לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

הסתברות כיתה ח

בדף מבוא להסתברות לכיתה ח למדנו שהסתברות היא מספר בין 0 ל 1.
1 זו הסתברות המבטאת שדבר בטוח יקרה.
0 זו הסתברות המבטאת את ההסתברות שדבר בטוח לא יקרה.

בדף זה נלמד את עיקר החומר עבור תלמידי כיתה ח:

  1. חישוב הסתברות של מאורע יחיד.
  2. חישוב הסתברות של שתי מאורעות.
  3. נפתור תרגילים.

כמו כן נלמד את הנושאים הבאים:

4.הסתברות משלימה.
5.האם הסתברות מושפעת ממאורעות קודמים?
6.נספח: שאלות בהן ההסתברות ידועה
7.נספח שני: מה ניתן ללמוד מההסתברות על הכמות?

1.סרטון מסכם

ניתן ללמוד אץ החומר מסרטון זה או מהסרטונים והדברים הכתובים המופיעים בהנמשך הדף.

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

1.טווח הערכים של הסתברות

סרטון הסבר

הסתברות הוא מספר המבטא את הסיכוי שבר יקרה.

טווח המספרים הוא 0 ל 1.

1 זו הסתברות שדבר בטוח יקרה.

0 זו הסתברות לדבר שאין סיכוי שיקרה.

2.איך מחשבים הסתברות?

סרטון הסבר

חישוב הסתברות נעשה על פי הנוסחה הבאה:

דוגמה 1
זורקים קובייה. מה ההסתברות לקבל את המספר 4?

פתרון התרגיל

יש 6 אפשרויות שקיימות

1,2,3,4,5,6.

מתוכן יש אפשרות אחת טובה שהיא:
4

יש אפשרות אחת טובה מתוך 6 ולכן ההסתברות היא:

דוגמה 2
בבניין יש 14 דירות.
דופקים על דלת דירה באופן מקרי.
מה ההסתברות שדפקו על דלת דירה מספר 3?

פתרון התרגיל

יש 14 אפשרויות.
מתוכן אפשר אחת טובה.
לכן ההסתברות לדפוק על דלת מספר 3 היא:

3.הסתברות של שתי מאורעות עם קשר "או"

סרטון הסבר

לפעמים תהיה יותר מאפשרות אחת טובה שנרצה לחשב את ההסתברות שלה.

דוגמה 1
"זורקים קובייה, מה ההסתברות שנקבל 3 או 5?"

פתרון התרגיל

במקרה זה יש לנו 2 אפשרויות טובות מתוך 6.
נשתמש בנוסחה שבה משתמשים לחישוב הסתברות:

2 הוא מספר האפשרויות הטובות.
6 הוא כל האפשרויות הקיימות.

לכן ההסתברות היא:

1/3 זו ההסתברות לקבל 3 או 5.

דוגמה 2
"זורקים קובייה מה ההסתברות שיצא מספר זוגי?"

פתרון התרגיל

במקרה זה האפשרויות הטובות הן:

2, 4, 6

יש 3 אפשרויות טובות.
6 אפשרויות בסך הכל.

לכן ההסתברות למספר זוגי היא:

דוגמה 3
זורקים קובייה, מה ההסתברות שנקבל את המספר 2 או מספר קטן ממנו?

פתרון התרגיל

המספרים שהם 2 או קטנים ממנו הם 1,2.

וזאת מתוך 6 אפשרויות בקובייה.

לכן ההסתברות היא:

דוגמה 4
בקופסה יש 3 כדורים לבנים, 4, כחולים, 5 צהובים.
מוצאים כדור מהקופסה, מה ההסתברות שהכדור לא לבן?

פתרון התרגיל

"לא לבן" זה אומר שיוצא כדור כחול או צהוב.

מספר הכדורים הכחולים או הצהובים הוא
4 + 5 = 9

מספר הכדורים שיש בקופסה
3 + 4 + 5 = 12

9 הוא מספר האפשרויות הטוב.
12 הוא סך כל האפשרויות.

