השימוש העיקרי של האינטגרל הוא לצורך חישוב שטח.
הדרך שבה נחשב את השטח תלויה במיקום הפונקציה או הפונקציות ביחס לציר ה x.
בקורס זה נסכם את הצורות השונות של חישוב אינטגרל.
1.קישורים
בקישורים הבאים יש הסברים ותרגילים עבור כל סוג שטח.
- שטחים הנמצאים מעל ציר ה x או מתחת לציר ה x.
- שטחים הנמצאים מעל ומתחת לציר ה x.
- שטחים בין שתי פונקציות.
- שטחים מורכבים.
- אינטגרלים ושטחים עם פרמטרים.
- חישוב שטחים בעזרת אינטגרל בפונקציית שורש.
2.סרטון הסבר מסכם
בסרטון זה נסביר כיצד לחשב שטחים מסוגים שונים (24 דקות).
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
2.חישוב שטח שכולו מעל ציר ה x
כדי לחשב את של פונקציה שכולה נמצאת מעל ציר ה x אנו נחשב:
- אינטגרל של הפונקציה.
- האינטגרל יתחיל מערך ה x שבו מתחיל השטח ועד ערך ה x שבו מסתיים השטח.
דוגמה 1
בשרטוט גרף הפונקציה f(x) = x + 4.
כתבו אינטגרל לחישוב השטח המוגבל בין הפונקציה f(x) ובין ציר ה x בין
x = 1 ל x = 3
(השטח שבשרטוט)
השטח מתחיל ב x = 1.
ומסתיים ב x = 3.
הפונקציה היא f(x) = x + 4.
לכן האינטגרל שמחשב את השטח הוא:
והחישוב בהמשך הוא:
דוגמה 2
בשרטוט גרף הפונקציה f(x) = x² + 1.
כתבו אינטגרל לחישוב השטח המוגבל בין הפונקציה f(x) ובין ציר ה x בין
x = -3 ל x = 3
(השטח שבשרטוט)
השטח מתחיל ב x = -3.
ומסתיים ב x = 3.
הפונקציה היא f(x) = x² + 1.
לכן האינטגרל שמחשב את השטח הוא:
דוגמה 3
בשרטוט גרף הפונקציה f(x) = -x³ – 2.
כתבו אינטגרל לחישוב השטח המוגבל בין הפונקציה f(x) ובין ציר ה x בין
x = -3 ל x = -2
(השטח שבשרטוט)
השטח מתחיל ב x = -3.
ומסתיים ב x = -2.
הפונקציה היא f(x) = -x³ – 2.
לכן האינטגרל שמחשב את השטח הוא:
2.שטח שכולו מתחת לציר ה X
אינטגרל של פונקציה שנמצאת מתחת לציר ה x יוצא שלילי.
אבל שטח הוא גודל חיובי תמיד.
לכן מה שאנו יכולים לעשות כדי להפוך את האינטגרל השלילי לחיובי הוא:
- לשים מינוס לפני האינטגרל.
- או לשים את האינטגרל בתוך ערך מוחלט.
דוגמה 1
הפונקציה שבשרטוט היא f(x) = -x² +6x – 5
כתבו אינטגרל לחישוב השטח המוגבל בין הפונקציה f(x) ובין ציר ה x בין
x = 1 ל x = -2
(השטח שבשרטוט)
השטח מתחיל ב x = -2.
ומסתיים ב x = 1.
הפונקציה היא f(x) = -x² +6x – 5
השטח כולו נמצא מתחת לציר ה x.
לכן האינטגרל שמחשב את השטח הוא:
או ערך מוחלט.
דוגמה 2
הפונקציה שבשרטוט היא f(x) = -x³
כתבו אינטגרל לחישוב השטח המוגבל בין הפונקציה f(x) ובין ציר ה x בין
x = 0 ל x = 2
(השטח שבשרטוט)
השטח מתחיל ב x = 0.
ומסתיים ב x = 2.
הפונקציה היא f(x) = -x³
השטח כולו נמצא מתחת לציר ה x.
לכן האינטגרל שמחשב את השטח הוא:
או בעזרת ערך מוחלט:
3.שטח שהוא מעל וגם מתחת לציר ה- x
לא ניתן לחשב ביחד שטח שנמצא גם מעל וגם מתחת לציר ה x.
וזה בגלל שחישוב השטח מתחת יוסיף ערך שלילי לאינטגרל – למרות שהוא צריך להוסיף ערך חיובי שהוא השטח.
לכן נחשב על ידי פיצול האינטגרל לשני חלקים שונים:
- את השטח שמעל ציר ה x נחשב “כרגיל”, כמו כל שטח שנמצא מעל ציר ה x.
