לגבי הנפחים כדי ליצור משוואה הקושרת ביניהם.

נתון כי נפח המנסרה גדול פי 4.5 מנפח הפירמידה ABCK.
לכן:
V_{פירמידה} * 4.5 = V_מנסרה

נצמצם:
t*1.5 = 1
t = 2/3

ב. נבצע בניית עזר:

נקודה M היא אמצע הצלע AB.
CM מאונך לAB מכיוון שABC שווה צלעות.
KM מאונך לAB מכיוון שABK שווה שוקיים.

נשתמש במשפט פיתגורס במשולש BMC:

CM² = a² – (a/2)²
(CM = √(a² – a²/4
(CM = √(3a²/4
CM = √3*a/2

מכיוון שהמשולש ABC שווה צלעות, ו – D מפגש התיכונים, הוא מחלק כל תיכון ביחס של 2:1.
לכן:
MD = (√3*a/2)/3
MD = √3*a/6

כעת נסתכל על משולש MDK:

לכן: DMK = 66.586º.

(הזווית הזו היא בעצם הזווית בין שני המישורים, ולכן זוהי התשובה)

ג. נמצא את נפח הפירמידה (כתלות ב-a) עפ”י נוסחה, ונשווה אותו לנפח הנתון.
נחשב ראשית את שטח בסיס הפירמידה: (משולש שווה צלעות)
S_ΔABC = a*a*sin(60)/2
S_ΔABC = a² * √3 /4

כעת נשווה בין הנפחים:

נצמצם:
a³ / 6 = 36
a³ = 216
a = 6

ד. 
1. שיעורי הקודקוד ‘B:
ראשית נמיר את הנתונים שקיבלנו לנקודות ממשיות:
A היא ראשית הצירים, לכן: (0,0,0)A
‘A נמצאת על ציר z החיובי, ונמצאת במרחק a = 6  מהראשית. לכן: (0,0,6) ‘A.
C נמצאת על ציר y החיובי, ונמצאת במרחק a = 6  מהראשית. לכן: (0,6,0) C.

נבצע בניית עזר:

הנקודה F היא אמצע הצלע ‘A’C. מכיוון שזהו משולש שווה צלעות, הצלע B’F מהווה אנך לצלע ‘A’C.

נתבונן במשולש A’B’F :

הזווית B’A’F שווה ל -60° , מכיוון שהמשולש ‘A’B’C שווה צלעות.
לכן:

B’F = 3√3

הצלע הזו מקבילה לציר x, לכן שיעור ה -x של הנקודה B הוא 3√3.
שיעור ה-y של הנקודה ‘B הוא כשל נקודה F , כלומר 3.
שיעור ה-z של הנקודה ‘B הוא 6, כשל כל הבסיס העליון של המנסרה.

תשובה: שיעורי הנקודה ‘B הם: (x,y,z) = (3√3 , 3, 6)

2. משוואת המישור:

ראשית נמצא את שיעורי נקודה K:
שיעור ה -z : נקודה K נמצאת 2/3*a  מעל בסיס המנסרה שנמצא ב -z = 0.
a =  6 , ולכן שיעור ה -z של נקודה K הוא 2/3*6 = 4.
שיעור ה -y: מבחינת ציר ה – y , נקודה K נמצאת באותו מרחק כמו נקודה ‘B , ששיעור ה- y שלה הוא 3.
לכן שיעור ה – y  של נקודה K הוא 3.
שיעור ה -x: שיעור ה -x של נקודה B הוא 3√3.
מכיוון ש-D היא מפגש התיכונים במשולש שווה צלעות, שיעור ה-x שלה הוא 3/3√3 (כלומר שליש מהצלע).
שיעור ה-x של D ו-K זהים, לכן שיעור ה-x של נקודה K הוא 3√.

לכן: (4 , 3 , 3√)K

כעת נמצא את משוואת המישור לפי 3 נקודות:
נציב במשוואה: ax + by + cz + d = 0 את שלושת הנקודות.