לכן ההסתברות להוציא "לא לבן" היא:

דוגמה 5
בתיק של מיכל 3 ספרי מתמטיקה, 2 ספרי אנגלית ו 5 ספרים אחרים.
מיכל מושכת מהתיק ספר מבלי לראות.
מה ההסתברות שזה יהיה ספר מתמטיקה או ספר אחר?

פתרון התרגיל

האפשרות הטובות הן:
3 ספרי מתמטיקה.
5 ספרים אחרים.

3 + 5 = 8

סך כל הספרים שיש בתיק:

3 + 2 + 5 = 10

האפשרויות הטובות הן 8 מתוך 10.
לכן ההסתברות היא:

8/10 = 0.8

4.הסתברות משלימה

סרטון הסבר

הסתברות משלימה הוא נושא חשוב, שהחשיבות שלו גדלה ככל שהתרגילים הופכים לקשים יותר.

זכרו 
סכום ההסתברויות של כל המקרים הוא 1.

דוגמה 1
בקופסה יש כדורים צהובים, ירוקים וחומים.
מוצאים כדור מהקופסה.
0.4 זו ההסתברות להוציא כדור צהוב.
0.5 זו ההסתברות להוציא כדור ירוק.

מה ההסתברות להוציא כדור חום?

פתרון התרגיל

סכום ההסתברויות הוא 1.
לכן ההסתברות של חום היא:

1 – 0.4 – 0.5 = 0.1

5.הסתברות על פי דיאגרמה או טבלה

הנתונים שאנו מקבלים יכולים להינתן בדרכים שונות.

גם דיאגרמת עץ או טבלה אלו הן דרכים לתת לנו נתונים.

דוגמה 1
בדיאגרמה הבאה מפורטים ציונים ומספר תלמידים שקיבל כל ציון.

  1. בוחרים תלמיד מהכיתה. מה ההסתברות לבחור תלמיד שקיבל 9?
  2. מה החציון של הציונים?
  3. מה הממוצע של הציונים?
פתרון וידאו

פתרון התרגיל

פתרון
סעיף א: ההסתברות ל 9.

נחשב את מספר התלמידים בכיתה:

3 + 8 + 5 + 5 = 21

מתוכם 5 קיבלו 9.
לכן ההסתברות ל 9 היא 5 מתוך 21:

סעיף ב: חציון
יש 21 ציונים, לכן החציון הוא האיבר הנמצא במקום:

(21 + 1) : 2 = 11

עד הציון 7 נמצאים מקומות 1-11.

לכן 7 הוא החציון.

סעיף ג: ממוצע
נחשב את סכום הציונים:

6 * 3 + 7 * 8 + 8 * 5 + 9 * 5 = 159

הממוצע הוא

x = 159 : 21 = 7.57

6.האם הסתברות מושפעת ממאורעות קודמים?

זרקתי קובייה ויצא 4 פעמים ברציפות 2.
מה ההסתברות שבפעם החמישית שאזרוק יצא לי 2?

פתרון התרגיל

הסתברות מהסוג הזה לא מושפעת ממה שקרה קודם לכן.

ההסתברות לקבל 2 בזריקת קובייה היא 1/6 ולא משנה איזו תוצאה יצאה לי קודם לכן בזריקת הקובייה.

כאשר חוזרים על אותה פעולה הרבה פעמים מה קורה?
כאשר זורקים קובייה פעמיים, ניתן לקבל פעמיים רצופות את אותו מספר.

אבל אם נזרוק 600 פעם ההסתברות שנקבל בכול הפעמים את אותה תוצאה נמוכה מאוד.

כאשר חוזרים על אותה פעולה הרבה פעמים מה שקורה בפועל מתקרב למה שחוזה ההסתברות.

לכן אם נזרוק 600 פעמים קובייה סביר להניח שכל מספר שרשום על הקובייה יתקבל בערך 1/6 מהפעמים.
כלומר, כל מספר יתקבל בערך 100 פעמים.

7.שאלות מעל כיתה ח

שאלות אלו הן עבור תלמידים מצטיינים בלבד בכיתה ח.
בכול השאלות שפתרנו עד עכשיו היינו צריכים למצוא את ההסתברות, בשאלות מסוג זה ההסתברות ידועה ועלינו לחשב דבר אחר.

