פתרון לבחינת הבגרות בשאלון 481 קיץ 2017

סעיף א

המרחק בין עיר A לעיר C הוא 100 ק”מ.

סעיף ב

מהירות הנסיעה של אריאל הייתה 60 קמ”ש

נגדיר משתנים:

x – המרחק בין עיר A לעיר C.

v- המהירות של אריאל.

מהירותה של אלונה הייתה מהירה פי 1.5 ממהירותו של אריאל, לכן:

1.5v – מהירותה של אלונה.

נתון כי כאשר אלונה הגיעה לעיר B אריאל עבר 40% מהדרך עד לעיר C.

נכניס את הנתונים הידועים לנו לטבלה:

להשלמת הטבלה נשתמש בנוסחה

V	T	S
1.5v		60	אלונה
v		0.4x	אריאל

נתון כי הזמנים שווים, לכן נבנה משוואה:

40 = 0.4x  / : 0.4

x = 100

המרחק בין עיר A לעיר C הוא 100 ק”מ.

נשלים את הטבלה בעזרת ערך x שמצאנו והנוסחה

V	T	S
1.5v		60	אלונה
v		100	אריאל

נתון כי אריאל הגיע לעיר C שעה אחרי שאלונה הגיעה לעיר B, לכן נבנה משוואה:

100 = 40 + v   / – 40

v = 60

מהירות הנסיעה של אריאל הייתה 60 קמ”ש

• עוד בנושא בעיות מילוליות 4 יחידות.

סעיף א1

AC: y = 7x – 75

AB: y = x + 3

סעיף א2

(A (13,16

סעיף ב1

המרחק בין הנקודות A ו C הוא 500√ = 22.36 יחידות.

סעיף ב2

x-8)² +(y-6)² = 125)

סעיף ב3

כן

כמו בכול השאלות שבהם יש משיק למעגל גם שאלה זו נשענת על המשפט “המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה”.
וזה אומר שמכפלת השיפועים של המשיק ושל הרדיוס היא 1-.

נמצא את שיפוע הרדיוס MC.
(M (3,-4)   C (10,-5
1/7- = (10-3)  / (4+ 5-)
לכן שיפוע AC הוא 7.
נמצא את משוואת AC על פי נקודת ההשקה ושיפוע.
(y-y₁ = m(x-x₁
(y+5 = 7(x-10
y+5 = 7x -70 / -5
y=7x-75   – זו משוואת AC.

נמצא את שיפוע הרדיוס MB.
(M (3,-4)   B (-2,1
1- = (3- 2-) / (1+4)
לכן שיפוע AB הוא 1.
נמצא את משוואת AB על פי השיפוע ונקודת ההשקה.
(y-y₁ = m(x-x₁
(y – 1 = 1(x+2
y-1 =x+2 / +1
y=x+3  – זו משוואת AB.

הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים:
y=x+3
y=7x-75
7x-75 = x+3  / -x+75
6x = 78 /:6
x=13.
נמצא את ערך ה Y של הנקודה A.
y=x+3 = 13+3=16
תשובה: (A(13,16

נשתמש בנוסחה למרחק בין שתי נקודות על מנת למצוא את אורך AM.
(A(13,16)  M (3,-4
d² = (13-3)² + (16+4)² = 100+400=500
d=√500
המרחק בין הנקודות A ו C הוא 500√ = 22.36 יחידות.

מכוון שזווית ABM=90∠ אז AM קוטר המעגל (אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתר אז המיתר הוא קוטר).
לכן מרכז המעגל החוסם את משולש ABM נמצא באמצע הקטע AM.
נחשב את אמצע AM.
(A(13,16)  M (3,-4
8 = 2 / (13+3)  – זה ערך ה X של מרכז המעגל.
6 = 2 / (4 – 16) – זה ערך ה Y של מרכז המעגל.
מרכז המעגל הוא הנקודה (8,6).

אנו גם יודעים כי אורך הקוטר MA שווה ל 500√ = 22.36 לכן אורך הרדיוס או מחצית.
r=22.36:2 = 11.18
r²=125
לכן משוואת המעגל החוסם את משולש ABM היא:
x-8)² +(y-6)² = 125)

נציב את הנקודה (C (10,-5 במשוואת המעגל ונראה אם היא מקיימת אותה.
125=121 +4 = ²(5-6-) + ²(10-8)
מצאנו כי הנקודה C מקיימת את משוואת המעגל ולכן נמצאת עליו.

• עוד בנושא גיאומטריה אנליטית 4 יחידות.

סעיף א

ההסתברות לקבל 15 נקודות או יותר היא 0.416.