נקודה A:
a*0 + b*0 + c*0 + d = 0
d  = 0

נקודה ‘B:
a*3√3 + b*3 + c*6 = 0

נקודה K:
a*√3 + b*3 + c*4 = 0

יש לנו 2 משוואות עם 3 נעלמים. לכן נוכל לבחור a = 1, למשל.

כעת נחסר משהמשוואה הראשונה 3 פעמים את המשוואה השנייה: (ונציב a = 1):
6b – 6c = 0-
b = -c

נציב במשוואה השנייה:
3c + 4c + √3 = 0-
c = -√3
לכן: b = √3

לכן, משוואת המישור:
x + √3 y – √3 z = 0

 

 שאלה 3

א. נפתור את המשוואה בעזרת הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית:

כאשר:
a = 1
b = -5 + 2i
c = 7 + i

נזכור כי:   i² = -1

כעת נרצה לפתור את השורש הנ”ל – על מנת למצוא את פתרונות המשוואה.
לכן נפתור את המשוואה:
w² = -7 – 24i

נציב : w = a + bi

a + bi)² = -7 – 24i)
a² + 2abi – b² = -7 – 24i
נפריד לחלק ממשי וחלק מדומה:
ממשי: a² – b² = -7
מדומה: 2ab = -24
a = -12/b
נציב במשוואה הראשונה (של החלק הממשי):
b² + (-12/b)² = -7-
b² + 144/b² = -7-
נכפול את המשוואה ב – b² :
b⁴ – 7b² – 144 = 0
נוסחת כפל מקוצר:
b² – 16) * (b² + 9) = 0)
b² אינו יכול להיות שלילי, לכן הפתרון שנשאר:
b² = 16
b₁ = 4      =>     a₁ = -12/4 = -3
b₂ = -4      =>     a₂ = -12/-4 = 3

נחזור למשוואה המקורית:

לכן פתרונות המשוואה:
z₁ = 4 – 3i
z₂ = 1 + i

הפתרון z₂ יותר קרוב לראשית הצירים, ולכן:   w =  1 + i

ב.
1.
שני איברים בסדרה a_n הם : 1 , 1 + i .
נשים לב כי החלק הממשי של שני האיברים זהה (1), ואילו החלק המדומה שונה.
לכן נוכל להסיק כי הפרש הסדרה החשבונית (d) הוא בעל חלק מדומה בלבד (החלק הממשי שלו הוא 0).
כלומר, כל איבר בסדרה יהיה מהצורה : a_n = 1 + b*i  , כאשר b מספר ממשי.

2.
ראינו כי כל איבר בסדרה a_n הוא מהצורה   a_n = 1 + b*i .
לכן, אם נסתכל על מישור גאוס, כל איברי הסדרה יהיו על הישר x = 1.
(מכיוון שציר x מסמל את החלק הממשי – שהוא תמיד 1).
הנקודה היחידה על הישר x = 1 הנמצאת על מעגל היחידה היא  (1,0).

לכן כל הנקודות במישור גאוס המייצגות את איברי הסדרה a_n  (פרט ל – (1,0) ) – נמצאות מחוץ למעגל היחידה.

 

שאלה 4

שאלה זו:

1. בסעיף א חקירה של פונקציה בסיסית (קל ושגרתי).
2. סעיף ב – הסבר מעניין וברמת קושי סבירה.
3. סעיף ג1 הוכחה הדורשת הרבה אלגברית גבוהה שפונקציה היא אי זוגית.
4. סעיף ג2 מיוחד וקשה מהרגיל על הזזה של פונקציה אי זוגית והאינטגרל של ההזזה.

 

סעיף א1

נקודות אי ההגדרה של הפונקציה הן נקודות עבורן המכנה מתאפס.
אבל, e^x היא פונקציה חיובית לכל x.
1 הוא מספר חיובי תמיד.
לכן המכנה חיובי לכל x.
לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא כל x.

 

סעיף א2

על מנת למצוא את התחומים נגזור את הפונקציה.

