בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון 581 חורף 2021

סעיף א

275 ק”מ

סעיף ב

פגישה ב-9:40 לא אפשרית

פגישה ב-10:00 אפשרית

נשים לב כי מדובר בבעיית תנועה. נגדיר משתנים ונשלים את הטבלה:

x – המרחק בין שתי הערים בק”מ

v – המהירות של אייל בקמ”ש

1.2 המהירות של ברק (כי היא גבוהה ב 20%)

להלן סקיצה של תנועת שני השליחים:

החצים הירוקים מסמלים את תנועתו של אייל והאדום את תנועתו של ברק.

בנוסף, זוהי רק סקיצה. יכול להיות שנקודת המפגש תהיה גם יותר קרובה ל-A מאשר x / 6 מהדרך(נקודת החזרה של אייל)

הטבלה עבור תנועתו של אייל שיצא מ A וחזר ל A.

הטבלה עבור תנועתו של ברק:

נתון כי ברק ואייל יצאו באותו זמן, לכן זמני התנועה שלהם שווים. נשווה בין זמני התנועה שלהם:

165 = 0.6x

x = 275

המרחק בין שתי הערים הוא 275 ק”מ

נחשב את זמני הנסיעה שהם צריכים על מנת להגיע בזמנים הללו

זמן הנסיעה עד 9:40:

9:40 – 8:00 = 1:40

1:40 שעות(בשבר עשרוני- 1.66 שעות)

זמן הנסיעה עד 10:00:

10:00 – 8:00 = 2

שעתיים.

נחשב את המרחקים שכל אחד מיהם עבר עד הפגישה:

המרחק של איל

המרחק של ברק

ברק עבר 75 קילומטרים פחות מהדרך כולה, לכן המרחק שעבר:
S = x – 75 = 275 – 75 = 200

דרך ראשונה: נחשב את המהירות שהם צריכים לנסוע על מנת שיגיעו בזמן

אנו יודעים את הדרך ואת הזמן, לכן ניתן לחשב את המהירות בה עליהם לנסוע.

עבור ברק:

S = 200
T = 1.66

V = S / T = 200 / 1.66 = 120.48

כדי שהשליחים יפגשו ב-9:40 ברק צריך לנסוע במהירות 120.48 קמ”ש, לכן פגישה בשעה זו היא לא אפשרית (אין צורך לבדוק את מהירותו של אייל עבור זמן זה).

מהירות עבור פגישה ב 10:00:

T = 2

V = 200 / 2 = 100

מהירות זו היא במהירות המותרת, לכן נבדוק את מהירותו של אייל עבור הגעה בזמן זה.

עבור אייל:

S = 166.66

T = 2

V = S / T = 166.66 / 2 = 83.33

מהירות שני השליחים היא במהירות המותרת עבור זמן הגעה זה, לכן הגעה ב-10:00 היא אפשרית.

תשובה סופית:

הגעה ב-9:40 היא לא אפשרית

הגעה ב-10:00 היא אפשרית

דרך שנייה: 

אנו יודעים את הדרך של שניהם וגם את המהירות הגבוהה והנמוכה ביותר שהם יכולים לנסוע.

לכן ניתן לחשב את הזמן המהיר והאיטי ביותר שלהם עד הפגישה.

עבור ברק:

200 קילומטרים זו הדרך שברק צריך לעבור.

אם ייסע במהירות המקסימלית  110 קמ”ש.

T = S / V

T = 200 / 110 = 1.81

תרגום לשעות:

0.81 * 60 = 48.6

זמן שהדרך לוקחת: 1:48

שעת הגעה: 9:48

עבור 50 קמ”ש(זמן הגעה מקסימלי):

T = S / V = 200 / 50 = 4

שעת הגעה: 12:00

סה”כ שעת ההגעה הכי מוקדמת היא 9:48 והכי מאוחרת היא 12:00, ולכן מבחינתו הגעה ב-9:40 היא לא אפשרית והגעה ב- 10:00 היא אפשרית.

