פונקציה רציונלית נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה

סביבת הנקודה היא עד המקום שבו הפונקציה אינה מוגדרת.

בטווח המספרים הקטנים מ 4 נקודת האי ההגדרה היא x = 3.2.

לכן משמאל לפונקציה טווח המספרים שניתן להציב הוא:

3.2 < x < 4

בטווח המספרים הגדולים מ 4 נקודת האי ההגדרה היא x = 4.5.

לכן טווח המספרים שניתן להציב הוא :

4 < x < 4.5

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל 0.
נגזור את כל אחד משני חלקי הפונקציה בנפרד.

את החלק שבו יש x במכנה ניתן לגזור בשתי שיטות:
על פי הנוסחה של נגזרת מנה:

או בעזרת חוקי חזקות ניתן להפוך לפולינום ולגזור כפולינום (מיועד בעיקר ל 5 יחידות).

את החלק שבו יש x במונה ניתן לגזור בצורה הזו:

וזו הנגזרת שנקבל:

על מנת למצוא את נקודת הקיצון נשווה את הנגזרת ל 0.

נעביר אגף:

נבצע כפל בהצלבה:
x³ = 8
נוציא שורש שלישי מ-2 האגפים.
x = 2

לכן x = 2 היא נקודה חשודה לקיצון.

x = 0 היא נקודת אי הגדרה.

לכן הטבלה יכולה להיראות כך:

נבדוק האם היא נקודת קיצון בעזרת תחומי עליה וירידה של הפונקציה.

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו, ע”י הצבת נקודה שנמצאת בתחום.

תחום הגדרה:

x² – 4x – 12 = 0

x – 2) (x + 6) = 0)

x = 2, x = -6.

מציאת קיצון

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל -0.

נגזור לפי כלל נגזרת של מנה :

נפתח סוגריים:

נכנס איברים ונשווה ל – 0 :

הביטוי הנ”ל מתאפס רק אם המונה שווה ל -0.
לכן נפתור את המשוואה :
6x – x² = 0
x(6 – x) = 0
x₁ = 0, x₂ = 6

לכן הנקודות x = 0 ו – x = 6 הן חשודות לקיצון.

x = 2, x = -6. הן נקודות אי הגדרה.

נבדוק האם הן נקודות קיצון בעזרת תחומי עליה וירידה של הפונקציה.

תשובה : 
נקודות קיצון :
-מינימום : (0.25, 0)
-מקסימום : (1/16, 6)

תחומי עלייה וירידה :
עלייה : 
ירידה:  x > 6
וגם x < 0 כאשר x ≠ -6.

תחום הגדרה

x = 5 אינה מוגדרת.

מציאת קיצון

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל -0.

נגזור לפי כלל נגזרת של מנה :

נפתח סוגריים:

נכנס איברים ונשווה ל – 0:

הביטוי הנ”ל מתאפס רק אם המונה שווה ל -0.
לכן נפתור את המשוואה :

x² – 10x – 11 = 0

פירוק לגורמים:
x-11)  (x+1) = 0)
x₁ = 11, x₂ = -1

לכן הנקודות x = 11 , x = -1 חשודות לקיצון.

x = 5 נקודת אי הגדרה.

טבלה מתאימה תראה כך:

תשובה:
נקודות קיצון :
-מקסימום: x = -1.
-מינימום: x = 11.

תחומי עלייה וירידה:
עלייה : x < -1 וגם x > 11
ירידה :