נגזור לפי נגזרת של מנה:

הפונקציה e^x חיובית לכל x.
ביטוי בריבוע הוא חיובי לכל x.

לכן המונה והמכנה של הנגזרת חיוביים לכל x והפונקציה עולה לכל x.

 

סעיף א3

כאשר הנגזרת השנייה שווה ל 0 הנקודה חשודה כפיתול.

נגזור שוב את הפונקציה כדי למצוא נקודות פיתול:

נגזור על פי הכלל של נגזרת מנה:

נחלק ב – (e^x + 1)  – ביטוי זה שונה מ – 0.

השבר מתאפס רק אם המונה שווה ל – 0. לכן:
e^x – e^2x = 0
e^x ( 1 – e^x) = 0

נחלק ב- e^x (שונה מ – 0)
e^x = 1
e^x = e⁰

לכן x = 0 היא נקודה חשודה לפיתול.

נבדוק האם היא אכן נקודת פיתול בעזרת תחומי קעירות וקמירות:

 

לכן נקודת פיתול : (0.5 , 0)

 

סעיף א4

 

אסימפטוטה אנכית:

מתקבלת בנקודת אי הגדרה של הפונקציה.
פונקציה זו מוגדרת לכל x, ולכן אין אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטה אופקית:

מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסויים עבור x ששואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

עבור x שואף לאינסוף: הביטוי המשמעותי במונה והמכנה הוא e^x.
לכן תוצאת הגבול תהיה מנת המקדמים של e^x – שהיא 1.
לכן אסימפטוטה אופקית עבור x שואף לאינסוף היא y = 1.

 

עבור x שואף למינוס אינסוף: e^x שואף ל – 0.
לכן המונה ישאף ל – 0 , ואילו המכנה ל – 1. ובסה”כ הפונקציה תשאף ל – 0 .
לכן אסימפטוטה אופקית עבור x שואף למינוס אינסוף היא y = 0.

 

סעיף א5

מצאנו כי הפונקציה מוגדרת לכל x.
עולה לכל x (וללא קיצון).
0,0.5  נקודת חיתוך עם ציר ה y.
y =0, y = 1 אסימפטוטות.

לכן הסקיצה נראית כך

 

סעיף ב
ניתן לראות מהשרטוט, כי הפונקציה חסומה בין y = 0 לבין y = 1.

הפרש שיעורי ה -x באינטגרל הנתון הינו 1.

לכן אם נתייחס אל השטח כאל מלבן / ריבוע.
אז צלע אחת של המלבן שווה ל 1 (מ a ועד a +1).
וצלע שנייה של המלבן קטנה מאחד (הצלע שמקבילה לציר ה y)
לכן שטי המלבן קטן מ 1.

לכן מתקיים:

סעיף ג1

f(x) = g(x) + 0.5
לכן מתקיים:
g(x) = f(x) – 0.5

נכתוב את השבר בצורה של שבר יחיד:

 

ננסה להוכיח כי:
g(x) = – g(-x)

נמצא את g(-x).

בנוסף על מנת להיפתר מ e^-x  נכפול את השבר ב e^x / e^x.

 

ניצור מכנה משותף לשני השברים:

 

מצאנו כי:
g(x) = – g(-x)
לכן זו פונקציה אי זוגית.

טכניקה נוספת להוכחת האי זוגיות (על ידי יצירת מכנה משותף וללא הכפלה ב e^x / e^x.

ניצור מכנה משותף במונה ובמכנה:

נצמצם ונקבל את התוצאה.

קיבלנו:
(g(-x) = – g(x.

לכן זוהי פונקציה אי – זוגית.

(בנוסף ניתן לראות בגרף – אם נוריד מ –  (f(x  חצי  , תהיה סימטריה הפוכה ביחס לצירים –
תכונה של פונקציה אי זוגית).

סעיף  ג2

דרך א’ – חישוב:

נציב:  f(x) = g(x) + 1/2

נפצל את האינטגרלים:

(g(x פונקציה אי – זוגית , לכן ישנה סימטריה הפוכה ביחס לציר x , ולכן השטחים מצטמצמים.

