שטח פנים של תיבה

לדף זה 3 חלקים:

  1. נוסחת ודוגמאות לחישוב שטח פנים של תיבה.
  2. תרגילים בסיסיים (תרגילים 1-3).
  3. תרגילים קשים יותר (תרגילים 4-6).

1.הנוסחה ודוגמאות לחישוב שטח פנים של תיבה

ההסבר לנוסחה מופיע מיד לאחר מיכן.

לדוגמה:

הסבר כיצד לחשב שטח פנים של תיבה

כפי שאתם יכולים לראות בשרטוטים הבאים תיבה מורכבת מ 3 זוגות של מלבנים, שהם פאות התיבה.

שטח הפנים של התיבה הוא סכום השטחים של 6 המלבנים הללו.
ניתן לכתוב אותו בשורה אחת כ:
(S = 2(a * b) + 2(a * h) + 2(b * h

דוגמה 1: חישוב שטח פנים כאשר יש שרטוט
אורך תיבה הוא  ס"מ 10. רוחב תיבה הוא 5 ס"מ והגובה 4 ס"מ.
חשבו את שטח הפנים של התיבה.
חשבו את נפח התיבה.

שטח פנים של תיבה

פתרון
שלב א: נבנה את הגדלים של 3 המלבנים ונחשב את השטח שלהםנחשב את השטח של ששת המלבנים.

10,5 זה הגודל של שני המלבנים שנמצאים למעלה ולמטה.
שטחם:
(S = 2(10 * 5
S = 2*50 = 100

10,4 זה גודלם של שני המלבנים מלפנים ומאחור.
שטחם:
(S = 2(10*4
S = 2 * 40 = 80

5.4 זה גודלם של שני המלבנים בצדדים.
שטחם:
(S = 2(5*4
S = 2 * 20 = 40

עכשיו נחשב את השטח של ששת המלבנים:
S = 100 + 80 + 40 = 220
תשובה: שטח הפנים של התיבה הוא 220 סמ"ר.

דרך אחרת לחישוב שטח הפנים היא להציב את שלושת המספרים ישירות בנוסחה:
(S = (a*b +a*h +b*h
(S = 2 * (5*4 + 5*10 + 4*10
(S = 2 * (20 + 50 + 40
S = 2*110 = 220

סעיף ב: חישוב נפח
נפח התיבה מתקבל על ידי הכפלת 3 הגדלים:
200 = 4 * 5* 10
תשובה: הנפח 200 סמ"ק.

דוגמה 2: חישוב שטח פנים ללא שרטוט
אורך תיבה הוא 4, רוחב תיבה 7, וגובה התיבה 5.
חשבו את את שטח הפנים של התיבה.

פתרון
עלינו למצוא את אורכי הצלעות של 6 המלבנים המרכיבים את התיבה.
על מנת לבנות את שלושת המלבנים משלושת המספרים הללו נתחיל במספר הראשון 4.
4 יכול להיות מחובר לשני מספרים על מנת ליצור מלבן:
4,7
4,5

נעבור למספר השני 7.
הוא יכול להיות מחובר לעוד מספר אחד על מנת ליצור מלבן
7,5

שלושת מלבני התיבה הם:
4,7
4,5
7,5

כל מלבן נמצא פעמיים בתיבה.
לכן עבור שני המלבנים שצלעותיהם  4,7 השטח הוא:
(S = 2(4 * 7
S = 2 * 28 = 56

עבור שני המלבנים שצלעותיהם  4,5 השטח הוא:
(S = 2(4 * 5
S = 2 * 20 = 40

עבור שני המלבנים שצלעותיהם  7,5 השטח הוא:
(S = 2(7 * 5
S = 2 * 35 = 70

השטח של ששת המלבנים הוא:
S = 56 + 40 + 70 = 166
תשובה: שטח הפנים של התיבה הוא 166 סמ"ר.

דוגמה 3: זיהו המלבנים המרכיבים את התיבה
שלושת המספרים הבאים מיצגים גדלים של תיבה.
עבור כל אחת מהשלשות הבאות קבעו אלו מלבנים יש בתיבה.

