משיק לפונקציית ln

על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = 2 בפונקציה.

f(x) = ln x – 3

f(2) = ln(2) -3

לכן נקודת ההשקה היא :

 (2, ln(2) – 3)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת הפונקציה בנקודה x = 2.

על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.

f(x) = ln x – 3

f ‘ (x) = 1 / x

נציב את x = 2 בנגזרת הפונקציה:

f ‘ (2) = 1/2

כלומר שיפוע המשיק הוא: m = 1/2

מצאנו נקודה דרכה עובר המשיק ושיפוע המשיק, נמצא את משוואת המשיק

 (2, ln(2) – 3)

m = 1/2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y – y₀ = m(x-x₀ ,

(y – (ln(2) -3) = 1/2*(x – 2

y – ln(2) + 3  = 0.5x – 1

y = 0.5x + ln(2) – 4

ראשית, נשים לב כי שיפוע הישר y = x – 1 הוא m = 1 (כי זהו ישר מהצורה y = mx + n ).
נבדוק עבור איזה x מתקבל ששיפוע הפונקציה f(x) = x * lnx הוא 1.
(בנקודת ההשקה מתקיים כי שיפועי הישר והפונקציה שווים).
f ‘ (x) = lnx + x/x = lnx + 1
נשווה את (f ‘ (x  שמצאנו ל -1 :
lnx + 1 = 1
ln x = 0
x = 1
(רק עבור x = 1 מתקיים lnx = 0).

כעת נרצה לבדוק האם הישר והפונקציה אכן משיקים בנקודה x = 1 .
(ישנה האופציה שהם מקבילים ב x = 1  , כלומר, בעלי אותו שיפוע, אבל לא נוגעים(משיקים) אחד לשני).
על מנת לבדוק זאת – נציב  x = 1 במשוואת הישר , ובפונקציה, ונראה אם מתקבל ערך y זהה.
(ואז מדובר בנקודת השקה).
במידה וערכי ה – y שיתקבלו יהיו שונים , הישר והפונקציה מקבילים , אך לא משיקים.

הישר :    y(1) = 1 – 1 = 0
הפונקציה:    f(1) = 1 * ln(1) = 0

הישר והפונקציה אכן משיקים בנקודה x = 1 .
קיבלנו כי נקודת ההשקה היא  (x,y) = (1,0).  זוהי הנקודה המבוקשת.

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
מטרתנו היא למצוא את הנקודה בה השיפוע הוא 4 , לכן נפתור את המשוואה : f ‘ (x) = 4.
= f ‘ (x) = 2ln x + 2x / x
2ln x + 2 =
לכן המשוואה היא :
2lnx + 2 = 4
2lnx = 2
lnx = 1
x = e
(מהגדרת הפונקציה ln נובע כי ln(e) = 1 )

מצאנו את ערך ה-x המקיים את המשוואה שלנו.
על מנת למצוא את ערך ה-y נציב x = e בפונקציה.
f(e) = 2e * ln(e) = 2e
לכן נקודת ההשקה היא :  (x,y) =  (e, 2e)

השיפוע נתון לנו בשאלה : m = 4

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y₀ = m*(x-x₀ , כאשר m הוא השיפוע, ו-(x_0, y₀) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 2e = 4*(x-e
y = 4x – 4e + 2e
y = 4x – 2e

על מנת למצוא את שיפוע המשיק בנקודה x = 3 , נגזור את הפונקציה ונציב בנגזרת x = 3.

= (f ‘ (x) = a * 1/x  – 1/ (x – 2
(a/x – 1/(x-2 =
נציב x = 3 : 
= (f ‘ (3) = a/3 – 1(3-2
a/3 – 1 =

נתון ששיפוע המשיק לפונקציה בנק’ x = 3 הוא 5.
לכן, כדי למצוא את a , נשווה את השיפוע שמצאנו בנקודה x = 3 , ל – 5.
a/3 – 1 = 5
a/3 = 6
a = 18