עבור אייל:

S = 166.66

עבור 110 קמ”ש:

T = S / V = 166.66 / 110 = 1.5

שעת ההגעה הכי מוקדמת של אייל: 9:30

עבור 50 קמ”ש:

T = S / V = 166.66 / 50 = 3.33

תרגום לשעות:

0.33 * 60 = 20

זמן הגעה הכי ארוך: 3:20 שעות

שעת הגעה הכי מאוחרת: 11:20

סה”כ, ההגעה של אייל היא בין 9:30 ו-11:20, לכן שתי השעות הנתונות אפשריות בשבילו

סיכום:

עבור אייל שתי השעות אפשריות

עבור ברק הגעה ב-9:40 לא אפשרית, הגעה ב-10:00 אפשרית

תשובה סופית:

פגישה ב-9:40 לא אפשרית

פגישה ב-10:00 אפשרית

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

הוכחה, c₁ = 1

סעיף ג1

הוכחה

סעיף ג2

r = 2

q = 1 / 3

נוכיח ש a_n היא סדרה שאיבריה חיוביים

נתון לנו כי: a₁ > 0 , q > 0

זו סדרה היא הנדסית, לכן איבר כללי בסדרה יהיה:

a_n = a₁ * q^{n – 1}

כל איבר בסדרה הוא מכפלה של שני מספרים חיוביים, לכן כל איברי הסדרה חיוביים

נוכיח ש b_n היא סדרה שאיבריה חיוביים

האיבר הראשון בסדרה חיובי כי  b₁ = a₆ > 0

נתון כי הסדרה עולה.
אם היא הייתה כוללת מספר שלילי אז היא הייתה צריכה לרדת.
לכן גם כל שאר האיברים חיוביים.

נוכיח ש c_n היא סדרה שאיבריה חיוביים

c_n = a_{n + 5} / b_n

מנה של שני מספרים חיוביים היא חיובית לכן בהכרח כל איבר בסדרה הוא חיובי.

נתחיל עם מציאת c₁. בכל מקום בו יש n נציב n = 1:

כעת נוכיח שהסדרה c_n היא הנדסית:

המנה לא תלויה במיקום האיבר (n), לכן הסדרה הנדסית.

פירוט נוסף למשוואה שלמעלה:

b_n : b_{n +1} = 1 / r

a_n+6 : a_{n +5} = q

נתון כי:

0 < q < 1

בסדרה b_n האיבר הראשון חיובי.
לכן על מנת שהסדרה b תעלה צריך שיתקיים r > 1.
(אם r היה שבר הסדרה הייתה יורדת).

בסעיף הקודם מצאנו כי :

מנת הסדרה c_n היא:

q / r

כלומר מנת הסדרה c היא מספר הקטן מ 1 חלקי מספר גדול מ 1.
לכן מנת הסדרה קטנה מ 1.

בסעיף קודם מצאנו כי מנת הסדרה c_n גדולה מ-0 וקטנה מ-1, לכן הסדרה היא הנדסית אינסופית מתכנסת.

נשתמש בנתון על סכום הסדרה ובנוסחת סכום סדרה הנדסית מתכנסת לבניית משוואה ראשונה:

נשתמש בנתון השני ובנוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית לבניית משוואה שנייה:

לסיכום, שתי המשוואות הן:

מהמשוואה השנייה נבודד את r:

r = 18q²

נציב במשוואה הראשונה:

15q² = 18q² – q   / – 15q²

3q² – q = 0

q(3q – 1) = 0

q₁ = 0 פתרון לא רלוונטי

3q – 1 = 0

q = 1 / 3

r = 18q² = 18 (1 / 3)² = 18 / 9 = 2

תשובה סופית: r = 2

q = 1 / 3

סעיף א1

הוכחה

סעיף א2

0.25

סעיף ב1

1 – 2.5x

סעיף ב2

P  = 0.0037

נכין טבלת הסתברויות. נתחיל עם הנתונים שיש לנו עד כה:

כעת, נגדיר משתנים:

y – ההסתברות שהילד גם מתולתל וגם עם עיניים חומות.
(לבחור דווקא את זה כמשתנה נוח גם מבחינת הטבלה וגם כי את זה מה שביקשו)

נשלים את הטבלה בהתאם:

כתוב “ההסתברות שעיניו של ילד שנולד במשפחת לוי יהיו חומות, אם ידוע ששֹערו מתולתל, קטנה פי 1.5 מן ההסתברות
ששערו לא יהיה מתולתל אם ידוע שעיניו חומות”.

זו המשוואה שמתאימה למשפט.

1.5p(מתולתל / חומות ) = p( חומות  / לא מתולתל)

נגדיר כל אחת מההסתברויות באמצעות y,x :

p(מתולתל  / חומות) = y / x

לכן המשוואה היא:

1.5y = x – 0.5y

2y = x

y = x / 2

זה מה שהיינו צריכים להוכיח.

