הסתברות כיתה ח

בדף מבוא להסתברות לכיתה ח למדנו שהסתברות היא מספר בין 0 ל 1.
1 זו הסתברות המבטאת שדבר בטוח יקרה.
0 זו הסתברות המבטאת את ההסתברות שדבר בטוח לא יקרה.

בדף זה נלמד את עיקר החומר עבור תלמידי כיתה ח:

  1. חישוב הסתברות של מאורע יחיד.
  2. חישוב הסתברות של שתי מאורעות.

1.הסתברות של מאורע יחיד

חישוב הסתברות נעשה על פי הנוסחה הבאה:

דוגמה 1
זורקים קובייה. מה ההסתברות לקבל את המספר 4?

פתרון
יש 6 אפשרויות:
1,2,3,4,5,6.
מתוכן יש אפשרות אחת טובה שהיא:
4
יש אפשרות אחת טובה מתוך 6 ולכן ההסתברות היא:

דוגמה 2
בבניין יש 14 דירות.
דופקים על דלת דירה באופן מקרי.
מה ההסתברות שדפקו על דלת דירה מספר 3?

פתרון
יש 14 אפשרויות.
מתוכן אפשר אחת טובה.
לכן ההסתברות לדפוק על דלת מספר 3 היא:

2.הסתברות של שתי מאורעות עם קשר "או"

לפעמים תהיה יותר מאפשרות אחת טובה שנרצה לחשב את ההסתברות שלה.

דוגמה 1
"זורקים קובייה, מה ההסתברות שנקבל 3 או 5?"

פתרון
במקרה זה יש לנו 2 אפשרויות טובות מתוך 6.
נשתמש בנוסחה שבה משתמשים לחישוב הסתברות:

2 הוא מספר האפשרויות הטובות.
6 הוא כל האפשרויות הקיימות.
לכן ההסתברות היא:

1/3 זו ההסתברות לקבל 3 או 5.

דוגמה 2
"זורקים קובייה מה ההסתברות שיצא מספר זוגי?"

פתרון
במקרה זה האפשרויות הטובות הן:

2, 4, 6

יש 3 אפשרויות טובות.
6 אפשרויות בסך הכל.

לכן ההסתברות למספר זוגי היא:

דוגמה 3
זורקים קובייה, מה ההסתברות שנקבל את המספר 2 או מספר קטן ממנו?

פתרון
1,2 הם המספרים הטובים.

לכן ההסתברות היא:

דוגמה 4
בקופסה יש 3 כדורים לבנים, 4, כחולים, 5 צהובים.
מוצאים כדור מהקופסה, מה ההסתברות שהכדור לא לבן?

פתרון
"לא לבן" זה אומר שיוצא כדור כחול או צהוב.

מספר הכדורים הכחולים או הצהובים הוא
4 + 5 = 9

מספר הכדורים שיש בקופסה
3 + 4 + 5 = 12

9 הוא מספר האפשרויות הטוב.
12 הוא סך כל האפשרויות.

לכן ההסתברות להוציא "לא לבן" היא:

דוגמה 5
בתיק של מיכל 3 ספרי מתמטיקה, 2 ספרי אנגלית ו 5 ספרים אחרים.
מיכל מושכת מהתיק ספר מבלי לראות.
מה ההסתברות שזה יהיה ספר מתמטיקה או ספר אחר?

פתרון
האפשרות הטובות הן:
3 ספרי מתמטיקה.
5 ספרים אחרים.

3 + 5 = 8

סך כל הספרים שיש בתיק:

3 + 2 + 5 = 10

האפשרויות הטובות הן 8 מתוך 10.
לכן ההסתברות היא:

8/10 = 0.8

3.הסתברות משלימה

הסתברות משלימה הוא נושא חשוב, שהחשיבות שלו גדלה ככל שהתרגילים הופכים לקשים יותר.

זכרו 
סכום ההסתברויות של כל המקרים הוא 1.

דוגמה 1
בקופסה יש כדורים צהובים, ירוקים וחומים.
מוצאים כדור מהקופסה.
0.4 זו ההסתברות להוציא כדור צהוב.
0.5 זו ההסתברות להוציא כדור ירוק.

מה ההסתברות להוציא כדור חום?

פתרון
סכום ההסתברויות הוא 1.
לכן ההסתברות של חום היא:

1 – 0.4 – 0.5 = 0.1

6.האם הסתברות מושפעת ממאורעות קודמים?

זרקתי קובייה ויצא 4 פעמים ברציפות 2.
מה ההסתברות שבפעם החמישית שאזרוק יצא לי 2?

פתרון
הסתברות מהסוג הזה לא מושפעת ממה שקרה קודם לכן.
ההסתברות לקבל 2 בזריקת קובייה היא 1/6 ולא משנה איזו תוצאה יצאה לי קודם לכן בזריקת הקובייה.