  • 10,2,6
  • 7,4,8
  • 6,6,9

פתרון
עבור 10,2,6 המלבנים הם:
2,6   10,6   10,2

עבור 7,4,8 המלבנים הם:
4,8   7,8   7,4

עבור  6,6,9 המלבנים הם:
6,9   6,9   6,6

5 סוגי שאלות בנושא של שטח פנים של תיבה

את 4 הסוגים הראשונים כולם צריכים לדעת.
סוג 5 הוא הרחבה לא הכרחית.
הסרטון שלמעלה הוא הסבר מפורט לכל אחד מהסוגים.
לכל אחד מהסוגים יש גם הסבר וידאו מפורט יותר הנמצא למטה (+ הסבר כתוב).

1.חישוב בסיסי
חשבו את שטח הפנים והנפח של תיבה שאורך המקצועות שלה הוא 3,5,2.

חישוב שטח פנים
על מנת לחשב שטח פנים עלינו למצוא את הגדלים של שלושת המלבנים.
אלו הם הגדלים של המלבנים:
5,2   3,2   3,5
ושטח הפנים הוא:
(S = 2(3*5) + 2(3*2) + 2(5*2
S = 2*15 + 2*6 + 2*10
S = 30 + 12 + 20
S = 62

פתרון
חישוב נפח
נפח הוא מכפלת המקצועות:
v = 3 * 5 * 2 = 30
30 סמ"ק.

2.חישוב שטח פנים כאשר פריסת התיבה ידועה


כאשר יש לנו פריסה של תיבה:

  1. נאתר את שלושת ממדי התיבה.
  2. נבנה את שלושת מלבני התיבה ונחשב את שטחם.

חשבו את שטח הפנים של התיבה שהפריסה שלה היא זו:

והפריסה שלה

פתרון
ניתן לראות שהממדים של תיבה זו הם 2,3,4.
לכן מלבני התיבה הם:
3,4   2,4   2,3
ושטח של התיבה הוא:
(S = 2(2*3) + 2(2*4) + 2(3*4
S = 2*6 + 2*8 + 2*12
S = 12 + 16 + 24
S = 52
תשובה: שטח התיבה 52 סמ"ר.

דוגמה 2: פריסה של תיבה ריבועית
כאשר נקבל פריסה של תיבה ריבועית יכול להיות קשה יותר לדעת את 3 הממדים של התיבה, כי הם מורכבים משני מספרים בלבד.

במקרה זה עלינו לאתר את המלבן שמורכב משני מספרים זהים (למעשה ריבוע) והא נותן לנו 2 מתוך שלושת ממדי התיבה.

פתרון
אנו רואים שאחד מפאות התיבה היא ריבוע שגודלו 6*6.
לכן שלושת ממדי התיבה הם:
6,6,3

שלושת המלבנים הם:
6,6
6,3
6,3

ושטח הפנים של התיבה מתקבל על ידי החישוב:
S1 = 2(6*6) = 72
S2 = 2(6*3) = 36
S3 = 2(6*3) = 36
שטח הפנים הוא:
S = 72 + 36+ 36 = 144
144 סמ"ר.

3.תיבה נוגעת בתיבה


כאשר חלק מתיבה מכסה חלק של תיבה אחרת נפעל על פי השלבים הבאים:

  1. נחשב את שטחי הפנים של כל אחת מהתיבות בנפרד.
  2. נחסר מהשטח שקיבלנו את פעמיים השטח המכוסה.

מדוע מחסרים את פעמיים השטח המכוסה?
כי יש שטח מכוסה פעם אחת על כל תיבה. לכן יש בעצם שני שטחים מכוסה.

דוגמה 1
חשבו את שטח הפנים של הגוף המשותף על פי הנתונים שבשרטוט.

פתרון
בדוגמה זו עלינו לחסר את שטח המלבן שגודל הצלעות שלו הוא 3,1 סנטימטר פעמיים מהשטח הפנים של של שתי התיבות ביחד.
כלומר עלינו לחסר:
S = 2( 3  *1) = 6
משטח הפנים של שתי התיבות ביחד.

