בדף נפתור שאלות בהסתברות משאלון 481.
בדף יש את הפתרונות ללא שאלונים, את השאלונים ניתן למצוא באינטרנט.
קיץ 2018 מועד א
נושא השאלה:
- הגדרת הסתברות בעזרת משתנה.
- הוצאה ללא החזרה.
- חישובים בסיסים בהסתברות + הסתברות מותנה.
סעיף א
נגדיר:
x מספר האפרסקים שבסל.
לכן:
x + 2 מספר הפירות בסל.
ההסתברות שבפעם הראשונה הוציאה תפוח היא:
זו הוצאה ללא החזרה
לכן ההסתברות שבפעם השנייה הוציאה תפוח (לאחר שבפעם הראשונה יצא תפוח):
ההסתברות להוציא תפוח בשני הפעמים היא מכפלת ההסתברויות:
נכפיל במכנה המשותף 36 * (x + 1) (x + 2) ונקבל:
x + 1) (x+ 2) = 2*36)
x² +2x + x + 2 = 72 / -72
x² + 3x -70 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
נשתמש בפירוק הטרינום:
x² – 7x + 10x – 70 = 0
x (x – 7) + 10 (x – 7) = 0
x + 10) (x – 7) = 0)
x = -10 או x = 7.
מספר האפרסקים שבסל לא יכול להיות 10-. לכן מספר האפרסקים שהיה בסל הוא 7.
סעיף ב
נסכם את המצב בסל לפני ההוצאות:
7 אפרסקים.
2 תפוחים.
9 פירות בסך הכל.
יש שני מצבים בהם הפרי השני הוא תפוח.
- הראשון תפוח והשני תפוח. את ההסתברות הזו חישבנו והיא 1/36.
- הראשון אפרסק והשני תפוח.
נחשב את ההסתברות לאפרסק ראשון והשני תפוח:
נוסיף להסתברות הזו את ההסתברות של תפוח ואז תפוח (1/36).
סך כל ההסתברויות הוא:
תשובה: ההסתברות שהשני תפוח היא 2/9.
סעיף ג
יש שתי דרכים להוציא שתי פירות מאותו סוג:
1.שני תפוחים
הסתברות זו חושבה והיא 1/36.
2.שני אפרסקים
נזכור, יש 7 אפרסקים מתוך 9 פירות לפני ההוצאה הראשונה.
סכום ההסתברויות הוא:
תשובה: ההסתברות להוציא שני פירות מאותו סוג היא 11/18.
חלק שני
זו שאלה של הסתברות מותנית.
נגדיר 11/18 = (p (b זו ההסתברות להוציא שני פירות מאותו סוג.
p(a∩b) = 21/36 זו ההסתברות להוציא גם שני אפרסקים וגם שני פירות מאותו הסוג.
תשובה: אם ידוע שיצאו שני פירות מאותו הסוג אז ההסתברות שיצאו שני אפרסקים היא 0.954.
קיץ 2018 מועד ב
סעיף א
שאלה זו מתאימה לדיאגרמת עץ.
נגדיר:
x ההסתברות לדגום בן הלומד בבית ספר.
1.25x ההסתברות לדגום בת הלומדת בבית ספר.
x + 1.25x = 1
2.25x = 1 / : 2.25
x = 0.444 זו ההסתברות לבן.
1.25x = 0.555 זו ההסתברות לבת.
נבנה דיאגרמת עץ המציגה את השאלה:
מבקשים מאיתנו לחשב את ענף מספר 1.
וזה מכפלת ההסתברויות המרכיבות אותו.
0.333 = 0.444 * 0.75.
סעיף ב
נגדיר (p (b ההסתברות לבחור תלמיד הגר בעיר.
הסתברות זו מורכבת מההסתברות לבן שגר בעיר (חישבנו, 0.333).
וההסתברות לבת שגרה בעיר.
נחשב את ההסתברות לבת הגרה בעיר:
0.333 = 0.6 * 0.555
ההסתברות של תלמיד הגר בעיר היא סכום ההסתברויות:
0.666 = 0.333 + 0.333
p (a ∩ b) = 0.333 ההסתברות לבת וגם גרה בעיר.
