משפטי חפיפה

משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ

אם שני משולשים שווים זה לזה באורכי שתי צלעות ובזווית שבין שתי הצלעות השוות הם חופפים.

משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ
משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ

 

משפט חפיפה שני ז.צ.ז

אם שני משולשים שווים זה לזה בשתי זוויות ובאורך הצלע שבין שתי הזוויות הם חופפים.

משפט חפיפה שני ז.צ.ז
משפט חפיפה שני ז.צ.ז

 

משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ

אם שני משולשים שווים זה לזה באורכי 3 צלעותיהם הם חופפים.

משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ
משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ

תרגילים

חלק 1: קבעו אם המשולשים חופפים

בחלק זה משורטטים שני משולשים עליכם לקבוע אם המשולשים חופפים.
אם כן עליכם לרשום מה הוא המשולש החופף למשולש ABC (בסדר אותיות זה על שתגיעו לתשובה  כמו באתר)

תרגיל 1
האם המשולשים חופפים?
אם כן קבעו על פי איזה משפט ורשמו את החפיפה בסדר הנכון (חפיפה למשולש ABC).

פתרון
על מנת שתהיה חפיפה על פי צ.ז.צ הזווית השווה צריכה להיות בין הצלעות השוות.
זה לא כך כאן ולכן המשולשים לא חופפים.

המשולשים היו חופפים אם הזוויות השוות היו A,G.

תרגיל 2
האם המשולשים חופפים?
אם כן קבעו על פי איזה משפט ורשמו את החפיפה בסדר הנכון. (חפיפה למשולש ABC).

פתרון
ש כאן צלע שווה בין שתי זוויות שוות.
לכן המשולשים חופפים על פי ז.צ.ז.
רישום החפיפה הוא:
ABC ≅ FGT

תרגיל 3
האם המשולשים חופפים?
אם כן קבעו על פי איזה משפט ורשמו את החפיפה בסדר הנכון. (חפיפה למשולש ABC).

פתרון
יש שתי צלעות והזווית שביניהן שווה.
לכן המשולשים חופפים על פי צ.ז.צ.
רישום החפיפה הוא:
ABC ≅ TGF

תרגיל 4
האם המשולשים חופפים?
אם כן קבעו על פי איזה משפט ורשמו את החפיפה בסדר הנכון. (חפיפה למשולש ABC).

פתרון
על פי הנתונים הרשומים כאן בלבד המשולשים לא חופפים.
על מנת להשתמש במשפט ז.צ.ז  הצלע צריכה להיות בין שתי הזוויות. וכאן הצלע היא לא בין שתי הזוויות.

אבל, ניתן לחשב על פי סכום זוויות במשולש ש:
B = F = 40
ולאחר חישוב זה ניתן להוכיח שהמשולשים חופפים על פי ז.צ.ז.

תרגיל 5
האם המשולשים חופפים?
אם כן קבעו על פי איזה משפט ורשמו את החפיפה בסדר הנכון. (חפיפה למשולש ABC).

פתרון
המשולשים חופפים כי יש להם 3 צלעות חופפות.
המשולשים חופפים על פי צ.צ.צ.

רישום החפיפה הוא:
ABC ≅ FGT

חלק 2: הוסיפו נתון לשרטוט כך שהמשולשים יהיו חופפים

תרגילים 6-9.

בזוגות המשולשים הבאים הוסיפו את הנתון החסר על מנת להוכיח שהמשולשים חופפים.

שימו לב: בחלק מהשרטוטים ניתן להוסיף שני נתונים של אחד מיהם בנפרד יוכיח חפיפה על פי משפט אחר.
אם לא ניתן להוסיף נתון יחיד שיוכיח חפיפה כתבו שלא ניתן.

תרגיל 6
הוסיפו למשולש ABC נתון כך ששני המשולשים יהיו חופפים.
שימו לב, כי יתכן ויש שני נתונים שכל אחד מיהם יצור משולשים חופפים.
אם לא ניתן ליצור משולשים חופפים כתבו שלא ניתן.

פתרון
ידועה לנו זווית וצלע במשולש.
ניתן להוסיף
B = F = 40
ואז המשולשים יהיו חופפים על פי ז.צ.ז

ניתן להוסיף במקום את הצלע
AC = 4 = GT
ואז המשולשים חופפים על פי צ.ז.צ

תרגיל 7
הוסיפו למשולש ABC נתון כך ששני המשולשים יהיו חופפים.
שימו לב, כי יתכן ויש שני נתונים שכל אחד מיהם יצור משולשים חופפים.
אם לא ניתן ליצור משולשים חופפים כתבו שלא ניתן.

