גובה במשולש

בדף זה נלמד על גובה במשולש:

1. הגדרה של גובה במשולש.
2. במשולש יש 3 גבהים.
3. תרגילים: האם הישרים הבאים הם גבהים?
4. דוגמאות לגובה במשולשים שונים.
5. גובה במשולש שווה שוקיים.
6. הגובה הוא המרחק הקצר ביותר בין קודקוד לצלע.
7. הגובה לצורך חישוב שטח משולש.

1.הגדרה של גובה במשולש

גובה במשולש הוא ישר שיש לו שתי תכונות:

1. יוצא מקודקוד המשולש.
2. יוצר זווית של 90 מעלות עם הצלע שמולו (מאונך).

למשל AD הוא גובה ל BC כי הוא יוצא מהקודקוד A ומאונך לצלע BC.

אם ישר מקיים רק את אחד מהדברים אז הישר הוא לא גובה.

אם הוא לא יוצא מהקודקוד – אז הוא לא גובה.

אם הוא הוא לא יוצר זווית של 90 מעלות אז הוא לא גובה.

דוגמה

בשרטוט למטה:

AD לא גובה – כי הוא לא יוצר זווית של 90 מעלות.

EF לא גובה – כי הוא לא יוצא מקודקוד.

סימון הגובה

נהוג לסמן גובה עם האות באנגלית – h , עבור height = גובה.

2.במשולש יש 3 גבהים

מכל אחד מקודקודי המשולש ניתן להוציא גובה – ולכן למשולש יש 3 גבהים.

הגבהים בשרטוט:

AD – גובה היוצא מקודקוד A אל צלע BC.

BE – גובה היוצא מקודקוד B אל צלע AC.

CF – גובה היוצא מקודקוד C אל צלע AB.

3.תרגילים: האם הישרים הבאים הם גבהים?

בכל תרגיל קבעו האם הקו המקווקו הוא גובה, ואם לא, נמקו.

תרגיל 1

האם AD גובה?

תרגיל 2

האם AD גובה?

תרגיל 3

האם CD גובה?

 

תרגיל 4

האם DE גובה במשולש ABC?

תרגיל 5

האם AB גובה במשולש ABC?

4.דוגמאות לגובה במשולשים שונים

גובה במשולש חד זווית

במשולש חד זווית הגבהים הם “רגילים”.

AD – גובה היוצא מקודקוד A אל צלע BC.

BE – גובה היוצא מקודקוד B אל צלע AC.

CF – גובה היוצא מקודקוד C אל צלע AB.

גובה במשולש ישר זווית

במשולש ישר זווית יש מצב מיוחד שבו שניים מהגבהים הם צלעות.

צלע במשולש ישר זווית שהיא גם גובה נקראת “ניצב”.

נסביר

נסתכל על הצלע AB.

• היא יוצאת מקודקוד A.
• יוצרת זווית של 90 מעלות עם הצלע BC.

AB מקיימת את שתי הדרישות מגובה ולכן היא גובה לצלע BC.

באותה צורה BC:

1. יוצא מקודקוד C.
2. מאונך לצלע AB.

ולכן BC הוא גובה ל AB.

גובה שלישי במשולש ישר זווית הוא גובה “רגיל” (BD בשרטוט).

גובה במשולש קהה זווית

במשולש קהה זווית  – משולש שבו יש זווית גדולה מ 90 מעלות – יש גם כן מצב מיוחד.

אם ננסה להוריד גובה מהקודקוד A אל הצלע BC הוא לא יוכל ליצור זווית של 90 מעלות.

כדי שישר היוצא מקודקוד A יצור זווית של 90 מעלות הוא צריך להגיע להמשך הצלע BC.

בצורה הזו:

וכך גם גובה מקודקוד C, יגיע אל המשך הצלע ולא אל הצלע עצמה.

לעומת זאת הגובה היוצא מהקודקוד שהזווית שלו היא מעל 90 מעל (קודקוד B) הוא גובה “רגיל” המגיע אל הצלע שמולו.

גובה במשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים לגובה לבסיס יש תכונה מיוחדת – הוא גם תיכון וגם חוצה זווית.

כלומר:

BD = CD  בגלל שהוא תיכון.

∠BAD = ∠CAD

 

 

הגובה הוא המרחק הקצר ביותר בין קודקוד לצלע

אם נרצה להעביר את הישר הקצר ביות בין קודקוד A לצלע BC הישר הזה יהיה גובה.

כל ישר אחר שהוא לא גובה – יהיה ארוך יותר.

בשרטוט AE הוא גובה ולכן הקצר ביותר.

AD, CF הם לא גבהים ולכן ארוכים יותר.

הגובה לצורך חישוב שטח משולש

• שטח משולש – מידע נוסף.

הנוסחה לחישוב שטח משולש באמצעות גובה:

בסיס זו הצלע אותה הגובה מחבר לקודקוד.

* הערה- עבור גבהים מחוץ למשולש אורך הבסיס הוא אורך הצלע במשולש בלבד,
ולא המרחק בין הקודקוד לגובה. מפורט בתרגיל 2.

תרגיל 1

נתון המשולש הבא:

נתון:

AD = 6

BC = 10

מה שטח המשולש?

תרגיל 2

נתון המשולש הבא:

נתון:

BC = 12

שטח המשולש 24 יח”ש

מה אורכו של הגובה AD?

עוד באתר:

• משולש – דף הכולל קישורים שונים לנושא המשולש.