ראשית, נתקן את הטבלה ונשלים אותה ערך y שמצאנו:

ההסתברות המבוקשת היא:

“ששערו של יונתן הוא מתולתל, אם ידוע שעיניו חומות”.

p(חומות  / מתולתל) =

ההסתברות ששערו של יונתן הוא מתולתל אם ידוע שעיניו חומות היא 0.25

ישירות מהטבלה שהשלמנו בסעיף קודם- ההסתברות שילד במשפחה הוא גם לא מתולתל וגם עם עיניים שהן לא חומות היא:

1 – 2.5x

קודם כל, נציב את הנתון x = 0.2 בטבלה:

לפחות 4 עם עיניים חומות זה אומר 3 או 4 עם עיניים חומות.

חישוב 3 הצלחות:

המקדם הבינומי 4.

P = 4 * 0.1³ * 0.9 = 0.0036

חישוב 4 הצלחות:

(אין צורך בברנולי).

P = 0.1⁴ = 0.0001

ההסתברות המבוקשת היא הסכום.

P = 0.0036 + 0.0001 = 0.0037

נגדיר כל אחת מהזוויות שיוצר החוצה זווית כ x.

דרך פתרון ראשונה: על ידי השלמת זוויות

שרטוט הכולל חלק מהזוויות המדוברות:

דרך פתרון שנייה: על ידי הוכחה ש BM הוא תיכון וגובה

נתחיל את הסעיף בהוכחה שהמרובע ABCD הוא מקבילית

כעת נוכיח שהמרובע ABCD הוא מעוין

שרטוט הכולל את חפיפת המשולשים:

סעיף א1

ß = 120^o

סעיף א2

∠ABC = 21.78^o

∠BCA = 38.22

סעיף ב

a = 3.2

זו למעשה בעיית יחס שבסופה אנו בונים משוואה באמצעות הנוסחה לשטח משולש ומוצאים את VZUUH, ß.

AB + AC = 4a

AB / AC = 3 / 5

AB = 3x
ואז
AC = 5x

3x + 5x = 4a
x = 0.5a

לכן:
AB = 1.5a
AC = 2.5a

כעת נציב בנוסחת שטח משולש ונשווה לשטח המשולש הנתון:

sin ß = √3 / 2

בתחום של 0-180 הפתרונות הן:

ß₁ = 60 ,  ß₂ = 120

נתון שהזוית שאנו מחפשים היא קהה, לכן הפתרון הרלוונטי הוא: ß = 120^o

תחילה, נשתמש במשפט הקוסינוסים למציאת אורך הצלע BC (בתלות ב-a):

BC² = AB² +AC² – 2AB * AC * cos∠BAC

BC = 3.5a

כעת נשתמש במשפט הסינוסים למציאת הזוויות הדרושות:

∠ABC = 21.78^o

∠ABC + ∠ BCA + ∠BAC = 180^o

∠BCA = 180 – 120 – 21.78 = 38.22

תשובה סופית:

∠ABC = 21.78^o

∠BCA =38.22

המידע על שטח המחומש נועד לאפשר לנו לחשב את אורך רדיוס המעגל.

תחילה בעזרת משפט הסינוסים נמצא את הקשר בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש לבין a.

משפט הסינוסים:

כעת, נשרטט סקיצה של המחומש החסום והמעגל. בנוסף, נעביר רדיוסים ממרכז המעגל לקודקודי המחומש כך שיווצרו חמישה משולשים:

המחומש משוכלל, לכן כל צלעותיו שוות.

בנוסף, כל הרדיוסים שווים

לכן חמשת המשולשים שווים לפי משפט צ.צ.צ

לכן חמשת הזוויות המרכזיות שוות אחת לשנייה, לכן ערך כל אחת היא:

β = 360 / 5 = 72

מכיוון שכל המשולשים חופפים, שטחיהם שווים, לכן שטח כל אחד הוא חמישית משטח המשולש.