(p (a / b) = p (a∩b) : p (a / b
p (a / b) = 0.333 / 0.666 = 1/2
תשובה: אם ידוע שנחבר תלמיד הגר בעיר ההסתברות שזו בת היא 1/2.
סעיף ג
אנו יודעים שהחלק של אלו הגרים בעיר הוא:
0.666 = 0.333 + 0.333
600 = 900 * 0.666
תשובה: 600 תלמידים גרים בעיר.
סעיף ד
זה סעיף הנפתר על ידי נוסחת ברנולי.
2/3 = 900 : 600 זו ההסתברות לבחור תלמיד מהעיר.
1/3 = 2/3 – 1 זו ההסתברות לבחור תלמיד שאינו מהעיר.
ההסתברות לבחור “לפחות 2” היא ההסתברות לבחור 2 או 3.
ההסתברות לבחור 3 היא:
0.0369 = 0.333³
את ההסתברות לבחור 2 מתוך 3 נחשב בעזרת נוסחת ברנולי.
המקדם הבינומי הוא:
0.221 = 0.666 * 0.333² * 3
סכום ההסתברויות של לבחור 2 ולבחור 3 הוא:
0.2579 = 0.221 + 0.0369
תשובה: 0.2579 (תתכן סטייה קלה בתשובה עקב “עיגולים” שנעשו לאורך הדרך.
חורף 2017 שאלה 3
סעיף א
p – ההסתברות שתלמיד הוא תושב עיר.
pᶟ=0.512
P=0.8
תשובה: ההסתברות שתלמיד הוא תושב עיר היא 0.8.
סעיף ב
עלינו לבחור 3 מתוך 4 ללא חשיבות לסדר וזה מתאים לנוסחת ברנולי.
מספר האפשרויות לקבל 3 מתוך 4 הוא:
נציב זאת בנוסחת ברנולי:
4*0.8ᶟ*0.2
0.4096 = 4*0.512*0.2
תשובה: ההסתברות שבדיוק 3 הם תושבי העיר היא 0.4096.
סעיף ג
נגדיר:
A – אין טלפון נייד.
B – תושב עיר.
מבקשים מאתנו למצוא את: (P(B/A
P(A)=0.18 – נתון.
נשאר לנו למצוא את (P(A∩B על מנת להציב בנוסחת ההסתברות המותנית.
P(A∩B)=P(A)*P(B)=0.8 * 1/8=0.1
P(B/A) = 0.1 : 0.18 = 0.555
תשובה: אם ידוע שלתלמיד אין טלפון נייד אז ההסתברות שהוא תושב עיר היא 0.18.
קיץ 2016 שאלה 3
סעיף א
נמצא איזה חלק מבין הנבחנים למד מחשבים ואיזה לא.
x – החלק של אלו שלא למדו מחשבים.
3x – החלק של אלו שלמדו מחשבים.
X+3x=4x=1
x=0.25
0.25 מהניגשים למבחן לא למדו מחשבים.
0.75 מהניגשים למבחן למדו מחשבים.
נמצא כמה עברו וכמה נכשלו במבחן.
Y – ההסתברות להיכשל במבחן.
4Y – ההסתברות לעבור את המבחן.
4y+y=5y=1
y=0.2
ההסתברות להיכשל במבחן היא 0.2, ההסתברות לעבור את המבחן היא 0.8.
נגדיר:
A – הצליחו במבחן.
A- – נכשלו במבחן.
B – למדו מחשבים
B- – לא למדו מחשבים.
זאת הטבלה הראשונית:
זאת הטבלה לאחר ההשלמה:
סעיף א
p(A∩B ̅)=0.15
סעיף ב
P(B ̅/ A) = p( A∩ B) : P (A) = 0.15 : 0.8 = 0.1875
סעיף ג
ההסתברות המשלימה של “לכל היותר אחד עבר” היא ששני הנבחנים עברו. נחשב את ההסתברות המשלימה.
ההסתברות לעבור p(A)=0.8
0.64 = 0.8²
ההסתברות המשלימה היא:
0.36 = 0.64 – 1
תשובה: ההסתברות שלכל היותר אחד עבר היא 0.36.
עוד באתר:
- הסתברות – הדף המרכזי באתר בנושא