כאשר חוזרים על אותה פעולה הרבה פעמים מה קורה?
כאשר זורקים קובייה פעמיים, ניתן לקבל פעמיים רצופות את אותו מספר.
אבל אם נזרוק 600 פעם ההסתברות שנקבל בכול הפעמים את אותה תוצאה נמוכה מאוד.
כאשר חוזרים על אותה פעולה הרבה פעמים מה שקורה בפועל מתקרב למה שחוזה ההסתברות.

לכן אם נזרוק 600 פעמים קובייה סביר להניח שכל מספר שרשום על הקובייה יתקבל בערך 1/6 מהפעמים.
כלומר, כל מספר יתקבל בערך 100 פעמים.

עוד באתר:

.תרגילים

בחלק זה 9 תרגילים.
לחלק מהתרגילים יש גם פתרון וידאו והוא מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1
התעוררתם מהשינה מבלי לזכור דבר.

  1. מה ההסתברות שהיום הוא יום ראשון?
  2. האם ההסתברות שהיום יום ראשון או שני גדולה מ 0.25?
פתרון כתוב

סעיף א: ההסתברות ליום ראשון
יש 7 ימים בשבוע.
מתוכם יום אחד הוא המאורע המבוקש.
לכן ההסתברות ליום יחיד היא

סעיף ב: ההסתברות ליום ראשון או שני
ההסתברות ליום ראשון היא 1/7.
ההסתברות ליום שני היא 1/7.
סכום ההסתברויות של שני הימים ביחד הוא:

0.283 = 2/7 = 1/7 + 1/7.

לכן ההסתברות ליום ראשון או שני גדולה מ 0.25.

שרטוט פתרון התרגיל
שרטוט פתרון התרגיל
פתרון וידאו

תרגיל 2
בשק 4 כדורים שעל כל אחד מהם רשום מספר יחיד: 1,2,3,4.
מוצאים כדור אחד.

1. האם ההסתברות לקבל מספק זוגי שווה להסתברות לקבל מספר אי זוגי?
2. מה ההסתברות לקבל את המספר 4?

בשק 4 כדורים
בשק 4 כדורים

 

פתרון כתוב

סעיף א
סך הכל יש 4 אפשרויות להוציא כדור מהשק (1,2,3,4).
מתוכן 2 זוגיות (2,4).
לכן ההסתברות למספר זוגי היא 2/4.

יש שתי אפשרויות אי זוגיות (1,3).
לכן ההסתברות למספר אי זוגי היא 2/4

תשובה: ההסתברות לדגום מספר זוגי שווה להסתברות לדגום מספר אי זוגי.

סעיף ב
יש 4 אפשרויות להוציא כדור.
מתוכן אפשרות אחת טובה.
לכן ההסתברות היא:
0.25= 1/4.

תרגיל 3
בסל 6 כדורים.
3 צהובים, 2 ירוקים ו 1 אדום.
מוציאים כדור אחד, מה ההסתברות שהוא צהוב או אדום.

פתרון כתוב

יש 6 אפשרויות להוציא כדור.
מספר הכדורים הצהובים או האדומים הם 4.
לכן יש 4 אפשרות טובות.
וההסתברות היא 4 מתוך 6.

פתרון וידאו

תרגיל 4
בכיתה 20 תלמידים. 1/2 מהם מגיעים עם חולצה ירוקה. 1/4 עם חולצה אדומה ו- 1/4 צהובה.
1. אם בוחרים ילד מהכיתה באופן מקרי. מה ההסתברות שזה ילד עם חולצה ירוקה? ילד עם חולצה אדומה? ילד עם חולצה צהובה?
2. אם מספר התלמידים היה משתנה ל- 40 האם התשובה לסעיף 1 הייתה משתנה?

תיאור ההסתברויות של כל צבע חולצה בכיתה
תיאור ההסתברויות של כל צבע חולצה בכיתה
פתרון כתוב

סעיף א
ההסתברות שווה לשבר המייצג את הקבוצה..
ואם השבר המייצג את אלו עם חולצה ירוקה הוא 1/2 אז ההסתברות לדגום ילד עם חולצה ירוקה היא 1/2.
וכך גם לגבי החולצות האדומות והצהובות, החלק המייצג אותן הוא 1/4 ולכן ההסתברות שלהם היא 1/4.

סעיף ב
אם גודל של קבוצה הוא 1/2 מתוך משהו זה לא משנה מה הגודל של אותו "המשהו" ההסתברות של הקבוצה תהיה 1/2.
כלומר אם 1/2 מתלמידי הכיתה הם בעלי חולצה ירוקה לא משנה כמה תלמידים יש בכיתה (2,20,32,40 או 1000), תמיד ההסתברות לבחור אחד מהם באופן מקרי תהיה 1/2.