לכן שטח כל משולש הוא:

S = 100 / 5 = 20

מצאנו מקודם כי

לכן נשתמש בנוסחת שטח משולש:

מכוון ש a היא צלע בעלת גודל חיובי הפתרון היחיד הוא:

a = 3.2

סעיף א1

(0,0) , (1,0)

סעיף א2

(2.03- , 0.46)min

סעיף א3

סעיף א4

k₁ = 0 , k₂ = -2.03

סעיף ב

שני ערכי x חיוביים:

-2.03 < m < 0

ערך x אחד חיובי וערך x אחד שלילי: m > 0

סעיף ג

a = 1

חיתוך עם ציר y:

f(0) = 6 * 0(0³ – 1) = 0

נק’ החיתוך: (0,0)

חיתוך עם ציר x:

נשווה את הפונקציה ל-0:

6x(x³ – 1) = 0

שתי אופציות. הראשונה:

6x = 0

x₁ = 0

אופציה שנייה:

x³ – 1 = 0

x³ = 1

x₂ = 1

חיתוך עם ציר x:

(0,0) , (1,0)

תשובה סופית:

חיתוך עם ציר y:

(0,0)

חיתוך עם ציר x:

(0,0) , (1,0)

למציאת נק’ הקיצון נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס.

f(x) = 6x(x³ – 1)³

זו נגזרת מכפלה.
נגזור בנפרד את האיבר השני  ³(x³ – 1) שנגזרתו מורכבת.

((x³ – 1)³) ‘ = 3(x³ – 1)² * 3x² = 9x²(x³ – 1)²

ועכשיו נגזור את הפונקציה כולה:

f(x) = 6x(x³ – 1)³

= f ‘ (x) = 6(x³ – 1)² + 6x * 9x²(x³ – 1)² = 6(x³ – 1)² + 54x²(x³ – 1)²

= 6(x³ – 1)² * (x³ – 1 + 9x³) = 6(x³ – 1)² * (10x³ – 1)

6(x³ – 1)² * (10x³ – 1) = 0

למשוואה זו יש שני פתרונות אפשריים:

(x³ – 1)² = 0

(10x³ – 1) = 0

נפתור תחילה את המשוואה הראשונה:

x³ – 1 = 0

x³ = 1

x₁ = 1

כעת נפתור את המשוואה השנייה:

10x³ – 1 = 0

x³ = 1 / 10

x₂ = 0.46

נק’ חשודות לקיצון:

x₁ = 1 , x₂ = 0.46

כזכור:

f ‘ (x) = 6(x³ – 1)² * (10x³ – 1)

f ‘ (0) = 6(0³ – 1)² * (10 * 0³ – 1) = 6 * 1 * (-1) = -6 < 0

f ‘ (0.5) = 6(0.5³ – 1)² * (10 * 0.5³ – 1) = 1.15 > 0

f ‘ (2) = 6(2³ – 1)² * (10 * 2³ – 1) =  23226 > 0

נשלים את הטבלה:

לסיכום: יש נקודת קיצון עבור

x = 0.46

f(0.46) = 6 * 0.46(0.46³ – 1)³ = -2.03

נקודת הקיצון: (2.03- , 0.46)

תשובה סופית:

לפונקציה יש נק’ קיצון אחת. מינימום ב (2.03- , 0.46)

נרכז את הנתונים הידועים לנו עד כה:

חיתוך עם ציר y:

(0,0)

חיתוך עם ציר x:

(0,0) , (1,0)

תחומי עלייה:

0.46 < x < 1   , x > 1

תחום ירידה:

x < 0.46

נק’ קיצון: מינימום ב (2.03- , 0.46)

לכן הסקיצה תיראה כך:

הישר y = k משיק לפונקציה בנקודות בהן שיפוע הפונקציה הוא אפס ( ערך הנגזרת היא אפס). לפי החישוב בסעיף א 2, נקודות אלה הן:

x₁ = 1 , x₂ = 0.46

לפי חישובים מסעיפים קודמים:

f(1) = 0

f(0.46) = -2.03

לכן :

k₁ = 0 , k₂ = -2.03

נפשט את השאלה:

1.עבור אילו ערכי y מתקבלים שני ערכי x חיוביים?

2.עבור אילו ערכי y מתקבלים ערך x אחד חיובי וערך x אחד שלילי?