שטח הפנים של התיבה הגדולה הוא
(S = 2(6 * 3) + 2(6 * 8) + 2(3*8
S = 2 * 18 + 2*48 + 2*24 = 180

שטח הפנים של התיבה הקטנה הוא
(S = 2(3 * 1) + 2(3 * 5) + 2(1*5
S = 2 * 3 + 2*15 + 2*5 = 46

סכום השטחים הוא:
S = 180 + 46 = 226
נחסר משטח זה את פעמיים השטח המשותף ונקבל:
220 = 6 – 226
תשובה: שטח הפנים של הגוף המשותף הוא 220 סמ"ר.

דוגמה 2
חשבו את שטח הפנים של הגוף המשותף על פי הנתונים שבשרטוט

פתרון
הממדים של שתי התיבות הן:
תיבה משמאל:
10,6,4
תיבה מימין:
3,6,4

דרך ראשונה
ניתן לחשב את שטח הפנים של כל אחת מהתיבות.
ואז לחסר את פעמיים הפאה המכוסה.
צריך לחסר:
S = 2(6 * 4) = 48

דרך שנייה וקצרה יותר
ניתן להסתכל על הצורה כאילו יש תיבה אחת שהממדים שלה הם:
13,4,6
שטח הפנים של תיבה זו הוא:
(S = 2(13 * 4) + 2(13 * 6) + 2(4*6
S = 2 * 52 + 2*78 + 2*24 = 308
תשובה: 308 סמ"ר.

4.תרגיל הפוך: נתון שטח הפנים חסר אחד ממקצועות התיבה

 

בנוסחת שטח הפנים של התיבה יש 4 רכיבים: שלושת מקצועות התיבה ושטח הפנים של התיבה.
(S = 2(a*b) + 2(a*h) + 2(b * h

אם נדע 3 מתוך ארבעת הדברים נוכל להציב את הדברים בנוסחת שטח פנים של תיבה ולמצוא את הגודל הרביעי שיהיה המשתנה במשווה.
וזה לא משנה איזו שלושה גדלים אנו יודעים, אם יודעים שלושה ניתן להשלים את הרביעי.

דוגמה
שטח פנים של תיבה 158 סמ"ר.
אורך התיבה הוא 8 סנטימטר ורוחב התיבה הוא 5 סנטימטר.
חשבו את גובה התיבה.

פתרון
נניח שגובה התיבה הוא x.
אם כך אורכי צלעות שלושת המלבנים בתיבה יהיו:
8,5
x,8
x,5

נחשב את השטח של ששת המלבנים.

השטח של שני המלבנים שצלעותיהם הן 5,8 הוא:
(S = 2(5*8
S = 2 * 40 = 80
80 סמ"ר.

השטח של שני המלבנים שצלעותיהם הן x,8 הוא:
(S = 2(8 * x
S = 2 * 8x = 16x
16x סמ"ר.

השטח של שני המלבנים שצלעותיהם הן x,5 הוא:
(S = 2(5 * x
S = 2 * 5x = 10x
10x סמ"ר.

כל השטחים ביחד שווים ל 158 סמ"ר.
לכן המשוואה היא:
16x + 10x + 80 = 158
26x + 80 = 158
26x = 78  / :26
x = 3
תשובה: גובה התיבה הוא 3 סנטימטר.

5.הגדלה של מקצועות התיבה


חלק זה הוא העשרה ומיועד לתלמידים טובים.
זה לא חלק הכרחי.
בחלק זה נתייחס לשינוי בנפח התיבה ובשטח הפנים של התיבה.

שינוי בשטח הפנים

על מנת להבין כיצד משתנה שטח פנים של תיבה כאשר משנים את אורך מקצועותיו עליכם להבין שני דברים:

1.כאשר מגדילים את שתי צלעות מלבן פי 3 שטח המלבן גדל פי 9
שטח הפנים של תיבה מורכב מהשטחים של 6 מלבנים.
לכן שטח הפנים של תיבה מתנהג כמו שטח מלבן.

