פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון 582 קיץ 2018

בדף זה פתרון של שאלון 582 קיץ 2018.

ניתן ללמוד את החומר בקישורים:

• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 582 / 572.

תרגיל 1

השאלה עוסקת:

1. מציאת מקום גיאומטרי על פי הגדרה מילולית.
2. מציאת מקום גיאומטרי (בסיסי).
3. מציאת מקום גיאומטרי (ניסוח שונה).
4. מציאת משוואת פרבולה כאשר המוקד והמדריך מוגדרים בעזרת פרמטר.

 

 

סעיף א

נרצה למצוא את כל הנקודות P המקיימות : PA/PB = 1
כלומר, מקיימות: PA = PB.

נגדיר נקודה כללית (P(x,y כמקום הגיאומטרי ונחשב את המרחק של הנקודה הזו משני המקומות המבוקשים:

המרחק של (P(x,y מהנקודה (3,0)B הוא:
[PB =√[ (x – 3)² + y²

המרחק של (P(x,y מהנקודה (3a,0-)A הוא:
[PA =√[ (x + 3a)² + y²

המקום הגיאומטרי (P(x,y מקיים שהמרחקים הללו שווים.
לכן נשווה את המרחקים.
(נעלה את המשוואה בריבוע כדי להשמיט את השורשים)

PB = PA
x – 3)² + y² = (x + 3a)² + y²)
x – 3)² = (x + 3a)²)
x² – 6x + 9 = x² + 6a*x + 9a²
x*(6 + 6a) = 9 – 9a²
2x*(3 + 3a) = 9 – 9a²

נשתמש בנוסחת כפל מקוצר:

(2x*(3 + 3a) = (3 – 3a)*(3 + 3a
2x = 3 – 3a
x = 3/2 – 3a/2.
זהו המקום הגאומטרי המבוקש (מדובר בקו המאונך לציר x , אשר מיקומו תלוי בפרמטר a).

 

סעיף ב

נרצה למצוא את כל הנקודות Q המקיימות : QA/QB = 2
כלומר, מקיימות: QA = 2*QB.

נגדיר את (Q(x,y כמקום הגיאומטרי המבוקש.

נגדיר את אורכי הקטעים המבוקשים:

המרחק של (Q(x,y מהנקודה (3,0)B הוא:
[QB =√[ (x – 3)² + y²

המרחק של (Q(x,y מהנקודה (3a,0-)A הוא:
[QA =√[ (x + 3a)² + y²

נציב במשוואה:
QA = 2*QB

נעלה את המשוואה בריבוע:
[x+3a)² + y² = 4*[ (x-3)² + y²)
x² + 6a*x + 9a² + y² = 4x² – 24x + 36 + 4y²
3x² – 6ax – 24x + 3y² + 36 – 9a² = 0

נחלק ב – 3:
x² – 2ax – 8x + y² + 12 – 3a² = 0

נוציא x גורם משותף:
x² + x*(-2a-8) + 12 – 3a² + y² = 0

נרצה לבצע השלמה לריבוע על מנת להגיע למשוואה של מעגל.
לפי הביטוי שכופל את x , נשים לב שאנו צריכים להגיע לצורה הזו : x – (a+4) )²).
ואז אנו מקבלים את מה שרשום במשוואה (x² + x(-2a-8.

כאשר נעלה בריבוע בצורה הרשומה למעלה נקבל a+4)²) עודף ולכן צריך לחסר אותו.
a+4)² = a² + 8a + 16)

(x – (a+4) )² – (a² + 8a + 16) + 12 – 3a² + y² = 0

לאחר כינוס איברים והעברת אגפים
(x – (a+4) )² + y² = 4a² + 8a + 4

בצד ימין נשתמש בנוסחה לדו איבר בריבוע
(x – (a+4) )² + y² = (2a + 2)²

וזוהי משוואת המעגל הדרושה.
רדיוס המעגל:  2a + 2
מרכז המעגל: ( a + 4 , 0)

סעיף ג

כאשר אומרים “אוסף כל המעגלים” זה ביטוי המתכוון ל “מקום גיאומטרי”.

מרכזי המעגלים המבוקשים מקיימים:

1. נמצאים במרחק שווה מהישר מסעיף א’ :  x = 3/2 – 3a/2 ,
2. וממרכז המעגל מסעיף ב’ : (a+4, 0).