נשתמש בסקיצה ששרטטנו:

נוכל לראות כי מתקבלים שני ערכי x חיוביים עבור:

-2.03 < y < 0

נוכל לראות כי מתקבלים ערך x אחד חיובי וערך x אחד שלילי עבור: y > 0

לכן, תשובה סופית:

שני ערכי x חיוביים:

-2.03 < m < 0

ערך x אחד חיובי וערך x אחד שלילי: m > 0

נגדיר:

F(x) היא הפונקציה הקדומה של f(x)

לכן:

מהנקודה x = 0 האינטגרל יורד מתחת לציר ה x.
כל עוד הפונקציה נמצאת מתחת לציר ה x ערך האינטגרל מגדיל את ערכו השלילי.
ב x = 1 חותך את ציר ה x ומתחיל לעלות מעל, ואז מוסיף ערכים חיוביים.

לכן האינטגרל יהיה מינימלי עבור a = 1.

סעיף א1

הוכחה

סעיף א2

חיתוך עם ציר y :

(0,-1)

חיתוך עם ציר x:

(0.25π , 0) , (-0.25π , 0)

סעיף א3

מינימום:

(-π , -1) , (0 , -1) , (π , -1)

מקסימום:

(-π / 2 , 1) , (π / 2 , 1)

סעיף ב1

תחום ההגדרה של הפונקציה:

-π ≤ x < 0.5π

0.5π  < x ≤ π

סעיף ב2

g(x) = f(x) עבור:

-π ≤ x < 0.5π

0.5π < x ≤ π

סעיף ב3

לפונקציה אין אסימפטוטה אנכית

סעיף ב4

סעיף ג

b = 1.5

עבור פונקציה זוגית:
f(x) = f(-x)

נציב x – בפונקציה:
f(x) = 2sin²x – 1

f(-x) = 2sin²(-x) – 1 = 2(-sinx)² – 1 = 2sin²x – 1 = f(x)

חיתוך עם ציר y – נציב x = 0:

f(0) = 2sin² 0 – 1 = -1

חיתוך עם ציר y :

(0,-1)

חיתוך עם ציר x – נשווה את הפונקציה ל-0

2sin²x – 1 = 0

sinx₁ = -1 / √2 ,       sinx₂ = 1 / √2

x₁ = – 0.25π  , x₂ = 0.25π

חיתוך עם ציר x:

(0.25π , 0) , (-0.25π , 0)

תשובה סופית:

חיתוך עם ציר y :

(0,-1)

חיתוך עם ציר x:

(0.25π , 0) , (-0.25π , 0)

למציאת נקודות הקיצון נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס. הפונקציה היא פונקציה מורכבת.

f ‘ (x) = 2 * 2 * sinx * cosx = 2sin2x

2sin2x = 0

sin2x = 0

2x₁ = -π ,   2x₂ = 0 ,   2x₃ = π

x₁ = – 0.5π

x₂ = 0

x₃ = 0.5π

בנוסף, תחום ההגדרה כולל את נקודות הקצה, לכן גם x₄ = -π , x₅ = π הן נקודות קיצון מקומי, רק צריך לבדוק את סוגן.

נמצא את ערכי y של הנקודות. נזכור כי בתחילת הסעיף הוכחנו שהפונקציה זוגית, לכן: f(x) = f(-x)

f(-π) = f(π) = 2sin²π – 1 = -1

סיכום נקודות קיצון:

מינימום:

(-π , -1) , (0 , -1) , (π , -1)

מקסימום:

(-π / 2 , 1) , (π / 2 , 1)

ההגבלה היחידה על תחום ההגדרה היא שאסור למכנה להתאפס, לכן:

sinx – 1 ≠ 0

sinx ≠ 1

תחום ההגדרה של הפונקציה:

-π ≤ x < 0.5π

0.5π  < x ≤ π

ראשית נפשט את ביטוי הפונקציה g(x)

= -cos2x = -(1 – 2sin²x) = 2sin²x – 1 = f(x)

לכן מתקיים g(x) = f(x) עבור כל x שבתחום ההגדרה של שתי הפונקציות.

תחום ההגדרה של f(x):

-π ≤ x ≤ π

תחום ההגדרה של g(x):

-π ≤ x < 0.5π

0.5π < x ≤ π

לכן מתקיים g(x) = f(x) עבור:

-π ≤ x < 0.5π

0.5π < x ≤ π

בתחום זה, הערך היחיד של x שמאפס את המכנה הוא

x = 0.5π

נבדוק אם הוא מאפס גם את המונה:

cos2x(1 – sinx)

הערך המאפס את המכנה מאפס גם את המונה ולכן לפונקציה אין אסימפטוטה אנכית

נשתמש בנתונים שאספנו על הפונקציה עד כה:

תחום ההגדרה של הפונקציה:

-π ≤ x < 0.5π

0.5π  < x ≤ π

נק’ קיצון:

מינימום:

(-π , -1) , (0 , -1) , (π , -1)

מקסימום:

(-0.5π  , 1)

לפונקציה יש חור ב x = 0.5π כי הערך מאפס את המונה והמכנה.
לכן הפונקציה לא שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף.

