מציאת זווית חלק ב

בחלק הראשון של מציאת זווית פתרנו תרגילים קלים יחסית, כאן נפתור 5 תרגילים קשים יותר.

תרגיל 1
משולש ABC הוא משולש ישר זווית. (B =90).
BD הוא גובה.

  1. הוכיחו כי: ACB = ABD (שתי הזוויות המסומנות בירוק שוות).
  2. מה אתם יכולים להגיד על שלושת המשולשים שנוצרו?

פתרון

  1. נגדיר: ACB = x.
  2. במשולש ABC זוויות CAB משלימה ל 180 מעלות ולכן שווה ל:
    CAB = 180 – 90 – x = 90 – x
  3. במשולש ABD זווית ABD משלימה ל 180 מעלות ולכן גודלה הוא:
    (ABD = 180 – 90 – (90 – x
    ABD = 90 – 90 + x = x
  4. מצאנו כי ACB = ABD = x.

סעיף ב
נרשום את הזוויות שאנו יודעים על השרטוט.

יש לנו כאן 3 משולשים:
ABC,  ADB, BDC
ובכולם שלושת הזוויות זהות:
x, 90,  90 -x.
לכן אלו משולשים דומים על פי זווית זווית.

ABC ∼ ADB ∼ BDC

תרגיל 2
משולש ABC הוא משולש ישר זווית. (B =90).
הנקודה D נמצאת על AC כך ש CD = AB.
חשבו את זוויות משולש ABC.

תרגיל 3
2.במשולש ΔABC מעבירים חוצה זווית AD.
ידוע כי AD = BD.
ידוע כי:
7BAD = ADC

  1. חשבו את שלושת זוויות משולש ABC.
  2. מצאו אלו משולשים דומים כאן והוכיחו דמיון משולשים.

 

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים במשולש שעובר בו חוצה זווית

פתרון
שלב א: נגדיר את כל זוויות המשולש בעזרת משתנה אחד (α).

  1. נגדיר: BAD=∠CAD=α∠.
  2. ABD=α∠ – במשולש שווה שוקיים ΔABD זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  3. ADB=180-2α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABD.
  4. ADC=2α∠  – זווית צמודה לזווית ADB∠ ומשלימה אותה ל 180 מעלות.
  5. C=180-3α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔADC.

כך נראה המשולש כשכול הזוויות מסומנות בו:

סימון הזוויות שמצאנו במשולש

סימון הזוויות שמצאנו במשולש

ניתן לראות כי המשולשים הדומים הם ΔCBA∼ΔCAD והם דומים על פי משפט דמיון ז.ז.

שלב ב: נמצא את גודל הזוויות
בשאלה נתון כי:
7BAD = ADC

לכן המשוואה היא:
7α = 180 – 2α
9α = 180
α = 20
ומכאן ניתן למצוא את כל הזוויות.

סעיף ב: משולשים דומים
על מנת לזהות משולשים דומים נחפש משולשים שיש להם שתי זוויות שוות.
ואלו המשולשים
ABC ∼ DAC

אתם מורים פרטיים?
אני מציע פרסום תמורת עבודת שדרוג קטנה באתר וללא תשלום.
פרטים כאן

תרגיל 4
הוכחת המשפט: אם התיכון ליתר שווה למחצית היתר אז המשולש ישר זווית.
מה שצריך להוכיח הוא שאם:
AD = DC = DB
אז:
B = 90

פתרון
נשים לב שיש לנו שני משולשים שווה שוקיים (ADB, CDB).
נגדיר זווית אחת במשולשים הללו ובאמצעותה נגדיר את כל האחרות.

A = a
לכן:

  1. DBC = a  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים DBC שוות זו לזו.
  2. BDC = 180 – 2a  סכום הזוויות במשולש BDC הוא 180 מעלות.
  3. BDA = 2a סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
  4. במשולש BDA ניתן לכתוב:
    DBA + DAB = 180 – 2a
  5. ומכוון ש DBA, DAB הן זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים:
    DBA = DAB = (180 – 2a) : 2 = 90 – a

מצאנו כי:
DBA = 90 – a (במספר 5).
DBC = a  (במספר 1).

B = DBA + DBC = 90 – a + a = 90
B = 90 – a + a = 90
מש"ל: הוכחנו שאם AD = DC = DB
אז:
B = 90

תרגיל 5
משולש ABC הוא משולש ישר זווית. (B =90).
BD הוא גובה.
E היא נקודה על AB כך ש
BD = BE
הוכיחו כי  ADE = 2ACB

פתרון
צריך להגדיר זווית כמשתנה ובאמצעותה להגדיר זוויות אחרות.
אני בוחר להגדיר:
ACB = a
כי זו זווית שמופיעה בשאלה עצמה וכי ניתן בעזרתה להשלים זוויות במשולש CBD וכך להתקדם.

  1. CBD = 90 – a  משלימה ל 180 מעלות במשולש CBD.
  2. EBD = a   משלימה את זווית CBD ל 90 מעלות.
  3. EDB = DEB = 90 – 0.5a   זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים EBD.
  4. ADE = 0.5a  משלימה את זווית EDB ל 90.

מצאנו כי:
ACB = a
ADE = 0.5a
ולכן:
ADE = 2ACB

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.