המקום הגאומטרי בעל התכונות הללו הוא פרבולה.

כל נקודה בפרבולה נמצאת במרחק שווה מישר כלשהו(מדריך הפרבולה) ומנקודה מסוימת (מוקד הפרבולה).

במקרה שלנו, נתון כי המקום הגאומטרי עובר דרך ראשית הצירים, ולכן מדובר בפרבולה קנונית.
(הקודקוד נמצא בראשית, ומדריך הפרבולה מאונך לציר x).

סעיף ג2

בפרבולה קנונית שמשוואתה y² = 2p*x , מוקד הפרבולה הוא בנקודה (0.5p , 0),
ומשוואת המדריך היא: x = -0.5p.

לכן שיעור ה – x של המוקד הוא הפוך בסימנו לשיעור ה- x של המדריך.
כלומר:
(a + 4 = -(3/2 – 3a/2
a – 3a/2 = -3/2 – 4
a/2 = -11/2-
a = 11

משוואת הפרבולה:
ראינו כי מוקד הפרבולה נמצא בנקודה (0.5p , 0), ומצאנו כי הוא נמצא בנקודה (a + 4 ,0), כלומר (15,0).
לכן: 0.5p = 15
p = 30
לכן משוואת הפרבולה:
y² = 2p*x
y² = 60x

 

 שאלה 2

סעיף א

משוואת המישור:  על מנת למצוא את משוואת המישור PNK, נמצא את שיעורי שלושת הנקודות.

נקודה N – שיעורי הנקודה נתונים : (0 , 5 , 0).

נקודה P –
שיעור x : נתון AD = 4. לכן שיעור ה- x של נקודה A הוא 4. (כי D נמצאת בראשית הצירים).

שיעור ה-x של נקודה P זהה לשל נקודה A ולכן הוא 4. (כי שתיהן נמצאות על ישר המאונך לציר x).

שיעור y: נקודה P נמצאת על מישור XZ , במישור זה ערך ה y הוא y = 0.

שיעור z:  נתון: ‘AA’ = 3 , AP = 2PA.   מכאן ניתן להסיק:
AP = 2, PA’ = 1
לכן שיעור ה-z של נקודה P הוא 2.

נקודה K –
שיעור x:  שיעור ה-x של נקודה K הוא זהה לנקודה P (ניתן להסיק מהשרטוט).
לכן הוא 4.

שיעור y: נתון כי : A’K = (4/5)*DN.
שיעור ה-y של נקודה N הוא 5 (נתון) , ולכן: DN = 5.
לכן: A’K = (4/5)*5 = 4
שיעור ה-y של נקודה K הוא 4.

שיעור z: נתון כי AA’ = 3 , ולכן שיעור ה-z של נקודה K הוא 3.

מציאת משוואת המישור:

מצאנו את שיעורי שלושת הנקודות:
(N(0,5,0
(P(4,0,2
(K(4,4,3

נציב את שלושתן במשוואת המישור: Ax + By + Cz + D = 0

נקבל 3 משוואות:
1. 4A + 2C + D = 0
2. 5B + D = 0
3. 4A + 4B + 3C + D = 0

מהמשוואה השנייה נסיק כי D = -5B
נציב זאת במשוואות האחרות:
4A – 5B + 2C = 0
4A – B + 3C = 0

נחסר ביניהן:
4B – C = 0-
C = -4B

נציב במשוואה הראשונה:
4A – 8B – 5B = 0
4A = 13B
A = (13/4)*B

נבחר B = 4.

כמו כן אנו יודעים:
A = (13/4)*B
C = -4B
D = -5B

נציב במשוואות B = 4 ונמצא A = 13,  C = -16,  D = -20

לכן משוואת המישור:
13x + 4y – 16z – 20 = 0

 

סעיף ב1

הישר NK: בשביל הצגה פרמטרית אנו זקוקים לנקודה על הישר, ולוקטור המייצג את כיוון הישר.
נקודה על הישר: (N(0,5,0

וקטור הכיוון יהיה הוקטור NK. נמצא אותו ע”י חיסור בין שיעורי הנקודות.
(NK = (4,4,3) – (0,5,0) = (4 , -1 , 3

לכן ההצגה הפרמטרית היא:
(NK = (0,5,0) + t*(4,-1,3

הישר PL:
נקודה על הישר: (P(4,0,2

על מנת למצוא את וקטור הכיוון, נמצא את שיעורי נקודה L:
L היא אמצע BC , לכן שיעור ה-x הוא 2.