לחישוב האינטגרל תחילה נפשט את הפונקציה לפי זהות טריגונומטרית:

f(x) = 2sin²x – 1 = -(1 – 2sin²x) = -cos2x

h(x) = -f(x) + b = – (-cos2x) + b = cos2x + b

מכיוון ש: cos2x היא פונקציה מורכבת שהנגזרת הפנימית שלה היא מספר, ניתן לחשב את האינטגרל בתור:

אינטגרל של הפונקציה החיצונית חלקי הנגזרת הפנימית

= πb = 3π / 2

b = 3 / 2

סעיף א1

A(2 , 2√2)

סעיף א2

הישר AO והמשיק לפונקציה בנקודה A מאונכים.

סעיף ב1

(-2 , -2√2)

סעיף ב2

(2- , 4-)

נדרש למצוא את המרחק המינימלי בין הפונקציה לראשית. בעזרת ביטוי הפונקציה(קשר בין x ל-y) נגדיר נקודה כללית על גרף הפונקציה ונשתמש בנוסחת מרחק בין שתי נקודות.

נתון כי:

לכן נסיק כי נקודה כללית על הפונקציה נראית כך:

תחום ההגדרה הוא x > 0.

נוסחת המרחק בין שתי נקודות: A(x₁ , y₁) , B(x₂ , y₂):

d² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²

נגדיר פונקציה חדשה h(x) שהיא פונקציית המרחק בין A לראשית הצירים, ונמצא לה נקודת מינימום

נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס. הנגזרת היא פונקציה מורכבת:

השבר שווה 0 כאשר מונה השבר שווה 0:

2x³ – 16 = 0

x³ = 8

x = 2

חשודה לקיצון: x = 2.

h ‘ (1) = -7/17 < 0

h ‘ (3) > 0

לכן הפונקציה g(x) מקבלת מינימום ב- x=2 , המרחק המינימלי בין הפונקציה לראשית הוא בנקודה זו. נמצא את ערך y של הנקודה:

f(2) = 4 / √2 = 2√2

לכן הנקודה A היא:

A(2 , 2√2)

ראשית, נמצא את שיפוע AO:

כעת, נמצא את שיפוע המשיק לפונקציה ב-A. נגזור את f(x) ונציב x = 2.

לפני הגזירה נפשט את הפונקציה שיהיה יותר נוח לגזור אותה:

f(x) = 4 / √x = 4x^-0.5

שני ישרים מאונכים אחד לשני אם מכפלת השיפועים שלהם היא 1-. נכפיל את השיפועים שמצאנו:

√2 * (-1 / √2) = -1

לכן הישר AO והמשיק לפונקציה בנקודה A מאונכים.

ההזזה

g(x) = -f(-x)

הופכת את הסימן ערכי ה x וה y של ערכי הנקודות על g(x).

זו הזזה סימטרית ביחס לראשית הצירים.

לכן שיעורי הנקודה על גרף הפונקציה g(x) שהכי קרובה לראשית היא הנקודה הסימטרית לנקודה:

(2 , 2 * √2)

וזו הנקודה:

(-2 , -2 * √2)

מכיוון שg(x) היא סימטרית ביחס לראשית לעומת f(x), נסיק כי פונקציית המרחק של g(x) ביחס לראשית זהה לפונקציית המרחק של f(x) מהראשית(למעט הסימן ליד x), לכן היא מקבלת רק מינימום.

לכן המרחק המקסימלי יהיה באחת מנקודות הקצה של תחום ההגדרה. נמצא את נקודות אלה ונציב בנוסחת המרחק מהראשית למציאת המרחק המקסימלי:

תחום ההגדרה בסעיף זה:

-1 ≤ x ≤ -4

כזכור, נוסחת מרחק בין שתי נקודות:

עבור x = -1

g(-1) = -f(1) = -4 / √1  = -4

עבור x = -4

g(-4) = -f(4) = -4 / √4 = -4 / 2 = -2

לכן המרחק המקסימלי של הפונקציה מהראשית הוא בנקודה (2- , 4-)