פתרון וידאו

תרגיל 5
מבין המספרים 1 ועד 100 (כולל) בוחרים מספר. מה ההסתברות שהמספר זוגי.

פתרון כתוב

1 מכל 2 מספרים בתחום הזה הוא זוגי. לכן ההסתברות לקבל מספר זוגי היא 0.5.

תרגיל 6
שירה זרקה 4 פעמים קובייה הוגנת שעליה רשומים המספרים 1,2,3,4,5,6.

בכל ארבעת הפעמים יצאו לה המספרים 1 או 2.
מה ההסתברות שגם בפעם החמישית שתזרוק יצא לה 1 או 2?

פתרון כתוב

מילת המפתח היא קובייה הוגנת (קובייה שהסיכוי שלה להוציא את כל אחד מהמספרים שווה). ולכן בפעם החמישית ההסתברות היא כמו בכול זריקה – 2/6.
את זה שעד עכשיו יצאו מספרים 1-2 צריך לייחס למקריות / מזל.

תרגיל 7
בכיתה נערך מבחן. בטבלה מפורטים ציוני תלמידים ומספר התלמידים

ציון81-10071-8061-700-60
מספר תלמידים121067
  1. מה השכיחות של התלמידים שקיבלו 61-80?
  2. אם בוחרים תלמיד אקראי מה ההסתברות שהוא קיבל ציון שבין 61-80?
פתרון כתוב

סעיף א
כאשר מבקשים מאיתנו "שכיחות של מספר" שואלים אותנו בעצם כמה פעמים המספר מופיע.

6 הוא מספר התלמידים שקיבלו 61-70.
10 הוא מספר התלמידים שקיבלו  71-80
לכן:
16 היא השכיחות של תלמידים שקיבלו 61-80

סעיף ב
מספר התלמידים בכיתה הוא 35 = 7+6+10+12
לכן יש לנו 35 אפשרויות בחירה.
16 מתוכם נמצאות בתחום 61-80.
ההסתברות היא:

פתרון וידאו

תרגיל 8
זורקים מטבע פעמיים מה ההסתברות שיצא בפעם הראשונה עץ ובפעם השנייה פלי?
מה ההסתברות שיצא עץ ופלי ללא חשיבות לסדר בניהם.

פתרון כתוב

סעיף א
בשאלה זו כל האפשרויות שיכולות להתקבל הן פחות ברורות משאלות קודמות, לכן עלינו לרשום את האפשרויות שיכולות להתקבל בזריקת מטבע פעמיים.

  1. עץ, עץ
  2. עץ, פלי
  3. פלי, פלי
  4. פלי, עץ.

סך הכל 4 אפשרויות.

ההסתברות המבוקשת היא ההסתברות השנייה ויש רק אחת כזאת.
לכן ההסתברות היא:

תשובה: ההסתברות לקבל עץ בפעם הראשונה ופלי בשנייה היא 0.25.

סעיף ב
כאשר הסדר לא חשוב ההסתברות השנייה טובה וגם ההסתברות הרביעית.
כלומר יש לנו 2 הסתברויות טובות מתוך 4.
ההסתברות לכך היא:

תשובה: ההסתברות לקבל עץ ופלי ללא חשיבות לסדר היא 0.5.

פתרון וידאו

תרגיל 9 (משלב ממוצע וחציון)
בדיאגרמה הבאה מפורטים ציונים ומספר תלמידים שקיבל כל ציון.

  1. בוחרים תלמיד מהכיתה. מה ההסתברות לבחור תלמיד שקיבל 9?
  2. מה החציון של הציונים?
  3. מה הממוצע של הציונים?
פתרון וידאו

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
סעיף א: ההסתברות ל 9.

נחשב את מספר התלמידים בכיתה:

3 + 8 + 5 + 5 = 21

מתוכם 5 קיבלו 9.
לכן ההסתברות ל 9 היא 5 מתוך 21:

סעיף ב: חציון
יש 21 ציונים, לכן החציון הוא האיבר הנמצא במקום:

(21 + 1) : 2 = 11

עד הציון 7 נמצאים מקומות 1-11.

לכן 7 הוא החציון.

סעיף ג: ממוצע
נחשב את סכום הציונים:

6 * 3 + 7 * 8 + 8 * 5 + 9 * 5 = 159

הממוצע הוא

x = 159 : 21 = 7.57

*תרגיל 10
כאשר זורקים 2 קוביות סך כל הצירופים האפשריים הוא 36.
מה ההסתברות שבזריקת 2 קוביות נקבל סכום 5?