סעיף ב

ההסתברות שקיבלת בשתי ההטלות מספר הגדול מ 3 אם ידוע כי קיבלת 15 נקודות או יותר היא 0.6

סעיף ג

ההסתברות שבדיוק 3 מתוך 4 יצרו 15 נקודות לפחות היא 0.354.

נשרטט דיאגרמת עץ של האפשרויות המתקבלות ב 2 הטלות:
(שרטוט הדיאגרמה מקל על פתרון השאלה אך אינו חובה, החלק שמופיע מתחת לדיאגרמת העץ מספיק כפתרון לתרגיל).

ניתן לצבור 15 נקודות לפחות ב 3 דרכים:

1. בפעם הראשונה והשנייה לקבל מספר גדול מ 3. הסתברות זו היא:
   0.25  = 1/2 * 1/2
2. בפעם הראשונה לקבל מספר הגדול מ 3 ובפעם השנייה לקבל 3. הסתברות זו היא:
   0.0833 = 1/12 = 1/6 * 1/2
3. בפעם הראשונה לקבל 3 ובפעם השנייה לקבל מספר גדול מ 3. הסתברות זו היא:
   0.0833 = 1/12 = 1/2 * 1/6

סך כל ההסתברויות הוא:
0.416 = 0.25 + 2*0.0833.
תשובה: ההסתברות לקבל 15 נקודות או יותר היא 0.416.

נגדיר:
B – המאורע שבו נקבל 15 לפחות.
A – המאורע שבו קיבלנו פעמיים מספר מעל 3.
P(A∩B) = 0.5*0.5=0.25
P(B) = 0.416
P (A/B) = P(A∩B) / P(B) = 0.25 / 0.416= 0.6

תשובה: ההסתברות שקיבלת בשתי ההטלות מספר הגדול מ 3 אם ידוע כי קיבלת 15 נקודות או יותר היא 0.6.

דרך אחרת לפתור סעיף זה היא להגיד:
0.416  – הוא כל מרחב המדגם שלנו.
0.25   – אלו שייכים לדגימה הרצויה.
לכן ההסתברות לדגום את הדגימה הרצויה מתוך מרחב המדגם היא:
0.6 = 0.416 : 0.25

סעיף זה מתאים לנוסחת ברנולי.
עלינו להצליח ב 2 מתוף 4 מקרים כאשר סיכוי ההצלחה הוא: 0.416, כפי שחישבנו בסעיף א.
נציב את הנתונים הללו בנוסחת ברנולי ונקבל:
נחשב את המקדם הבינומי ולאחר מיכן נציב אותו בנוסחה:
!2 * !2  / !4.
6 = 2*2 / 24  – זה ערך המקדם הבינומי

P = 6 *0.416² * (1-0.416)² = 6*0.173 * 0.341 = 0.354

תשובה: ההסתברות שבדיוק 3 מתוך 4 יצרו 15 נקודות לפחות היא 0.354.

• עוד בנושא הסתברות 4 יחידות.
• עוד בנושא הסתברות.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג1

הוכחה

סעיף ג2

1/5

א. נוכיח כי

∠ AEB = ∠BDC

נגדיר AEB=β∠

CGE=90- β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש CEG.

FGD =∠CGE= 90 – β∠  – זוויות קודקודיות שוות זו לזו.

BDC = β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש FGD.

AEB = ∠BDC = β∠

הוכחה ש: AEB ≅ BDC

1. DC=BE – נתון.
2. AEB = ∠BDC = β∠ – מצאנו בסעיף א.
3. BCD = ∠ABC=90∠
4. AEB ≅ BDC  משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז

הוכחה ש: GCE ∼ ABE.

1. BEA = ∠CEG∠   – זווית משותפת.
2. ECG = ∠ABE=90∠  – זוויות מתאימות בים ישרים מקבילים שוות זו לזו.
3. GCE ∼ ABE  – משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז

מציאת היחס GC / AB

1. נגדיר את אורך EC כ X ס”מ.
2. CB=4CE=4X
   EB= CB+CE=5X
3. יחס צלעות מתאימות בין משולשים דומים שווה זה לזה לכן:
   GC / AB = EC / EB = X/5X = 1/5

תשובה: היחס הוא 1:5.
הערה: במקום בדמיון משולשים היה ניתן בהרחבה הראשונה של משפט תאלס:
GC / AB = CE / EB = X/ 5X = 1/5.

• עוד בנושא גיאומטריה 4 יחידות.

סעיף א1

∠MAP = 36.15

סעיף א2

BC = 10.99 ס”מ

סעיף ב

BM=4.855 ס”מ

סעיף ג

היחס הוא 1:3

חישוב זווית PAM.
על פי משפט הסינוסים במשולש PAM.
sin MAP / 0.6x = sin MPA / X
sin MAP = 0.6 sin 100 = 0.59
MAP = 36.15
MAP=180-36.15=143.85 אינה אפשרית משום שזווית AMP =100 וביחד סכומן במשולש PAM עולה על 180 מעלות.