דרך ב’ – הסבר בעזרת סימטריה:

נושא זה נדיר וגם קשה להסבר והבנה.

הפונקציה g(x) אי זוגית וסימטרית ביחס ל 0,0.
והשטח שלה מהצד החיובי ומהצד השלילי מקיים

כאשר השטח מחושב בין הפונקציה לבין הישר y = 0.

הפונקציה f(x) מקיימת:

f(x) = g(x) + 0.5

לכן הפונקציה תהיה סימטרית ביחס לנקודה 0,0.5.

והישר איתו ניתן יהיה לחשב שטחים סימטריים יעלה גם הוא ב 0.5 ומשוואתו תהיה y = 0.5.

נוסע מכך שהשטחים המקווקוים בקווים שחורים בשרטוט שווים.

וגם שטחי המלבנים האפורים שווים.

לכן שני השטחים הירוקים שווים.

ולכן חישוב האינטגרל המבוקש:

שווה לחישוב שטח מלבן גדול אחד.

גובה מלבן זה הוא 1.
רוחבו c – b
ולכן שטחו
s = 1 * (c – b) = c – b

 

חורף 2018 שאלה 5

חקרו את הפונקציה

א.
1. תחום הגדרה:
תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
לכן, תחום ההגדרה של (f(x הוא x > 0.

2. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x : נפתור את המשוואה f(x) = 0.
2lnx + 3) / 3 = 0)
2lnx + 3 = 0
2lnx = -3
lnx = -1.5
x = e^-1.5

ציר y:  הפונקציה לא חותכת את ציר y מכיוון ש x = 0 מחוץ לתחום הגדרתה.

נקודות החיתוך: 
ציר x :
(0,e^-1.5)
ציר y : אין.

3. תחומי עלייה וירידה:
ראשית נבדוק האם יש נקודות קיצון:
f ‘ (x) = 2 / 3x = 0
אין x המקיים את המשוואה, ולכן לפונקציה אין נקודות קיצון.A
לכן הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום הגדרתה.

על מנת לבדוק אם עולה/יורדת, נציב בנגזרת נקודה כלשהי בתחום ההגדרה:
f ‘ (1) = 2 / 3 > 0

כלומר, הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה.
לכן, הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה, כלומר לכל x > 0.

4. אסימפטוטה אנכית:
מכיוון שהפונקציה מורכבת מפונקציית ה – ln ,
הפונקציה תשאף למינוס אינסוף כאשר x שואף ל – 0.
לכן, האסימפטוטה האנכית של הפונקציה היא x = 0.

5. סקיצה של הפונקציה:

 

ב.
1. אסימפטוטות של (f ‘ (x :

כבר מצאנו את הנגזרת:
f ‘ (x) = 2/3x

אסימפטוטה אנכית:
נשים לב כי כאשר x שואף ל – 0, המכנה שואף ל-0 והמונה הוא מספר קבוע,
ולכן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן x = 0 – אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית:
כאשר x שואף לאינסוף, המכנה ישאף לאינסוף והמונה הוא מספר קבוע,
ולכן הפונקציה שואפת ל – 0.
לכן y = 0 – אסימפטוטה אופקית.

2. סקיצה של (f ‘ (x:

ג. b > 1 הוא פרמטר.

השטח הכלוא שווה ל – (ln(4.

השטח הכלוא נתון ע”י האינטגרל:

אנו כבר יודעים מהי הפונקציה הקדומה – מכיוון שאנו עושים אינטגרל על הנגזרת של הפונקציה המקורית.
לכן הפונקציה הקדומה היא (f(x.
נפתור את האינטגרל:

נתון כי השטח הכלוא שווה ל – (ln(4.
כעת נשווה בין השטח שמצאנו לבין השטח הנתון:
(2ln(b) / 3 = ln(4
לפי חוקי לוגריתמים:
(a * ln(x) = ln(x^a
לכן:
(ln(b^2/3) = ln(4
b^2/3 = 4
b = 4^3/2
b = 8