בדף זה נדבר על הזזות בסיסית של פונקציה.
הדף הזה הוא עובר על דברים בסיסיים.
תוכלו ללמוד יותר בנושאי הדף דרך הקישורים הנמצאים בו ודרך הקורס קדם אנליזה ששייך לכיתה י.
הזזה אנכית של פונקציה
הזזה אנכית היא הזזה למעלה או למטה.
הזזה אנכית של פונקציה היא הזזה שהמבנה הכללי שלה הוא: g(x) = f(x) + a.
והערך של a קובע את מיקום הפונקציה g(x).
אם a חיובי הפונקציה g(x) תהיה מעל הפונקציה f(x).
אם a שלילי הפונקציה g(x) תהיה מתחת הפונקציה f(x).
הפונקציה g(x) תהיה a יחידות למעלה או למטרה ביחס לפונקציה f(x).
אם a חיובי אז הפונקציה g(x) תעלה למעלה, ואם a שלילי הפונקציה תרד למטה.
דוגמה
f (x) = x² היא הפונקציה באדום.
א.כיצד תראה הפונקציה:
g(x) = f(x) + 2
ב.כיצד תראה הפונקציה
g(x) = f(x) – 1
הפונקציה g(x):
g(x) = f(x) + 2
נמצאת שתי יחידות יותר למעלה מהפונקציה f(x).
(g(x) בשחור).
הפונקציה g(x):
g(x) = f(x) – 1
נמצאת 1 יחידות למטה מהפונקציה f(x).
(g(x) בירוק).
מציאת נקודה מתאימה
כאשר יש לנו את ההזזה.
g(x) = f(x) – 4
ונתונה הנקודה (6,9) על הפונקציה f(x)
אז איזו נקודה ניתן להסיק שנמצאת על הפונקציה g(x).
הזזה אופקית של פונקציה
בחלק זה נלמד את ההזזה g(x) = f(x + k) שהיא הזזה נפוצה ברמת 5 יחידות.
הזזה אופקית של פונקציה היא הזזה ימינה או שמאלה.
כיצד יראה גרף הפונקציה g(x)?
הזזה כזו מזיזה את הגרף של f(x) ימינה או שמאלה k צעדים.
הכלל אומר:
כאשר k חיובי הפונקציה g(x) תמצא משמאל ל f(x).
כאשר k שלילי הפונקציה g(x) תמצא מימין ל f(x).
לסיכום התזוזה היא “הפוכה” מספר חיובי מזיז לכיוון השלילי ומספר שלילי מזיז לכיוון החיובי.
דוגמה נתון גרף הפונקציה f(x).
כיצד יראה הגרף של g(x) אם נתון כי:
g(x) = f(x + 2).
פתרון
g(x) = f(x + 2).
במקרה זה המספר חיובי ולכן התזוזה היא לכיוון השלילי.
כאשר נשרטט ניקח את נקודת הקודקוד ונזיז אותה שתי יחידות שמאלה ובעקבותיה נזיז את כל הגרף.
דוגמה 2
בכיתה ט למדנו הזזות של פרבולות ולמדנו למשל שאם ניקח את שתי הפרבולות
f(x) = x²
g(x) = (x – 3)²
אז הפונקציה g(x) נמצאת מימין ל f(x) במרחק 3 יחידות.
וזה מתאים למה שלמדנו היום שאומר שכאשר המספר שלילי הפונקציה g(x) זהה בכיוון החיובי.
תשובה: 3 יחידות מימין ל f(x).
הסבר הגיוני להזזה
דוגמה 1
נתונה ההזזה
g(x) = f(x + 4)
הנקודה (1,0) נמצאת על f(x).
מה הנקודה המתאימה שנמצאת על g(x)?
ההזזה g(x) = f(x + 4) אומרת שלפונקציה f ו – g יש את אותו ערך y כאשר ערך ה x של f גדול ב 4.
לכן אם עבור f(x)
(1,0)
אז עבור g(x)
(-3, 0)
ניתן לחשב זאת כך
הנקודה (0,1) יכולה להיכתב כך:
f(1) = 0
על מנת למצוא את x נשווה בין שני הערכים שנמצאים בתוך הסוגריים.
x + 4 = 1
x = -3
לכן הנקודה על g(x) תהיה:
(-3, 1)
וניתן לכתוב:
g(-3) = f(1) = 0
אנו רואים כי:
g(-3) = f(1)
כלומר הפונקציה g(x) נמצאת 4 צעדים משמאל ל f(x).
דוגמה 2
נתונה ההזזה
g(x) = f(x – 3)
הנקודה (2,1) נמצאת על f(x).
מה הנקודה המתאימה שנמצאת על g(x)?
הנקודה (2,1) יכולה להיכתב כך:
f(2) = 1
על מנת למצוא את x נשווה בין שני הערכים שנמצאים בתוך הסוגריים.
x – 3 = 2
x = 5
לכן הנקודה על g(x) תהיה:
(5, 1)
וניתן לכתוב:
g(5) = f(2) = 1
אנו רואים כי:
g(5) = f(2)
כלומר הפונקציה g(x) נמצאת 3 צעדים מימין ל f(x).
הזזה סימטרית ביחס לציר ה x
g(x) = – f(x)
זו הזזה סימטרית ביחס לציר ה x.
כלומר הפונקציות f(x), g(x) יהיו סימטריות ביחס לציר ה x.
נסביר מדוע.
הזזה זו אומרת שעבור אותו ערך x לפונקציות f ו- g יש ערכי y הפוכים בסימנם.
אם הנקודה:
(a,b)
נמצאת על f(x)
כלומר:
f(a) = b
אז הנקודה הבאה נמצאת על g(x)
(a, -b)
כלומר:
g(a) = -f(a) = – b
למשל, אם הנקודות:
A(3,1)
B(1,2)
נמצאות על f(x)
אז הנקודות המתאימות על g(x) יהיו:
C(3,-1)
D(1,-2)
וכאשר נמקם את הנקודות הללו על מערכת הצירים נראה שהזזה זו סימטרית ביחס לציר ה x.
הזזה סימטרית ביחס לציר ה y
והזזה g(x) = f(-x) היא הזזה סימטרית ביחס לציר ה y.
הזזה זו אומרת שלערכי x הפוכים בסימנם יש ערכי y שווים.
ואם הנקודה:
(a,b)
נמצאת על הפונקציה f(x)
כלומר:
f(a) = b
אז הנקודה
(-a, b)
נמצאת על g(x).
כלומר:
g(-a) = b
למשל, אם הנקודות:
A(3,1)
B(1,2)
נמצאות על f(x)
אז הנקודות המתאימות על g(x) יהיו:
C(-3,1)
D(-1,2)
וכאשר נמקם את הנקודות הללו על מערכת הצירים נראה שהזזה זו סימטרית ביחס לציר ה y.
עוד באתר:
- מתמטיקה לכיתה י – כולל קורס מלא בנושא קדם אנליזה.
וגם דפים בנושא ההזזות הבאות: