זהויות טריגונומטריות סינוס

מהסתכלות על הזהות, ניתן לראות שצד ימין של המשוואה מורכב יותר ולכן ננסה לפשט אותו.

ניתן לזהות שהביטוי עם השורש מזכיר את הנוסחה לחצי זווית:

ולכן:

כעת בצד ימין קיבלנו זווית זהה בסינוס ובקוסינוס המוכפלים ב2.
דבר המעיד על שימוש בזהות הזווית הכפולה.

זהות הזווית הכפולה:

(sin (2a) = 2sin(a)cos(a
במקרה שלנו, הזווית היא a/2 ולא a.

לכן עלינו לבצע התאמות לזהות:
כאשר הזווית היא a/2, הזווית הכפולה שלה היא a.
כלומר:
(2/sin (a) = 2sin(a/2)cos(a.

נשתמש בהצבה זו בצד ימין של המשוואה ונקבל:

קיבלנו את אחת מהזהויות היסודיות ולכן הזהות מתקיימת.

מהסתכלות על הזהות, ניתן לראות שצד ימין של המשוואה מורכב יותר ולכן ננסה לפשט אותו.

בצד זה ניתן לזהות שימוש בזהות הזווית הכפולה:

2*sinα*cosα*cosβ + cos(2α)sinβ

כלומר נוכל לרשום זאת גם כך:

sin(2α)*cosβ + cos(2α)sinβ

כעת, נזהה שהזוויות 2α ו-β מופיעות מספר פעמים (מתחלפות תחת סינוס וקוסינוס).
דבר המזכיר את זהות הסכום בסינוס:
(sin (a+b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b
כאשר הזוויות a וb הן במקרה זה 2α ו-β.

נשתמש בזהות לפישוט הביטוי ונקבל:

sin(2α)*cosβ + cos(2α)sinβ = sin(2α+β)

נחזור למשוואה המקורית ונציב את צד ימין שפישטנו:

sin(360+2α+β) = 2*sinα*cosα*cosβ + cos(2α)sinβ
sin(360+2α+β) = sin(2α+β)

אנו יודעים שקיימת זהות בסיסית לפיה:
(sin (a) = sin (360 +a.

לכן ניתן לומר שהשוויון מתקיים.

מהסתכלות על הזהות, ניתן לראות שצד ימין של המשוואה מורכב יותר ולכן ננסה לפשט אותו.

צד ימין מורכב ממספר גורמים של סינוס וקוסינוס.
ננסה לראות אילו גורמים ניתן לפשט בעזרת הזהויות כך שהזוויות בתוכם יהיו דומות.

הגורם (sin(-α:
הזווית בתוך הסינוס שלישית ונעדיף לעבוד עם זוויות חיובית.
לכן נעזר בזהות הבסיסית:

sin (-a) = -sin a

וכך נוציא את המינוס החוצה.

נקבל:
2*[cos(90-α)+sin(-α)+1-cos²α]=2*[cos(90-α)-sin(α)+1-cos²α]

הגורם (cos(90-α:
בצד ימין של המשוואה הזווית בכל הגורמים היא α ולכן נשאף להגיע לזווית הזו גם בגורם זה.
אנו יודעים ש:  (sin a = cos (90-a.
שימוש בזהות הזו עוזר להמיר את כל הזוויות לα ולפשט את הביטוי.

נקבל:

2*[cos(90-α)-sin(α)+1-cos²α]=2*[sin(α)-sin(α)+1-cos²α]

הביטוי (sin(α מופיע בסימן חיובי ולאחר מכן בסימן שלילי ולכן הוא מתבטל.
כך שקיבלנו בצד ימין:

2*(1-cos²α)

כלומר המשוואה המקורית נראית כעת כך:

1-cos2α = 2*(1-cos²α)

נשתמש בזהות:

sin ² a + cos ²a=1

sin ² a =1-cos²a

ונקבל:

1-cos2α = 2*(1-cos²α)= 2*sin ² α

נחלק ב2:

לכן השוויון מתקיים.

מהסתכלות על הזהות, ניתן לראות שצד שמאל של המשוואה מורכב יותר ולכן ננסה לפשט אותו.

תחילה, נכפיל את המשוואה ב2 כדי להמשיך בפישוט ללא המכנה:

sin(180-α)-sin(3α) = -2sinα*cos(2α)

אנו יודעים ש:  (sin a = sin (180-a.
ולכן ניתן לרשום את המשוואה גם כך:

sin(α)-sin(3α) = -2sinα*cos(2α)

כעת, נסתכל על צד שמאל ונזהה שמדובר בהפרש זוויות.
כלומר עלינו להשתמש בזהות:

במקרה זה הזוויות הן : 3α, α

sin(α)-sin(3α) = 2sin((α-3α)/2)*cos((α+3α)/2) =
2sin(-2α/2)*cos(4α/2) =
2sin(-α)*cos(2α)

נעדיף לעבוד עם זוויות חיוביות, לכן נוציא את המינוס שבסינוס החוצה ונקבל:

2sin(-α)*cos(2α) = 2*(-sin(α))*cos(2α)
2sin(-α)*cos(2α) = -2*sin(α)*cos(2α)

והגענו לביטוי שבצד ימין.
לכן הזהות מתקיימת.