- את השטח שמתחת ציר ה x נחשב על ידי הוספת מינוס או ערך מוחלט לאינטגרל, כמו כל שטח שנמצא מתחת ציר ה x.
- הערה: הרבה פעמים נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה x מפרידה בין השטח החיובי לשלילי.
ואם הנקודות הללו לא נתונות עלינו למצוא אותן.
דוגמה 1
משורטטת הפונקציה f (x) = x +2.
חשבו את השטח הנמצא בין הפונקציה ובין ציר ה x בין x = -6 לבין x = 1.
(השטח שבשרטוט)
אנו רואים בשרטוט שחלק מהשטח נמצא מתחת לציר ה x וחלק מעל.
עלינו לחשב את השטח בשני אינטגרלים נפרדים.
וקודם עלינו למצוא את ערך ה x שמפריד בין השטחים.
(שהוא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה x)
מציאת התחום של השטח מעל ומתחת ציר ה x
נמצא כי נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה x היא:
x + 2 = 0
x = -2
השטח שנמצא מתחת לציר ה xנמצא בתחום
x = -6, x = -2
חישוב השטחים
את השטח הנמצא מתחת לציר ה x נחשב בעזרת האינטגרל:
השטח הנמצא מעל ציר ה x מוגבל על ידי התחום:
x = -2 ועד x = 1
נחבר את השטחים שקיבלנו ונקבל את השטח כולו.
דוגמה 2
נתונה הפונקציה f (x) = 3x² – 3.
חשבו את השטח המוגבל בינה לבן ציר ה x בין x = -2 ל x = 1.
(השטח שבשרטוט)
חישוב התחום של השטח מעל ומתחת ציר ה x
נעשה זאת באמצעות מציאת נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
f (x) = 3x² – 3.
3x² – 3 = 0
3x² = 3
x² = 1
x = 1 או x = -1
לכן התחום של השטח מעל ציר ה x הוא:
x = -2 ועד x = -1
התחום של השטח הנמצא מתחת לציר ה x הוא:
x = -1 ועד x = 1
חישוב השטחים
חישוב השטח הנמצא מעל לציר ה x מתקבל על ידי האינטגרל
לאחר שנציב מספרים נקבל ששטח זה הוא 4 יחידות ריבועיות.
חישוב השטח הנמצא מתחת לאינטגרל מתקבל על ידי:
(שימו לב למינוס הנמצא לפני האינטגרל).
לאחר שנציב מספרים נקבל ששטח זה הוא 4 יחידות ריבועיות.
תשובה: סכום השטחים הוא 8 יחידות ריבועיות.
4.שטח בין שתי פונקציות
בחישוב שטח בין שתי פונקציות צריך להפריד בין שני מקרים:
- בכל תחום השטח פונקציה אחת נמצאת מעל השנייה.
- בתחום השטח עבור חלק מערכי x פונקציה אחת מעל השנייה ועבור ערכי x אחרים (שכלולים בשטח) פונקציה אחרת נמצאת מעל השנייה
שטח שבו פונקציה אחת נמצאת מעל השנייה
אם נתונות לנו שתי פונקציות:
(f(x
(g(x
וידוע כי הפונקציה (f(x נמצאת מעל הפונקציה (g(x בין הנקודות a ו b אז השטח בין הפונקציות בין הנקודות הללו נתון על ידי:
זה השטח המסומן בגרף שלמעלה.
שתי הערות חשובות.
הערה 1
שימו לב שמקרה זה אין חשיבות אם חלק מהשטח או כולו נמצאים מתחת לציר ה x.
לא מפצלים שטחים ולא שמי מינוס לפני האינטגרל.
הערה 2
ניתן לבצע חיסור של הפונקציות עוד לפני ביצוע האינטגרל ובכך לחסוך עבודה.
אם למשל:
f (x) = x² + 3x + 2
g(x) = 2x + 1
אז חישוב האינטגרל יעשה כך (כרגע אני מתעלם מנקודות החיתוך a,b).
x² + 3x + 2 – (2x + 1 ) dx∫
x² + 3x + 2 – 2x – 1 dx∫
x² + x + 1 dx∫
דוגמה 1
בגרף המצורף הפונקציות
g(x) = 0.5x² + 1
f(x) = 1.5x
חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים בין x = -2 ל x = 1.
ראשית עלינו לזהות את הפונקציות ולקבוע איזו פונקציה נמצאת מעל האחרת.
g(x) = 0.5x² + 1 היא פרבולה ולכן היא היא הפונקציה העליונה בשרטוט.
השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:
תשובה : השטח הוא 6.75 יחידות ריבועיות.
