משוואת משיק העובר בנקודה שאינה על הפונקציה

שלבי פתרון:

1. נגדיר כי בנקודת ההשקה מתקיים  x=t ונציב במשוואת הפונקציה. כך נקבל את נקודת ההשקה כשהיא מוגדרת על ידי t.
2. נגזור את הפונקציה ונציב x= t בנגזרת שמצאנו. כך קיבלנו את שיפוע הפונקציה והמשיק כביטוי של t.
3. עכשיו יש לנו נקודה (שמצאנו ב 1) ושיפוע (שמצאנו ב 2) שנהם מוגדרים על ידי t. נבנה משוואת ישר משניהם על ידי הנוסחה (y-y₁=m(x-x_1.
4. נציב את הנקודה  שאינה על הפונקציה במשוואת המשיק שמצאנו ב 3 ונמצא את t.
5. כאשר מצאנו את t אנו יודעים את נקודת ההשקה ואת שיפוע המשיק. נמצא את משוואת המשיק בעזרת שיפוע ונקודה.

תרגיל לדוגמה:

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = 3x²-4 ברביע הראשון והעובר בנקודה (4-, 1).

שלב 1: אם ערך ה X של נקודת ההשקה הוא t אז ערך ה Y הוא:
f(t) = 3t²-4
נקודת ההשקה היא (t, 3t²-4).

שלב 2: נגזור את הפונקציה ונמצא את ערך הנגזרת בנקודת ההשקה.
f ‘ (x) = 6x
f ‘ (t) = 6t

שלב 3: נבנה את משוואת המשיק בעזרת הנקודה (t, 3t²-4) ושיפוע 6t.
(y-y₁=m(x-x₁
(y-3t²+4 = 6t (x-t
y-3t²+4 = 6tx-6t² / +3t² -4
y= 6tx -3t² -4

שלב 4: נציב את הנקודה (4-, 1) במשוואת הישר y= 6tx -3t² -4
4+ / 4- = 6t -3t² -4
6t-3t² = 0
3t( 2 -t ) =0
t=0  או t=2
מכוון שנקודת ההשקה ברביע הראשון t=2.

שלב 5: מציאת משוואת המשיק.
נקודת ההשקה היא (t, 3t²-4) ולאחר שנציב t=2 נקבל  (2,8).
שיפוע המשיק     f ‘ (t) = 6t  לאחר שנציב t=2 נקבל f ‘ (2) = 12
משוואת המשיק העובר בנקודה (2,8) ושיפועו 12 היא:
(y-y₁=m(x-x₁
(y-8 = 12 (x-2
y-8 =12x-24  /+8
y=12x -16   – זו משוואת המשיק.

עוד באתר:

• משוואת משיק לפונקציה – בכול הדרכים.