חישוב BC.
על פי משפט הסינוסים במשולש ABC.
sin BAC / BC = sin ABC / AC
BC = sin BAC *AC / sin ABC
BC = sin 36.15 * 16 / sin 120 = 10.9
תשובה: BC = 10.99 ס”מ.

חישוב BM.

נמצא את זווית BCM
במשולש ABC:
BCM = 180 -120- 36.15 = 23.85
על פי משפט הקוסינוסים במשולש BMC.
BM² = BC² + CM² – 2BC*MC cos BCM
BM² = 10.9² + 12² – 2*12*10.9 cos 23.85
BM² = 118.81 + 144 -239.261 = 23.549
BM = 4.85
תשובה: BM=4.855 ס”מ.

מציאת היחס בין שטחי משולשים.
הגובה לצלע AM ולצלע MC  הוא אותו גובה.
לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא היחס בין הבסיסים AM / MC
AM / MC = 4/12 = 1/3
תשובה: היחס הוא 1:3.

• עוד בנושא טריגונומטריה 4 יחידות.

סעיף א1

x ≠√a, x ≠-√a

סעיף א2

(0 , -4/a)

סעיף א3

y = 2

סעיף ב

a = 1

סעיף ג1

x = -1

סעיף ג2

(4-, 0) היא נקודת מקסימום.

סעיף ג3

עולה כאשר  x<0 וגם x≠ -1.
יורדת כאשר x>0 וגם x≠1.

סעיף ד

סעיף ה

k>-4 וגם k<2

(f (x ) = (2x² + 4) / (x² – a
הפונקציה מוגדרת כאשר x²-a ≠ 0
x² ≠ a
x ≠√a, -√a
תשובה: תחום ההגדרה הוא x ≠√a, x ≠-√a.

נקודות חיתוך עם הצירים.
נציב x=0.
f (x ) = (0 + 4) / (0 – a) = 4 / -a
נקודת החיתוך עם ציר ה y היא:

(0 , -4/a)

נציב y=0
0 = (2x² + 4) / (x² – a)
2x² + 4 = 0
2x² = -4
מספר בחזקת 2 אינו יכול להיות שלילי לכן אין לפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה X.

מציאת אסימפטוטה אופקית
כאשר שואף להיות a√  או a√-  אז המכנה שואף ל 0 ואילו המונה למספר. לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף והישרים  x=√a או  x= -√a הם אסימפטוטות אופקיות של הפונקציה.

אם האסימפטוטה היא x=1 אז a=1√
a=1

פונקציה אנכית נוספת היא  x= -√a = -1
x= -1.

(בגלל מגבלות כתיבה כאן באתר נגזור את המונה ולאחר מיכן נוסיף לו את נגזרת המכנה. שימו לב שאם במבחן אתם גוזרים את המונה בלבד עליכם לכתוב “נגזרת מונה” ולא לסמן (f ‘ (x רגיל, בגלל מגבלות טכניות של כתיבה באתר כאן איני יכול לעשות זאת).

(f (x ) = (2x² + 4) / (x² – 1
.f ‘ (x) = 4x (x²-1) – 2x(2x²+4) = 4x³-4x -4x³-8x= -12x
.f ‘ (x) = -12x – מונה.
מכנה הנגזרת הוא:
x²-1)²)
הנגזרת מתאפסת כאשר ערך מונה הנגזרת שווה ל 0.
12x = 0-
x=0
על מנת למצוא את סוג נקודת הקיצון נציב את הערכים 0.5 ו 0.5- בנגזרת.
(שימו לב שהפונקציה אינה מוגדרת ב x=1,-1 לכן הצבת ערכים גדולים מ 1 או קטנים מ 1- היו מובילים אותנו לשגיאה).

מכנה הנגזרת הוא ביטוי בחזקה זוגית ולכן חיובי תמיד. על מנת לקבוע את סימן הנגזרת מספיק להציב במונה הנגזרת.
6- = 0.5 * 12-  לכן הפונקציה יורדת ב x=0.5.
6 = 0.5- * 12-   לכן הפונקציה עולה ב x= -0.5.
הפונקציה עולה ולאחר מיכן יורדת לכן זו נקודת מקסימום.
כך זה נראה בטבלה:

נמצא את ערך ה Y כאשר x=0.
(f (x ) = (2x² + 4) / (x² – 1
f (x ) = (2*0² + 4) / (0²-1) = 4/-1 = -4
תשובה (4-, 0) היא נקודת מקסימום.

