שטח משולש לכיתות ח,ט (פיתגורס ובעיות מילוליות)

הדף המקיף בנושא שטח משולש הוא שטח משולש כיתה ז. דף זה כולל בעיות רבות ומסוגים שונים. חלק מהבעיות יהיו קשות גם לתלמידי כיתות ח-ט ואני ממליץ לכם לעבור על דף זה ולוודא שאתם יודעים להתמודד עם כל סוגי הבעיות המופיעות שם.

מה דף זה מוסיף?

1. בכיתה ח נלמד משפט פיתגורס, ויש כאן מספר תרגילים הכוללים שימוש בו.
2. בנוסף בכיתות ח-ט היכולת לפתור משוואות ולפתור בעיות עם משתנים משתפרת  ותמצאו כאן בעיות מילוליות המתאימות לתלמידי כיתות ח-ט.

חזרה על החומר של בית הספר היסודי בדף שטח משולש.

תרגיל 1: משפט פיתגורס

נתון:

AC=5 ס”מ, BC=4 ס”מ. זווית B שווה ל- 90 מעלות.
חשבו את שטח משולש ABC.

פתרון

ראשית עלינו למצוא את צלע AB שהיא הגובה ל- BC.
על פי משפט פיתגורס:

AC²=AB² + BC²
5²=AB²+4²
25=16+ AB²
AB²=9
AB=3
S=(3*4) : 2=12:2=6.
תשובה: שטח משולש ABC הוא 6 סמ”ר.

תרגיל 2: יחס ושטח משולש

על מלבן ABCD בנו משולש EBC. מקודקוד E מורידים גובה EF.
AD = 3EF.

1. חשבו את היחס בין שטח המשולש לשטח המלבן.
2. שטח המלבן והמשולש ביחד הוא 28 סמ”ר. חשבו את שטח המלבן ושטח המשולש.

פתרון

נגדיר AB=Y.
EF= X ולכן AD= 3X.

שטח המלבן:
AD* AB = 3XY.

שטח המשולש:
0.5EF * AB = 0.5XY

תשובה: שטח המלבן גדול פי 6 משטח המשולש ולכן היחס הוא 1:6

חלק שני.
נגדיר שטח המשולש הוא Z ולכן שטח המלבן הוא 6Z.
סכום השטחים הוא 28 סמ”ר ולכן:

Z+ 6Z = 28
7Z = 28 / :7
Z=4

6Z =24 (שטח המלבן).

תשובה: שטח המשולש 4 סמ”ר. שטח המלבן 24 סמ”ר.

תרגיל 3: שטח משולש ויחס

במשולש ABC ידוע כי אורך הצלע BC גדול פי 2 מאורך הגובה המגיע אליה.
BC=2AD.
שטח המשולש הוא 16 סמ”ר.

1. חשבו את אורך הצלע BC.
2. *אם ידוע כי BD=0.75X מה היחס בין שטחי המשולשים ADB : ADC : ABC.

פתרון

נגדיר AD=X.
BC=2X
על פי נוסחת שטח משולש מתקיים
x*2x= 16*2
2x²=32 /:2
x²=16
x=4.
BC=2X=8
תשובה: BC=8 ס”מ.

חלק שני
מכוון שלמשולשים ADB, ADC, ABC יש גובה זהה אז היחס בין השטחים שלהם הוא היחס בין הבסיסים אליהם מגיע הגובה:
BD : CD : BC.
נחשב את אורך שלושת הצלעות הללו.
AD = 8:2=4
נחשב את BD.
BD=0.75*4=3
CD=8-3=5.
לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא:
3:5:8

תרגיל 4: שימוש במשתנה ומשפט פיתגורס למציאת שטח משולש

נתון משולש ABC שבו אורכי הצלעות הם:  AB=5, AC=8, BC=12 ס”מ.
חשבו את הגובה AD ואת שטח המשולש.

פתרון
נגדיר
BD=X.

במשולש ABD
מתקיים על פי משפט פיתגורס.
X²+ AD²=5²
AD² = 25 – X² (משוואה 1)

במשולש ACD
מתקיים על פי משפט פיתגורס.
8² = AD² + (12-x)²
(AD² = 64 – (144-24X+X² (משוואה 2)

נשתמש במשוואה זו ובמשוואה שקיבלנו למעלה (שתיהן שוות AD²)
25 – X² = 64 – (144 – 24X + X²)
25 – X² = 64 – 144 + 24X – X²
25 – x² = – 80 + 24x – x²
105 = 24x
X = 4.375

על פי מה שמצאנו קודם:
AD²= 25-X²=25-4.3752=25-19.14=5.86
AD=2.42 ס”מ.

שטח המשולש

תשובה: שטח המשולש הוא 14.52 סמ”ר.

עוד באתר:

1. מתמטיקה לכיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.