כינוס איברים דומים עם חזקות

בדפים קודמים למדנו את היסודות של כינוס איברים:

1. כינוס איברים בסיסי.
2. כינוס איברים עם שברים.

בדף זה נלמד כינוס איברים עם חזקות ועם פרמטרים.
הדף מחולק ל 4 חלקים:

1. הסבר מתי מותר ומתי אסור לבצע כינוס איברים.
2. תרגילים.
3. תרגילים: כינוס איברים עם שני משתנים
4. תרגילים: כינוס איברים עם פרמטרים.

• משוואה עם נעלם אחד הוא הדף שאתם צריכים לעבור אליו לאחר שתסיימו כאן.

1.מתי מותר ומתי אסור לבצע כינוס איברים

כינוס איברים היא אחת מהפעולות הבסיסיות בדרך לפתרון משוואות עם נעלם אחד. עליכם לבצע אותה בצורה מושלמת, והמפתח הוא תשומת לב.

ב”כינוס איברים” הכוונה היא לחיבור או חיסור איברים.
והשאלה היא: בין אלו איברים מותר לעשות פעולות חיבור וחיסור?

יש 2 מקרים בהם ניתן לבצע כינוס איברים:

1. בין מספרים – למשל, 7+5=12
2. בין ביטויים אלגבריים שיש להם אותה חזקה –  למשל:
   2x²+4x²=6x²
   או 6x⁷-x⁷=5x⁷.

יש 2 מקרים בולטים בהם לא ניתן לבצע כינוס איברים:

1.בין מספר למשתנה.  x+7
2. בין משתנים שיש להם חזקה שונה.
10x + 2x²
7x⁵ – 6x⁴
בשני המקרים הללו לא ניתן לבצע כינוס איברים.

ומה עושים במקרה שיש לנו ביטוי הכולל מספר משתנים. למשל:
2x²y³ + 5x³y³
האם ניתן או לא ניתן לבצע לביטוי זה כינוס איברים?

לא ניתן.
על מנת לכנס איברים אנו צריכים שהחזקות של כל המשתנים יהיו שוות בביטוי הזה ל x יש פעם אחת חזקה שנייה (²) ופעם אחרת חזקה שלישית (³) לכן לא ניתן לכנס איברים.

לעומת זאת כאשר החזקות של כל המשתנים המופיעות בביטוי שוות ניתן לכנס איברים:
2x²y³ + 5x²y³ = 7x²y³

דוגמאות

דוגמאות בוידאו לתרגילים 1-2:

דוגמאות כתובות:

דוגמה 1
3+x⁴ +4x²+ 2x³+4x⁴+2

פתרון
3+x⁴ +4x²+ 2x³+4x⁴+2
נרשום איברים עם חזקה שווה אחד ליד השני
x⁴ + 4x⁴ + 2x³ +4x² + 2 +3
5x⁴ + 2x³ + 4x² +5

דוגמה 2
3x+8x³+ 4-4x²-x-3x³+2

פתרון
3x + 8x³+ 4 – 4x² – x – 3x³ + 2
נרשום איברים עם חזקה שווה אחד ליד השני
4 + 8x³ -3x³  – 4x² -x + 3x + 2
5x³ – 4x² +2x + 6

דוגמה 3
5x³-10x+2+7x³+10x-2

פתרון
5x³ -10x + 2 + 7x³ + 10x – 2
 2 + 5x³ + 7x³ -10x+10x – 2
12x³

2.תרגילים

1. x⁵-4+7x⁴+1-2x⁵-4x⁴
2. 10x³-3x³-4x³+3x+x³-3x-4x³
3. 2x-5x²-6x-4x²-10-4
4. 3x³ – 4x² + 10x³ – 10x + 3+ 3x²
5. 11x⁵ – 23x³ + 12x² – 3x⁵ -12x³
6. 7x² – 3x + 4x² + 9x -11 – 4

פתרונות

תרגיל 1
x⁵– 4 + 7x⁴ + 1 – 2x⁵ – 4x⁴

תרגיל 2
10x³-3x³-4x³+3x+x³-3x-4x³

תרגיל 3
2x-5x²-6x-4x²-10-4

תרגיל 4

3x³ – 4x² + 10x³ – 10x + 3+ 3x²

תרגיל 5

11x⁵ – 23x³ + 12x² – 3x⁵ -12x³

תרגיל 6

7x² – 3x + 4x² + 9x -11 – 4

3.כינוס איברים של ביטויים עם שני משתנים

ניתן לכנס איברים הכוללים שני משתנים או יותר רק עם כל החזקות של המשתנים הללו שוות.