עליה וירידה.
נשארו שני תחומים בהם צריך לבדוק את ערך הנגזרת x>1 ו x<-1.
מכוון שערך מכנה הפונקציה חיובי תמיד מספיק להציב במונה בנגזרת על מנת לדעת אם הפונקציה עולה או יורדת. נציב x=2 ו x= -2.
24- = 2* 12-  לכן הפונקציה יורדת כאשר x>1.
24 = 2- * 12-  לכן הפונקציה עולה כאשר x< -1
תשובה:
עולה כאשר  x<0 וגם x≠ -1.
יורדת כאשר x>0 וגם x≠1.

נבדוק אם הפונקציה שואפת לערך מסוים כאשר ערך ה X שואף לאינסוף / מינוס אינסוף.
(f (x ) = (2x² + 4) / (x² – 1
כל ביטוי הפונקציה זניחים באינסוף / מינוס אינסוף ביחס לביטויים שהם בחזקת 2.
במונה יש 2x² במכנה יש x² ולכן הפונקציה שואפת ל 2.
מכוון שכך ומכוון שערך נקודת המקסימום הוא (4- , 0) עבור הערכים k>-4 וגם k<2 אין פתרון למשוואה.

סעיף א1

x> -16

סעיף א2

(0,1)

סעיף א3

x=-16

סעיף א4

הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה.

סעיף א5

סעיף ב1

(1-, 0)
(0, 12-)

סעיף ב2

סעיף ג

8 יחידות שטח.

(f (x) = 4 / √(x+16

תחום הגדרה.
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש חיובי וגם כאשר המכנה שונה מ 0. לכן:
x+16>0 / -16
x> -16
הפונקציה מוגדרת כאשר x> -16.

נקודות חיתוך עם הצירים.
נציב x=0 ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה y.
f (x) = 4 / √(0+16) = 4/√16=1
(0,1)
נקודת חיתוך עם ציר ה X:
הפונקציה אינה מוגדרת כאשר x=0 לכן אין נקודת חיתוך עם ציר ה X.
דרך אחרת: נציב y=0 ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה X.
0= (x+16)√ /
4=0
זה לא קורה אף פעם לכן אין נקודות חיתוך עם ציר ה X.

כאשר X שואף ל 16- המכנה שואף ל 0 והמונה הוא 4. לכן ערך הפונקציה שואף לאינסוף x=-16 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה

נגזור את הפונקציה:
(f (x) = 4 / √(x+16
f (x) = 4*(x+16)^0.5
f ‘ (x) = -0.5*4 (x+16) ^-0.5
הביטוי  x+16) ^-0.5) חיובי בכול תחום ההגדרה. המספר 4*0.5-  שלילי תמיד לכן הפונקציה יורדת בכול תחום ההגדרה.

g (x) = 4 / √(x+16) -2
נקודת החיתוך עם ציר ה y נמוכה ב 2 מזו של (f(x והיא (1-, 0).
נציב y=0 ונחשב את נקודת החיתוך עם ציר ה x.
לאחר חישוב שצריך להציג בבחינה  נקבל x= -12
(0, 12-) נקודת חיתוך עם ציר ה X.

g (x) = 4(x-16)^–0.5 – 2
האינטגרל הוא :
p = ∫ 4(x-16)^–0.5 – 2 dx =2* 4(x-16)^0.5-2x
כאשר נציב x=-12, x=0 (אלו השיעורים בנקודות החיתוך) נקבל כי השטח הוא 8 יחידות ריבועיות.

סעיף א

S_ABC = X² – 6X+18

סעיף ב

עבור x=3 ערך שטח המרובע ACBE הוא מינימלי

AE=X
EB=6-X
על פי משפט פיתגורס במשולש AEB:
AB² = X² + (6-X)² = X² +36-12X +X² = 2X² -12X +36

נחשב את שטח משולש ABC:
S_ABC = AB*BC / 2 = AB² / 2
S_ABC =  (2X² -12X +36) / 2 = X² – 6X+18

שטח המרובע ACBE הוא סכום השטחים של המשולשים:
S_AEB  = X (6-X) / 2 = 3X – 0.5X²
S_ACBE = X² – 6X+18 + 3x-0.5x² = 0.5x²-3x+18
f (x) = 0.5x²-3x+18  זו הפונקציה של שטח המרובע.
נגזור את הפונקציה ונראה מתי הנגזרת מתאפסת:
f ‘(x) = x -3
x-3=0
x=3
נבדוק איזה סוג קיצון זה על ידי הנגזרת השנייה:
f ”(x) = 1
הנגזרת השנייה חיובית (תמיד) ולכן זו נקודת מינימום.

תשובה: עבור x=3 ערך שטח המרובע ACBE הוא מינימלי.