תרגיל 1
בכד 6 כדורים אדומים או כחולים.
ההסתברות להוציא כדור אדום היא 12/18.
כמה כדורים אדומים בכד?

פתרון התרגיל

השאלה הזו שונה מהשאלות האחרות בכך שבכל השאלות האחרות היינו צריכים לחשב את ההסתברות.

לעומת זאת בשאלה הזו ההסתברות היא נתון.

בנוסף נצטרך להגדיר משתנה על מנת לפתור את השאלה.

כמו בהרבה שאלות מילוליות המשתנה הוא מה ששואלים עליו.

לכן:

x מספר הכדורים האדומים בכד.

אם היו לנו 2 כדורים אדומים ההסתברות להוציא כדור אדום הייתה

2/6

לכן כשיש לנו x כדורים אדומים ההסתברות להוציא אדום היא

x/6

אנחנו גם יודעים שההסתברות להוציא כדור אדום היא 12/18.

לכן המשוואה שלנו היא:

משוואה

זו משוואה עם נעלם אחד.

נכפיל במכנה המשותף 18 ונקבל:

3x = 12  / : 3

x = 4

תשובה: מספר הכדורים האדומים בכד הוא 4.

סרטון הסבר

דוגמה 2
במגירה יש 20 חולצות ומכנסיים.
כאשר מושכים באופן מקרי פריט אחד ההסתברות שזו תהיה חולצה היא 2/5.
כמה מכנסיים וכמה חולצות יש במגירה?

פתרון התרגיל

נגדיר:

x  מספר החולצות במגירה.

במגירה יש x חולצות מתוך 20 פריטים.

לכן ההסתברות למשוך חולצה היא:

ההסתברות להוציא חולצה היא גם 2/5 לכן המשוואה שלנו היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא 20 ונקבל:
x = 8
תשובה: מספר החולצות במגירה הוא 8, מספר המכנסיים הוא 12.

8. מה ניתן ללמוד מההסתברות על הכמות? (נושא זניח)

סרטון הסבר

דוגמה 1
בקופסה יש כדורים אדומים, ירוקים וצהובים.
1/5 זו ההסתברות להוציא כדור אדום.

  1. מה מספר הכדורים הנמוך ביותר שיכול להיות בקופסה.
  2. האם יכולים להיות 8 כדורים בקופסה?
פתרון התרגיל

דבר ראשון

1 הוא המספר הנמוך ביותר של כדורים אדומים שיכול להיות בקופסה.

ואם 1 הוא חמישית אז השלם הוא 5.

דבר שני
מספר הכדורים בקופסה צריך להיות בכפולות של 5.

5,  10, 15, …..

אלו המספרים של הכדורים בקופסה.

מספר שהוא לא כפולה של 5 יגרום לכך שמספר הכדורים האדומים לא יהיה שלם.

למשל אם יש 8 כדורים, ו- 1/5 היא ההסתברות לאדום.
אז מספר הכדורים האדומים הוא:

1.6 הוא מספר אפשרי למספר הכדורים האדומים.
לכן 8 הוא לא מספר אפשרי למספר הכדורים בקופסה.

וכך זה עבור כל מספר כדורים x שהוא לא 5.

על מנת ש x/5 יהיה מספר שלם x צריך להיות כפולה של 5.

תרגילים

בחלק זה 11 תרגילים.
לחלק מהתרגילים יש גם פתרון וידאו והוא מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

התרגילים מיועדים למנויים באתר.

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

עוד באתר:

12 מחשבות על “הסתברות כיתה ח”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. יש לי שאלה האם אפשר לענות לי עליה וגם להסביר למה התשובה היא ככה?
    הנה השאלה:
    זורקים 2 מטבעות לכל מטבע צד אחד עם תמונה וצד שני עם מספר.
    (המשך השאלה הוסר מהאתר)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ניתן ללמוד לענות על השאלה בחלק השני של הדף שבו אנו נמצאים.
      ואם יש קושי בסעיף מסוים ניתן לשאול עליו עם מידע יותר מפורט על מה עשית

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך לשאול במקום שאתה קורא על זה, לרוב זה התוצאה הגולמית.
      בזריקת קובייה זה יכול להיות לדוגמה:
      יצא 2.
      יצא 6.