שטח שבו אין פונקציה אחת קבועה מעל השנייה
כאשר מחשבים שטח המוגבל בין שני פונקציות אשר פעם אחת פונקציה A גבוהה יותר ופעם אחרת פונקציה B – אז צריך לפצל את השטח לשני שטחים ומחשבים בנפרד את השטחים.
לאחר שחישבנו כל שטח בנפרד מחברים את השטחים.
השטח שבשרטוט, מתקבל על ידי האינטגרל:
דוגמה
בשרטוט הגרפים של הפונקציות:
f(x) = x
g(x) = x³
חשבו את השטח המוגבל בין שתי נקודות החיתוך של הפונקציות (הנקודות A,C).
שלב א: מציאת נקודות החיתוך של הפונקציות
כדי לדעת מה הם התחומים של השטח צריך למצוא את נקודות החיתוך של הפונקציות:
g(x) = f(x)
x³ = x
x³ – x = 0
x(x² – 1) = 0
פתרונות המשוואה הם:
x = 0
או
x² – 1 = 0
x² = 1
x = 1 או x = -1.
חישוב השטחים
בשטח הנמצא מתחת לציר ה x הפונקציה
g(x) = x³
נמצאת מעל
f(x) = x
לכן השטח מתחת לציר ה x מתקבל על ידי האינטגרל:
נציב את המספרים ונקבל:
קבלנו ששטח זה שווה ל 0.25 יחידות ריבועיות.
השטח הנמצא מעל ציר ה x מתקבל על ידי האינטגרל:
לאחר שנציב מספרים נקבל נמצא שגם שטח זה שווה 0.25 יחידות ריבועיות.
תשובה: השטח כולו שווה ל:
0.5 = 0.25 + 0.25
6.שטחים מורכבים
שטחים מורכבים אלו הם שטחים שחלק מיהם מוגבל על ידי פונקציה אחת וציר ה x ואילו חלק שני של השטח מוגבל על ידי פונקציה שנייה וציר ה x.
למשל בשרטוט שלמטה, נסתכל על השטח שמסומן בירוק.
אנו רואים שבין
x = 0 ל x = 2.
השטח נוצר אל יד הפרבולה וציר ה x.
ובין:
x = 2 ל x = 6
ולכן השטח המבוקש ניתן על ידי האינטגרל:
דוגמה
בשרטוט הפונקציות
f(x) = – 2x + 4
g(x) = x + 10
חשבו את השטח המוגבל בין הישרים וציר ה x.
הערה
השטח המבוקש הוא שילוב של שני משולשים לכן ניתן לחשב אותו כסכום השטחים של המשולשים.
אנו עוסקים באינטגרלים לכן קודם כל נראה את הדרך האינטגרלית ולאחר מיכן את הדרך ללא אינטגרל.
שלב א: זיהוי הפונקציות
הפונקציה
f(x) = -2x + 4
היא פונקציה יורדת ולכן זו הפונקציה העוברת בין הנקודות BC.
הפונקציה g(x) = x + 10 היא פונקציה עולה העוברת בין הנקודות AB.
שלב ב: מציאת הנקודות A,B,C.
הנקודה A החיתוך של הפונקציה g(x) = x + 10 עם ציר ה x.
x + 10 = 0
x = -10
(A (-10, 0
הנקודה B היא נקודת המפגש של הפונקציות:
x + 10 = -2x + 4
3x = -6
x = -2
הנקודה C היא נקודת החיתוך של הפונקציה f(x) = -2x + 4 עם ציר ה x.
2x + 4 = 0-
2x = -4-
x = 2
שלב ג: חישוב האינטגרל
השטח השמאלי מתקבל על ידי האינטגרל:
השטח הוא 32 יחידות ריבועיות.
השטח הימני מתקבל על ידי האינטגרל:
השטח הוא 16 יחידות ריבועיות.
תשובה: השטח כולו הוא:
48 = 32 + 16
דרך שנייה לפתרון: בעזרת שטח משולש
נשים לב שהשטח מורכב משני משולשים, נחשב את שטחם.
על מנת לחשב את גובה המשולשים עלינו לדעת את ערך ה y של הנקודה B.
בדרך הקודמת מצאנו כי בנקודה B מתקיים x = -2.
נציב במשוואת אחד הישרים ונמצא את y.
g(x) = x + 10
8 = 10 + 2-
שטח המשולש השמאלי הוא:
S1 = 0.5 * 8 * 8 = 32
שטח המשולש הימני הוא:
S2 = 0.5 * 8 * 4 = 16.
השטח כולו הוא:
48 = 16 + 32
האם זה נכון לומר שבעצם אני יכול להשוות את שתי המשוואות ואז לעשות העברת אגפים ואח”כ לעשות את האינטגרל?
שלום
אלו משוואות? יש דוגמה למעלה?