שיעור ה- y הוא a (מכיוון ש – AB = a)

שיעור ה-z הוא 0.
לכן: (L(2,a,0
וקטור הכיוון:
(LP = (4,0,2) – (2,a,0) = (2, -a, 2

לכן ההצגה הפרמטרית היא:
(LP = (4,0,2) + s*(2, -a, 2

 

סעיף ב2

ישרים מצטלבים הם ישרים אשר אינם מקבילים ואינם חותכים אחד את השני.

הישרים NK ו – PL אינם מקבילים מכיוון שוקטור הכיוון שלהם שונה.

בנוסף, הישרים הנ”ל אינם נחתכים (ניתן לראות בשרטוט).

לכן הישרים מצטלבים.

סעיף ג

נתבונן במשולש : A’C’P

הזווית A’C’P שווה ל – 7.9 = 82.1 – 90
את אורך הצלע A’P כבר מצאנו, הוא שווה 1.
את אורך הצלע ‘A’C נמצא לפי משפט פיתגורס במשולש ‘A’B’C :

(A’C’ = √(a² + 16

לכן:

טריגונומטריה במשולש A’C’P :

נעלה את המשוואה בריבוע:

נחשב את ערך ה-tan , ונכפול את המשוואה בביטוי : a² + 16 :
1 = 16*0.0193 + 0.0193*a²
a² * 0.0193 = 0.691
a² = 35.81
a = 5.99

 

סעיף ג2

לא קיים a עבורו הזווית PC’C שווה 90º.
נימוק:
הזווית תהיה שווה 90 מעלות רק אם הישר C’P יהיה מאונך לישר ‘CC.
כלומר, נקודה P צריכה להיות בעלת שיעור z זהה לשל נקודה ‘C.
אורך הצלע AB (כלומר הפרמטר a) לא משפיעה על שיעור ה-z של נקודה P, ולכן לא קיים a שכזה.

 

שאלה 3

סעיף 3
נסמן: arg(z₁) = α.
לכן, לפי הנתון: arg(z₂) = 90 – α.
הגודל (כלומר הרדיוס) של המספרים המרוכבים הנ”ל הוא r. (נתון).

נרשום את המספרים בהצגה טריגונומטרית:
(z₁ = r*cis(α
(z₂ = r*cis(90 – α

מכפלה בין מספרים מרוכבים בהצגה טריגונומטרית:

לכן:
((z₁ * z₂ = r * r * cis(α + (90 – α
(z₁ * z₂ = r² * cis(90

כלומר, המכפלה נמצאת על הציר המדומה, ולכן תוצאת המכפלה היא מספר מדומה טהור.
cis(90) = i , ולכן:

z₁ * z₂ = r² * i

ב.

נקודה C נמצאת על הישר y = x , ולכן שיעור ה- x וה -y שלה זהים.

נסמן : (C(a,a. כאשר a פרמטר כלשהו.
A מסמנת את z₁. נסמן: (A(x,y.
ואז מתקיים: (לפי מעבר מהצגה קוטבית לאלגברית)
(x = r*cos(α
(y = r*sin(α

B מסמנת את z₂. ראינו כי (z₂ = r*cis(90 – α.  ואז מתקיים:
(X_B = r*cos(90-α
(Y_B = r*sin(90-α
נשתמש בזהויות הטריגונומטריות:
(cos(90 – α) = sin(α
(sin(90-α) = cos(α
לכן מתקיים:
X_B = r*sin(α) = y
Y_B = r*cos(α) = x

כלומר, שיעורי נקודה B הם : (y , x)

אורך הצלע AC:
[ AC = √[ (a – x)² + (a – y)² 

אורך הצלע BC:
[ BC = √[ (a – y)² + (a – x)²

ניתן לראות כי מתקיים: AC = BC.
לכן המשולש ABC הוא שווה שוקיים. 

