מעגל היחידה

תיאור ומשוואת מעגל היחידה

מעגל היחידה הוא מעגל שמרכזו נמצא בראשית הצירים והמרחק של כל אחת מהנקודות שעליו לראשית הצירים הוא 1. לכן קוראים למעגל זה מעגל היחידה.

משוואת מעגל היחידה היא:
x² + y² = 1

האם נקודה נמצאת על מעגל /  מחוץ / בתוכו?

השלבים לבדיקה האם נקודה נמצאת על מעגל היחידה:

1. מציבים את ערכי x,y של הנקודה במשוואת המעגל.
2. אם המשוואה מקבלת ערך השווה ל 1 אז הנקודה נמצאת על המעגל.
3. אם המשוואה מקבלת ערך הקטן מ 1 הנקודה נמצאת בתוך המעגל.
4. אם המשוואה מקבלת ערך הגדול מ 1 הנקודה נמצאת מחוץ למעגל.

x² + y² = 1  על המעגל.
x² + y² < 1  בתוך המעגל.
x² + y² > 1  מחוץ למעגל.

הערה
באמצעות משפט פיתגורס ניתן להוכיח שכל נקודה על מעגל היחידה מקיימת
x² + y² = 1
נסתכל על משולש ישר זווית OPK שבשרטוט.

נניח שהנקודה P היא:
(P (x, y
אם כך אורכי הניצבים במשולש הם:
OK = x
PK = y
אורך היתר הוא הרדיוס וגודלו 1.
לכן על פי משפט פיתגורס
x² + y² = 1
וזו המשוואה שרצינו להוכיח.

תרגילים

תרגיל 1
עבור הנקודות הבאות קבעו אם הן על המעגל, בתוך המעגל או מחוץ למעגל.

1. 0.5, 0.5
2. 0.8- , 0.6
3. 0.9-, 0.5

פתרון
עבור הנקודה 0.5, 0.5
נציב x = 0.5, y= 0.5 במשוואה
= x² + y²
ונקבל:
0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5² + 0.5²

קיבלנו כי
x² + y² = 0.5 < 1
לכן הנקודה נמצאת בתוך המעגל.

עבור הנקודה 0.8-, 0.6
נציב x = 0.6, y= -0.8 במשוואה
= x² + y²
ונקבל:
1 = 0.64 + 0.36 = ²(0.8-) + 0.6²

קיבלנו כי
x² + y² = 1
לכן הנקודה נמצאת על המעגל.

עבור הנקודה 0.9-, 0.5
נציב x = 0.5, y= -0.9 במשוואה
= x² + y²
ונקבל:
1.06 = 0.81 + 0.25 = ²(0.9-) + 0.5²

קיבלנו כי
x² + y² = 1.06 > 1
לכן הנקודה נמצאת מחוץ למעגל

תרגיל 2
השתמשו במשוואת מעגל היחידה על מנת למצוא את נקודות החיתוך של מעגל היחידה עם הצירים.

פתרון
במעגל כמו במשוואת ישר, על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה x מציבים y=0.
על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה y מציבים x = 0.

נקודות חיתוך עם ציר ה x
נציב y =0 במשוואת המעגל ונקבל:
x² + 0² = 1
x² = 1
נזכור שלמשוואות מסוג זה יש שני פתרונות.
x = 1, x = -1.

תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה x הן  (1,0)  (1,0-).

נקודות חיתוך עם ציר ה y
נציב x =0 במשוואת המעגל ונקבל:
y² + 0² = 1
y² = 1
למשוואות מסוג זה יש שני פתרונות.
y = 1, y = -1.

תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה y הן  (0,1)  (1-, 1).

תרגיל 3
הנקודה 0.2, a נמצאת על מעגל היחידה.
מצאו את a.
קבעו באיזה רביע נמצאת כל נקודה.

פתרון
נציב x = a,  y = 0,.2
במשוואת מעגל היחידה ונקבל:
a² + 0.2² = 1
a² + 0.04 = 1
a² = 0.96
למשוואה מסוג זה יש שני פתרונות.
a = 0.98, a = -0.98

תשובה: הנקודה 0.2, 0.98 נמצאת ברביע הראשון.
הנקודה 0.2, 0.98- נמצאת ברביע השני.

תרגיל 4
בגרף מסומנת נקודה שבה y= 0.6.
מצאו על השרטוט היכן נמצאת נקודה נוספת שבה y = 0.6.

פתרון
מהנקודה y= 0.6 נעביר ישר מקביל לציר ה x.
לישר זה ערך y קבוע של 0.6.
לכן בנקודה השנייה שבה הוא פוגש את המעגל גם כן מתקיים y = 0.6.

זוויות הסיבוב