משולש שווה צלעות

בדף זה נלמד על משולש שווה צלעות.

עיקר הדף מיועד לתלמידי בית ספר יסודי ובנוסף יש חלק קצר לפסיכומטרי.

חלקי הדף הם:

1. סרטון הסבר.
2. תכונות משולש שווה צלעות.
3. לפסיכומטרי.
4. תרגילים.

1.סרטון הסבר

2.תכונות משולש שווה צלעות

1. כל הצלעות שוות.
2. כל הזוויות שוות ל 60 מעלות.
3. התיכונים / גבהים / חוצה זווית היוצאים מכל אחד מהקודקודים מתלכדים אחד עם השני.
   כלומר כל גובה במשולש הוא גם תיכון וחוצה זווית.

על מנת להוכיח שמשולש הוא שווה צלעות ניתן להוכיח ש:

1. כל הצלעות במשולש שוות.
2. כל הזוויות במשולש שוות.

אם תוכיחו שאחד מהדברים הללו נכון הוכחתם שהמשולש שווה צלעות.

3.משולש שווה צלעות לפסיכומטרי

למשולש שווה צלעות שתי תכונות פסיכומטריות מיוחדות.

1.ניתן לחשב את שטחו גם בלי לדעת את הגובה במשולש. הנוסחה היא:
S = (√3 * a² ) / 4
(כאשר a הוא אורך הצלע במשולש).

שאלה לדוגמה: אורכה של צלע במשולש שווה צלעות הוא 6 ס”מ. מה שטח המשולש?
פתרון
S = √3 * 6² / 4= 1.73*36 / 4 = 15.59

שימו לב שתלמידי בית ספר לא יכולים להשתמש בנוסחה זו במבחנים מבלי שהוכיחו אותה.

2. כאשר מעבירים בתוך המשולש גובה/ חוצה זווית / תיכון אז נוצרים בתוך המשולש שני משולשי זהב – משולש שבו הזוויות הן 30,60,90 והוא בעל תכונה מיוחדת של האומרת כי אורך הצלע שמול הזווית שגודלה 30 מעלות שווה למחצית היתר (משולש זהב, פירוט בקישור).

4.תרגילים

3 תרגילים לבית הספר היסודי.
1 תרגיל לפסיכומטרי.

התרגילים מיועדים למנויים באתר.

• מנויים לקורס יכולים להדפיס את התרגילים כדף עבודה בקישור.

תרגיל 1: חישוב שטח משולש

במשולש שווה צלעות ΔABC הורידו חוצה זווית AD=√27 ס”מ.
כמו כן CD=3.
חשבו את שטח המשולש.

 

פתרון
אם AD הוא חוצה זווית במשולש שווה צלעות אז הוא גם תיכון וגובה.
לכן
BC=2DC=6
AD הוא הגובה לצלע BC ושווה ל 27√ ס”מ.
שטח המשולש הוא:
2 : (6 * 27√)
15.588 = 31.18:2.
תשובה: שטח המשולש הוא 15.588 סמ”ר.

תרגיל 2: הוכיחו שמשולש הוא שווה שוקיים

במשולש שווה צלעות העבירו את הגבהים BD ו CE שנפגשים בנקודה O.
הוכיחו כי משולש ΔBOC הוא משולש שווה שוקיים.
מצאו את גודלה של הזווית EOB∠

פתרון
זווית B∠  ו C∠ שוות ל 60 מעלות.
BD ו CE הם חוצה זווית. לכן
DBC=30∠
ECB=30∠
במשולש ΔBOC יש שתי זוויות שוות ומול זוויות שוות במשולש יש צלעות שוות לכן המשולש שווה שוקיים.

נמצא את גודלה של זווית  EOB∠
BOC=120∠  – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔBOC.
EOB=60∠ – זווית צמודה לזוויות BOC∠ ומשלימה אותה ל 180 מעלות.

תרגיל 3: מה ההבדל בין משולש שווה שוקיים למשולש שווה צלעות
תלמיד אמר: משולש שווה שוקיים ומשולש שווה צלעות דומים בכך שבשניהם הגובה הוא גם חוצה זווית ותיכון.
האם התלמיד צודק?

תשובה
במשולש שווה צלעות כל שלושת הגבהים הם גם תיכונים וחוצה זווית.
אבל במשולש שווה שוקיים רק הגובה היורד לבסיס הוא תיכון וחוצה זווית. הגבהים המגיעים אל השוקיים אינם חוצי זווית או תיכונים.
זה ההבדל בין המשולשים.

תרגיל 4
אורך הצלע במשולש שווה צלעות היא x.
הביעו באמצעות x את אורך הגובה במשולש.

פתרון
נעביר במשולש את הגובה AD.

BD = 0.5x  כי במשולש שווה צלעות הגובה הוא גם תיכון.
על פי משפט פיתגורס במשולש ABD נוכל לכתוב:
AD² = AB² – BD²
AD² = x² – (0.5x)²
AD² = x² – 0.25x = 0.75x²
AD = √0.75 * x

נהוג לרשום את הביטוי הזה באמצעות 3√ בצורה הזו:

עוד באתר:

• משולש שווה שוקיים.
• משולש ישר זווית.
• שטח משולש.
• מרובעים – מידע על מקבילית, מלבן, טרפז, דלתון וכו.