 

ג.
1. נקודה C: נתון: z₃)² = 2i)
נעביר להצגה טריגונומטרית: (2i = 2cis(90
נפתור את המשוואה עפ”י הנוסחה:

כאשר n = 2, k = 0,1
r = 2, θ = 90º

לכן פתרונות המשוואה:
(z₀ = √2 * cis(45
(z₁ = √2 * cis(225

נעביר להצגה אלגברית:
z₀ = 1 + i
z₁ = -1 – i

לכן 2 האפשרויות לשיעורי נקודה C הן:
1. (1,1)
2. (1- , 1-)

נקודה D:
נתון: D מתאימה למספר המרוכב: z₃ * (z₁*z₂)².
לכן נמצא קודם את המספרים z₁ ו – z₂.
ראינו כי : (A(x,y) , B(y,x.
לכן:
z₁ = x + y*i
z₂ = y + x*i

נציב בנתון : z₁ + z₂ = 7 + 7i
x + yi + y + xi = 7 + 7i
נפריד לחלק ממשי וחלק מדומה, נקבל:
x + y = 7

כעת נציב בנתון: z₁ – z₂ = 1 – i
x + yi – y – xi = 1 – i
נפריד לחלק ממשי ומדומה, נקבל:
x – y = 1

אלו 2 משוואות פשוטות, הפתרון:
y = 3, x = 4

לכן:
r = 5 (מרחק המספרים מהראשית)

ומסעיף א’ – תוצאת המכפלה:
z₁ * z₂ = r² * i = 25i

לכן, נמצא את שיעורי נקודה D:
אפשרות 1 :
z₃ * (z₁ * z₂)² = (1 + i ) *(25i)² = -625*(1 + i) = -625 – 625i
שיעורי הנקודה D הם (625- , 625-)

אפשרות 2:
z₃ * (z₁ * z₂)² = (-1 – i ) *(25i)² = -625*(-1 – i) = 625 + 625i
שיעורי הנקודה D הם (625 , 625)

 

2. שטח המרובע BDAC:

המרובע BDAC הוא “דלתון קעור”.
(מורכב מ-2 משולשים שווי שוקיים).

שטח הדלתון הוא מחצית מכפלת האלכסונים.

ולכן שטח הדלתון BDAC הוא:

 

שאלה 4

נושא השאלה:

1. חקירת משוואה מעריכית עם פרמטר (ללא מציאת הפרמטר).
2. אינטגרל עם פרמטר.

סעיף א1

f(x) = e^2mx – e^mx

אין לנו הגבלות על תחום ההגדרה של הפונקציה המעריכית.
לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא לכל x.

סעיף א 2

חיתוך עם ציר x:
נפתור את המשוואה f(x) = 0.
e^2mx – e^mx = 0
e^mx  * e^mx  – e^mx = 0
e^mx (e^mx  – 1) = 0

e^mx שונה מ – 0 לכל x

לכן
e^mx – 1 = 0
e^mx = 1
e^mx = e⁰

(נתון m > 0), לכן הפתרון:
x = 0

ציר y: נציב x = 0 במשוואת הפונקציה:
f(x) = e^2mx – e^mx
f(0) = e^2m*0 – e^m*0 = e⁰ – e⁰ = 0
f(0) = 0

לכן נקודת החיתוך של הפונקציה עם הצירים היא (0 , 0).

סעיף א3

אסימפטוטות אנכיות:

אין לפונקציה נקודות אי הגדרה, ולכן אין אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות:

כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת לאינסוף – לכן זו אינה אסימפטוטה.

 

כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה שואפת ל – 0.

e^2m*-∞
e^m*-∞
הם שני ביטויים השואפים ל 0, לכן הפונקציה כולה שואפת ל 0.

לכן y = 0 אסימפטוטה אופקית (עבור x שואף למינוס אינסוף).

 

סעיף א4

f(x) = e^2mx – e^mx

על מנת למצוא קיצון נגזור את הפונקציה.

f ‘ (x) = 2m * e^2mx – m *e^mx
= m* e^mx (2e^mx – 1) = 0

m > 0 , וגם e^mx > 0 , ולכן
m*e^mx הוא ביטוי השונה מ 0.