פתרון
הנתון שניתן להוסיף הוא:
AC = 4 = GT
אם נוסיף את הנתון הזה המשולשים יהיה חופפים על פי ז.צ.ז

תרגיל 8
הוסיפו למשולש ABC נתון כך ששני המשולשים יהיו חופפים.
שימו לב, כי יתכן ויש שני נתונים שכל אחד מיהם יצור משולשים חופפים.
אם לא ניתן ליצור משולשים חופפים כתבו שלא ניתן.

פתרון
במשולשים אלו אין שום נתון יחיד שניתן להוסיף על מנת להוכיח שהמשולשים חופפים.

תרגיל 9
הוסיפו למשולש ABC נתון כך ששני המשולשים יהיו חופפים.
שימו לב, כי יתכן ויש שני נתונים שכל אחד מיהם יצור משולשים חופפים.
אם לא ניתן ליצור משולשים חופפים כתבו שלא ניתן.

פתרון
המשולשים יהיו חופפים אם נוסיף את הנתון
BC = 10 = FT
במקרה זה המשולשים יהיו חופפים על פי צ.צ.צ

עוד באתר:

נספח: מדוע משולשים עם שיש להם את כמעט את כל הנתונים אינם חופפים

1.מדוע משולשים עם שתי צלעות שוות וזווית שאינה בין הצלעות אינם חופפים.

משפט החפיפה הראשון צ.ז.צ דורש שהזווית תהיה בין שתי הצלעות.
כאן נראה שאם הזווית אינה בין שתי הצלעות המשלשים לא חייבים להיות חופפים.

אני אקח שתי צלעות AB, BC
זווית שאינה בין שתי הצלעות (הזווית האדומה).

ונבנה מיהם שני משולשים שונים.
שני המשולשים המשורטטים למטה אינם חופפים כי הצלע AC אינה שווה.

אלו שלבי הבנייה של משולשים כאלו:

  1. משרטטים מעגל.
  2. מעבירים את הצלע הארוכה  (OA) ממרכז המעגל O.
  3. משרטטים את הזווית המבוקשת על הקודקוד A (בצבע אדום).
  4. מעבירים ישר החותך את המעגל בשתי נקודות B,C.

עכשיו עבור המשולשים OAB,  OAC
יש לנו שתי צלעות שוות:
OA צלע משותפת.
OB = OC כי שניהם רדיוסים.
וזווית שווה (הזווית A).
אבל אלו משולשים לא חופפים.

OAB, OAC אינם חופפים למרות שיש להם שתי צלעות שוות וזווית שווה

2.מדוע משולשים עם 3 זוויות שוות אינם חופפים

משפט חפיפה שני ז.צ.ז מבקש 2 זוויות וצלע.
אבל האם ניתן להחליף את הצלע בזווית ולהשתמש ב 3 זוויות על מנת ליצור משולשים חופפים.
נשתמש ב 3 הזוויות הללו:

וניצור שני משולשים חופפים שונים.

כיצד לשרטט משולשים כאלו:

  1. שרטטו ישר (AB בשרטוט).
  2. העבירו ממנו שתי זוויות שתבחרו (מסומנות באדום)
  3. השלימו את הצלעות AC, BC.
  4. ליצירת המשולש השני האריכו את הישר AB לנקודות D,E.
  5. העבירו את הזוויות האדומות לנקודות D,E והשלימו את הישרים DE, EF

3.מדוע משולשים עם שתי צלעות שוות אינם חופפים.

משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ דורש 3 צלעות שוות. נראה ש 2 בלבד אינן מספיקות.

דוגמה נוספת ניתן לראות בשרטוט שכבר העברנו למעלה.

OA צלע משותפת, OB = OC אבל המשולשים OAB, OAC אינם חופפים
OA צלע משותפת, OB = OC אבל המשולשים OAB, OAC אינם חופפים

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “משפטי חפיפה”

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    איך כותבים נכון את הפורמולות הסופיות לכל אחד מהמשפטי חפיפה? או שכולם כותבים באותה דרך? בכיתה הקשבתי וראיתי שהמורה פעם אחת כותבת משולש לפני האותיות או כמו סוג של A הפוכה וכולי, ובכללי איך אני אמורה לדעת את הסדר שלהם?
    תודה (:

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      נהוג שיש משולש משמאל לאותיות.
      אם לא רוצים לסמן משולש ניתן לכתוב : משולש ואז את שלושת האותיות.
      באתר זה לא תמיד כך בגלל בעיה של שילוב בין שמאל לימין.
      (עברית ומתמטיקה לא כותבים באותו כיוון).

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.