פתרון כתוב

נמצא את כל הצירופים בעזרתם ניתן לקבל 5.
4, 1
3, 2
2, 3
1, 4

סך הכל יש לנו 4 אפשרויות טובות מתוך 36.
לכן ההסתברות  המבוקשת היא:

נספח: שאלות בהן ההסתברות ידועה

שאלות אלו הן עבור תלמידים מצטיינים בלבד בכיתה ח.
בכול השאלות שפתרנו עד עכשיו היינו צריכים למצוא את ההסתברות, בשאלות מסוג זה ההסתברות ידועה ועלינו לחשב דבר אחר.

דוגמה 1
בכד 6 כדורים אדומים או כחולים.
ההסתברות להוציא כדור אדום היא 12/18.
כמה כדורים אדומים בכד?

פתרון
השאלה הזו שונה מהשאלות האחרות בכך שבכל השאלות האחרות היינו צריכים לחשב את ההסתברות.
לעומת זאת בשאלה הזו ההסתברות היא נתון.
בנוסף נצטרך להגדיר משתנה על מנת לפתור את השאלה.

כמו בהרבה שאלות מילוליות המשתנה הוא מה ששואלים עליו.
לכן:
x מספר הכדורים האדומים בכד.
אם היו לנו 2 כדורים אדומים ההסתברות להוציא כדור אדום הייתה
2/6

לכן כשיש לנו x כדורים אדומים ההסתברות להוציא אדום היא
x/6

אנחנו גם יודעים שההסתברות להוציא כדור אדום היא 12/18.
לכן המשוואה שלנו היא:
משוואה

זו משוואה עם נעלם אחד.
נכפיל במכנה המשותף 18 ונקבל:
3x = 12  / : 3
x = 4
תשובה: מספר הכדורים האדומים בכד הוא 4.

דוגמה 2
במגירה יש 20 חולצות ומכנסיים.
כאשר מושכים באופן מקרי פריט אחד ההסתברות שזו תהיה חולצה היא 2/5.
כמה מכנסיים וכמה חולצות יש במגירה?

פתרון
נגדיר:
x  מספר החולצות במגירה.
במגירה יש x חולצות מתוך 20 פריטים.
לכן ההסתברות למשוך חולצה היא:

ההסתברות להוציא חולצה היא גם 2/5 לכן המשוואה שלנו היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא 20 ונקבל:
x = 8
תשובה: מספר החולצות במגירה הוא 8, מספר המכנסיים הוא 12.

נספח שני: מה ניתן ללמוד מההסתברות על הכמות?

נספח שלישי: מספר האפשרויות בזריקת שתי קוביות

כאשר זורקים שתי קוביות. מה מספר האפשרויות שיש?
או בשפה של הסתברות. מה גודלו של מרחב המדגם?

כאשר אנו זורקים שתי קוביות יכול לצאת לנו 1 בקובייה הראשונה ו 2 בקובייה השנייה.
לאחר מיכן יכול לצאת להפך; 2 בקובייה הראשונה ו 1 בקובייה השנייה.

אם נתייחס אל שתי האפשרויות הללו כשתי אפשרויות שונות, אז מספר האפשרויות בזריקת שתי קוביות הוא 36.

לעומת זאת אם נתייחס אל שתי האפשרויות כאילו זו אותה אפשרות, אז מספר האפשרויות בזריקת שתי קוביות הוא 21.

בשני המקרים תוצאת עם מספר זהה בשתי הקוביות כמו 3 : 3 או 4 : 4 נספרת כפעם אחת בלבד.

כך נראית הטבלה עבור מצב שבו 1 : 2 ו   1 : 2 הם שתי תוצאות שונות.
בטבלה זו 36 אפשרויות.

123456
1(1,1)(1, 2) (1, 3)  (1, 4)(1, 5) (1, 6)
2(2, 1) (2, 2)  (2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6)
3(3, 1) (3, 2)  (3, 3)(3, 4)(3, 5)(3, 6)
4(4, 1) (4, 2)  (4, 3)(4, 4)(4, 5)(4, 6)
5(5, 1) (5, 2)  (5, 3)(5, 4)(5, 5)(5, 6)
6(6, 1) (6, 2)  (6, 3)(6, 4)(6, 5)(6, 6)

 

במצב שבו 1 : 2 ו   1 : 2 זו תוצאה אחת צריך להוריד את כל מה שמתחת לאלכסון (כי זו תוצאה החוזרת על מה שיש מעל האלכסון).
בטבלה זו יש 21 אפשרויות.

123456
1(1,1)(1, 2) (1, 3)  (1, 4)(1, 5) (1, 6)
2 (2, 2)  (2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6)
3  (3, 3)(3, 4)(3, 5)(3, 6)
4(4, 4)(4, 5)(4, 6)
5(5, 5)(5, 6)
(6, 6)

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “הסתברות כיתה ח”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.