אפשרות שנייה
2e^mx – 1 = 0
2e^mx = 1
e^mx = 1/2
ln e^mx = ln (1/2)
(mx = ln(1/2
x = ln(1/2) / m

נבדוק האם היא נקודת קיצון, ואת סוגה, לפי מבחן הנגזרת השנייה:

f ‘ (x) = 2m * e^2mx – m *e^mx
f ” (x) = 4m² * e^2mx – m² * e^mx

נציב בנגזרת השנייה x = ln(1/2) / m

נפשט את הביטוי הבא:

e^{2ln 0.5} = e^{l(n 0,5)²} = 0.5² = 0.25

השתמשנו בחוקים

a^{m * n} = (a^m)ⁿ

e^lnx = x

נחזור להציב בנגזרת השנייה:

4m² * 0.25 – m² * 0.5 = 0.5m² > 0

הנגזרת השנייה שלילית לכן זו נקודת מינימום.

נקודת מינימום – (ln(0.5) / m , – 0.25)

 

סעיף ב

בסעיפים הקודמים מצאנו:

0,0  חיתוך עם הצירים

נקודת מינימום – (ln(0.5) / m , – 0.25)

סקיצות עבור m = 1,2 :

סעיף ג1
הישר y = k משיק לגרף הפונקציה.
שיפוע הישר הנ”ל הוא 0 (כי מקביל לציר x), ולכן נקודת ההשקה היא בהכרח נקודת הקיצון – שם השיפוע הוא גם 0.
(מכיוון ששיפועי הפונקציה והישר זהים בנקודת ההשקה)
כלומר – נקודת ההשקה היא:  (ln(0.5) / m , – 0.25).
ולכן k = -0.25

השטח אותו אנו צריכים לחשב:

השטח נתון ע”י האינטגרל:
(ביצענו חיסור בין הפונקציה y = -1/4 לבין f(x ).

קיבלנו מספר שלילי, מכיוון שהשטח נמצא מתחת לציר x.
לכן ניקח את הערך המוחלט של השטח שמצאנו :

 

סעיף ג2

לפי סעיף ג’ (1) – (נציב m = 1)

ועבור m כללי:

ניתן לראות כי לכל m מתקיים  : S_m = S₁ / m.
מש”ל.

 

 שאלה 5

הרעיון בשאלה זו הוא לקחת מידע מהגרף כיצד הפונקציה g(x) מתנהגת עבור x מסוים ומשם לדעת כיצד f(x) מתנהגת עבור אותו x.

 

סעיף א

g(x) = ln [(f(x)]

עבור x = 1
g(1) = 0
ln (f(1)) = 0
f(1) = e⁰ = 1
f(1) = 1

עבור x = -2
g(-2) = 0
ln (f (-2) ) = 0
f(-2) = e⁰ = 1
f(-2) = 1

עבור x = 0
ניתן לראות מהגרף :
g(0) = 1.
ln (f (0) ) = 1
f(0) = e¹ = e
f(0) = e

דרך פתרון נוספת

g(x) = ln [(f(x)]

נפעיל על שני אגפי המשוואה e^x , ונקבל:

(מחוקי לוגריתמים:  e^ln(x) = x )

עבור x = 1 : נתון כי (g(x מתאפסת עבור x = 1 , ולכן g(1) = 0.
לכן: f(1) = e⁰ = 1

עבור x = -2: הפונקציה (g(x מתאפסת גם עבור x = -2 ,
לכן: f(-2) = e⁰ = 1

עבור x = 0: ניתן לראות מהגרף :  g(0) = 1.
לכן: f(0) = e¹ = e

 

סעיף ב

g(x) = ln [(f(x)] בגרף ניתן לראות שתחום ההגדרה של g(x) הוא:

x > 4,   x < 2

הפונקציה (g(x מוגדרת רק כאשר f(x) > 0  (תחום ההגדרה של פונקציית ה ln ).

לכן, (f(x חיובית עבור x > 4 או  x < 2.

כאשר (g(x אינה מוגדרת – (f(x היא שלילית.
לכן (f(x שלילית עבור 

2 < x < 4

 

סעיף ג

 חיתוך עם ציר x :

נתון כי (f(x רציפה לכל x.
לכן כאשר הפונקציה עוברת מחיוביות לשליליות (וזה קורה כאשר g(x) עוברת מאי הגדרה להגדרה) היא גם חותכת את ציר ה x.

לכן f(x) חותכת את ציר ה- x, בנקודות x = 2 , x = 4.

לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן: (2,0) , (4,0)

חיתוך עם ציר ה y

חיתוך זה מתקבל ב x = 0.
ראינו בסעיף א’ כי f(0) = e – זוהי נקודת החיתוך.
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא:  (x,y) = (0,e)

 

סעיף ד

אסימפטוטות אופקיות:

כך נראה גרף הפונקציה g(x) בקצוות:

נשים לב לפי הגרף כי ל – (g(x יש 2 אסימפטוטות אופקיות:
– עבור x שואף לאינסוף: y = 0
– עבור x שואף למינוס אינסוף: y = 2.

מכך ננסה להסיק לאן שואפת (f(x כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף.

כאשר x שואף לאינסוף
g(∞) = ln [(f(∞)] = 0
f(∞) = e⁰=1

לכן y = 1 היא אסימפטוטה של f(x) כאשר x שואף לאינסוף.

כאשר x שואף למינוס אינסוף
g(-∞) = ln [(f(-∞)] =2
f(-∞) = e²

לכן אסימפטוטה אופקית עבור x שואף למינוס אינסוף היא y = e².

 

סעיף ה.

תחומי עלייה וירידה:

אנו צריכים לקבל ביטוי הכולל את f ‘ (x), נקבל ביטוי כזה על ידי גזירת g(x).

g(x) = ln [(f(x)]

נגזור את הפונקציה על פי הכלל של פונקציה לוגריתמית מורכבת.

נבודד את (f ‘ (x , ונקבל:
(f ‘ (x) = f(x) * g ‘ (x

f ‘ (x) חיובית כאשר f(x) , g ‘ (x) שניהם שליליים או שניהם חיוביים.

כמו כן מצאנו כי f(x) חיובית בכל תחום ההגדרה של g(x).

לכן f ‘ (x) היא בעלת אותו סימן כמו g ‘ (x) בתחום ההגדרה של g(x)

x < -2 :
בתחום זה (g(x יורדת – כלומר g ‘ (x) < 0 , ו (f(x חיובית.
לכן בתחום זה  (f ‘ (x שלילית – כלומר  (f(x יורדת.

-2 < x < 0

בתחום זה (g(x עולה , ו – (f(x חיובית.
לכן בתחום זה (f ‘ (x חיובית – כלומר (f(x עולה.

0 < x < 2

עבור x בין 0 ל -2 ניתן לראות כי (g(x יורדת ו – (f(x חיובית.
לכן עבור x בין 0 ל – 2  (f(x יורדת.

2 < x < 4 

זה התחום הקשה ביותר להסקה, כי אין גרף של g(x).

על תחום זה אנו יודעים:

f(x) שלילית בכל התחום.
f(2) = f (4) = 0
הנגזרת f ‘ (x) מתאפסת רק עבור x = 3.

כאשר נרצה לשרטט פונקציה f(x) שהיא שלילית וגם חותכת את ציר ה x בשתי הנקודות הללו היא תראה כך:

לכן f ‘ (x) שלילית כאשר

2 < x < 3

לכן f ‘ (x) חיובית כאשר

3 < x < 4

סיכום:
עלייה:  , x > 3.
ירידה:  , x < -2.

ו. סקיצה:

נשרטט גרף על פי הנתונים:

עלייה:  , x > 3.
ירידה:  , x < -2.

y = 1 היא אסימפטוטה של f(x) כאשר x שואף לאינסוף.

לכן אסימפטוטה אופקית עבור x שואף למינוס אינסוף היא y = e².

חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר x הן: (2,0) , (4,0)
חיתוך עם ציר y היא: (0,e)

לכן הגרף של f(x) נראה כך:

 

ז. הסבר:

האינטגרל הנתון מייצג את השטח הנמצא מתחת לפונקציה (f(x בקטע שבין x = -2 לבין x = 1.
ראינו בסעיף א’ כי  f(-2) = f(1) = 1.
בנוסף, ניתן לראות מהגרף כי בין  x = -2 ל- x = 1 הפונקציה נמצאת מעל y = 1.

כלומר, השטח הכלוא מתחת לגרף הוא בהכרח גדול משטח מלבן שרוחבו 3 וגובהו 1.

שטח המלבן הזה הוא 1*3 = 3.
ולכן האינטגרל הנתון בהכרח גדול מ- 3.