הסתברות 5 יחידות: תרגילים בבניית משוואה עם משתנה

סעיף א: ההסתברות לאדום בהוצאה אחת
x + 7 זה מספר הכדורים בקופסה.
מתוכם 7 אדומים, לכן ההסתברות לאדום היא:

וההסתברות לכדור כחול היא:

סעיף ב: מציאת מספר הכדורים הכחולים
מכוון שההוצאה היא עם החזרה ההסתברות בפעם הראשונה ובפעם השנייה להוציא אדום היא זהה.

ההסתברות הזו שווה ל 49/81 ולכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x + 7)² * 81)
ונקבל:

x + 7)² * 49 = 7*7*81)
נחלק את שני אגפי המשוואה ב 49 ונקבל:
x + 7)² = 81)
x + 7)²  = 9²)

ניתן להבין ממשוואה זו ש x = 2  או  x = -16
וניתן גם לפתוח סוגריים ולפתור משוואה ריבועית.
x² + 14x + 49 = 81  / -81
x² + 14x – 32 = 0

בעזרת נוסחת השורשים או טרינום נקבל:
x₁ = 2,  x₂ = -16
מכוון ש x הוא מספר כדורים, גודל חיובי הפתרון x = 16 נפסל.

תשובה: מספר הכדורים הכחולים הוא 2.

אם היינו רוצים לשרטט את השאלה בדיאגרמת עץ זה היה נראה כך:

בשאלה זו לא ידענו את מספר הכדורים הכחולים אבל קיבלנו בתמורה את ההסתברות של הענף “אדום, אדום”.
וכך זה יהיה ברוב השאלות יהיה לנו חסר מספר כדורים אבל נדע את ההסתברות של ענף שלם.

פתרון
סעיף א: ההסתברות לכחול
x מספר הכדורים האדומים.
ולכן מספר הכדורים הכחולים הוא:

ההסתברות לכדור כחול היא:

סעיף ב: מציאת x.
ההסתברות לאדום היא:

ההסתברות לאדום ואז כחול היא 12/64. לכן המשוואה היא:

נכפיל פי 64 ונקבל:

x (8 – x) =12
8x – x² = 12
x² – 8x + 12 = 0
זו משוואה ריבועית שהפתרונות שלה הם:
x₁ = 2,  x₂ = 6

x הוא מספר הכדורים האדומים. אם יש 2 אדומים אז יש 6 כחולים.
אם יש 6 אדומים אז יש 2 כחולים.
מכוון שבנתונים אמרו שיש יותר אדומים מכחולים הפתרון הוא 6 אדומים ושני כחולים.

בדיאגרמת עץ השאלה הייתה נראית כך:

כאשר הנתון “הנוסף” שקיבלנו הוא שההסתברות של ענף 2 (אדום ואז כחול) היא 12/64.

בסרטון הוידאו שלמטה פתרון תרגיל לתרגיל הכתוב למעלה.