דוגמה 1
3x³y² + 2x³y²
זה ביטוי שניתן לכנס כי החזקה של ה x בשני הביטויים והחזקה של ה y בשני הביטויים שווה.
תוצאת התרגיל היא:
3x³y² + 2x³y² = 5x³y²

עבור אלה ממכם שהתשובה הזו לא מובנת אכתוב את הפירוט הבא:
3x³y² = x³y² + x³y² + x³y²
2x³y² = x³y² + x³y²
ולכן הסכום הוא:
5x³y²

דוגמה 2
3x²y⁵ + 2y⁵x²

סדר הרישום אינו חשוב בגלל ששני הביטויים הללו שווים:
2y⁵x² = 2x²y⁵
(חוק החילוף של הכפל).

לכן תוצאת התרגיל היא:
3x²y⁵ + 2y⁵x² = 5x²y⁵

דוגמאות לתרגילים שלא ניתן לבצע עבורם כינוס איברים.

6x⁵y³ + 3x⁴y³
לא ניתן.
בגלל שהחזקה של ה x היא לא אותה חזקה.

4x²y + 3x²
לא ניתן.
בגלל שביטוי אחד כולל y והשני לא.

6x⁵y³z + 3x⁵y³
לא ניתן.
בגלל שביטוי אחד כולל z והשני לא.

תרגילים

שימו לב, בין התרגילים משולבים תרגילים שלא ניתן לבצע להם כינוס איברים.

7x³y⁶ + 2x³y⁶
5x²y – x²y
4x⁴y² + 3x⁴y³
4x⁹y² +3x⁹y² – 2y²x⁹

פתרונות

תרגיל 1
7x³y⁶ + 2x³y⁶

פתרון
7x³y⁶ + 2x³y⁶ = 9x³y⁶

תרגיל 2
5x²y – x²y

פתרון
5x²y – x²y = 4x²y

תרגיל 3
4x⁴y² + 3x⁴y³

פתרון
לא ניתן לבצע כינוס איברים כי החזקה של ה y היא לא אותה חזקה.

תרגיל 4
4x⁹y² +3x⁹y² – 2y²x⁹

פתרון
4x⁹y² +3x⁹y² – 2y²x⁹ = 7x⁹y² – 2y²x⁹
5x⁹y²

עוד באתר:

• כינוס איברים.
• פתרון משוואה עם נעלם אחד – מדריך מקיף.
• חשבון כיתה ז – מרבית הנושאים הנלמדים בכיתה זו.

4.נספח: כינוס איברים עם פרמטרים

הקדמה להכרת נושא הפרמטרים
חלק זה לא נועד לכולם, אני מניח שבהרבה כיתות ז לא לומדים את הנושא הזה.
למרביתכם אני ממליץ לא ללמוד את הנושא הזה אם הוא לא חלק מתוכנית הלימודים שלכם עכשיו.
כאשר תתקלו בו בעתיד יהיו לכם כלים מתמטיים נוספים וטובים יותר להבין אותו.

ולנושא עצמו.
פרמטר הוא מספר שאנו לא יודעים את גודלו.
הרבה פעמים מסמנים את הפרמטרים באות a, אבל ניתן לסמן אותו בכול אות אחרת.

אתם צריכים לדעת לחבר ולחסר פרמטרים בצורה הזו:
5a + 2a = 7a
6a – 5a = a

אתם צריכים לדעת שמספר ופרמטר לא ניתן לחבר או לחסר.
2a + 3
הביטוי נשאר כמו שהוא.

ועוד תרגיל  שאתם צריכים לדעת לפתור
= a -4 + 6a + 9
= a + 6a + 9 – 4
7a +5

תרגילים

בתרגיל הבאים x הוא המשתנה ו- a הוא הפרמטר.

1. 2ax + 3ax
2. ax + 2x
3. 4x² + 12ax  -ax² +3x
4. 3a -2x³ -14 + 3x + a²x³ +2ax

פתרונות

תרגיל 1
2ax + 3ax

פתרון
2ax + 3ax  = 5ax

תרגיל 2
ax + 2x

פתרון
ax + 2x = (a + 2)x

תרגיל 3
4x² + 12ax  -ax² +3x

פתרון
4x² + 12ax  -ax² +3x
בשלב הראשון נרשום חזקות שוות של המשתנה x אחת ליד השנייה.
4x² – ax² + 12ax + 3x
(x² (4 – a)+ x(12a + 3

פתרון תרגיל 3 בוידאו:

תרגיל 4
3a -2x³ -14 + 3x + a²x³ +2ax

פתרון
3a -2x³ -14 + 3x + a²x³ +2ax
בשלב הראשון נרשום חזקות שוות של המשתנה x אחת ליד השנייה.
a²x³ -2x³ +3x  +2ax + 3a -14
x³(a² – 2) + x(3 + 2a) +3a – 14

אם למדתם כינוס איברים עם פרמטרים יתכן ותרצו גם ללמוד פתרון משוואה עם פרמטרים.