בדף שטח מלבן למדנו שאם מגדילים את את שתי צלעות המלבן פי 3 אז שטח המלבן גדל פי 9.
כלומר:
הצלעות המקוריות הן
a,b
ושטח המלבן המקורי הוא:
S = ab

ולאחר הגדלה של כל צלע פי 3 הצלעות הן:
3a,3b
ושטח המלבן הוא:
S = 3a * 3b = 9ab

כמובן שעל פי אותו עיקרון ניתן להגיד:
אם מגדילים את שתי צלעות המלבן פי 2 שטח המלבן יגדל פי 4.
אם מגדילים את שתי צלעות המלבן פי 4 שטח המלבן יגדל פי 16.
וכן הלאה.

2.על מנת שנוכל להגיד משהו על שטח הפנים צריכים להגדיל את כל המקצועות באותו מידה
לתיבה יש 3 מקצועות, אם נשנה את הגודל של חלק מהמקצועות רק חלק מהמלבנים יגדלו, וחלק אחר לא יגדלו או לא יגדלו באותה מידה.

לכן על מנת שנקבל שינוי מדויק בשטח הפנים של התיבה עלינו להגדיל את כל שלושת מקצועות התיבה פי אותה מידה.

אם נגדיל רק חלק ממקצועות התיבה אז לא נוכל להגיד משהו מדויק על שטח הפנים.
אם נגדיל חלק מהמקצועות פי מספר מסוים וחלק מהמקצועות פי מספר אחר אז לא נוכל להגיד משהוא מדויק על שטח הפנים.

לסיכום
אם נגדיל את כל מקצועות התיבה פי 2 אז שטח הפנים יגדל פי 4.
אם נגדיל את את כל מקצועות התיבה פי 8 אז שטח הפנים של התיבה יגדל פי 64.

אם נגדיל רק מקצוע אחד של התיבה או רק שתי מקצועות אז לא ניתן להגיד דבר מדויק על שטח הפנים.
גם אם נגדיל את מקצועות התיבה לא באותה מידה אז לא ניתן להגיד דבר מדויק על שטח הפנים.

הגדלה של מקצוע אחד (במקרה זה הגובה) משנה גדלים של 4 מקצועות אבל משיארה שתי פיאות ללא הגדלה. לכן לא ניתן לקבוע פי כמה שטח הפנים גדל.

נפח

1.אם מכפילים את כל צלעות התיבה פי 2 כיצד משתנה נפח התיבה?
כאשר צלעות התיבה הן:
a,b,h
נפח התיבה הוא:
V = a*b*h
כאשר צלעות התיבה גדלות פי 2:
2a,  2b,  2h
נפל התיבה הוא:
V = 2a * 2b * 2h
V = 8abh

נפח התיבה גדל פי 8.

2.אם מכפילים פי 2 רק מקצוע אחד של התיבה כיצד משתנה נפח ושטח הפנים של התיבה?
נפח
אם מקצוע אחד הוא 2a (במקום a) אז הנפח הוא:
V  = 2a * b * h
V = 2abh
כלומר הנפח גדל פי 2.

6.תרגיל "הפוך" נוסף: הנפתר בדרך אחרת


תרגיל
בתיבה ריבועית שטח הפנים של התיבה הוא 170 סמ"ר.
שטח בסיס התיבה הוא 25 סמ"ר.
חשבו את אורך, רוחב וגובה התיבה.

פתרון
שלב א: חישוב צלעות הבסיס
שטח בסיס התיבה הוא ריבוע ששטחו 25 סמ"ר.
נגדיר:
x אורך צלע הריבוע (שהיא אורך ורוחב התיבה)
ואז על פי נוסחת שטח ריבוע נוכל לבנות את המשוואה:
x * x = 25
x = 5
הבסיס הוא ריבוע שצלעו 5 סנטימטר.

שלב ב: חישוב הגובה
שטח שני הבסיסים שלמעלה ולמטה הוא:
50 = 25 * 2

לכן השטח של 4 הפאות שנמצאות מסביב הוא:
120 = 50 – 170

4 המלבנים הנמצאים מסביב הם מלבנים זהים.
כי בארבעתם הצלעות הן גובה התיבה ובסיס הריבוע של התיבה.
לכן נגדיר:
y שטח של פאה צדדית אחת בסמ"ר.

4 פאות צדדיות שוות ל 120 סמ"ר.
לכן המשוואה היא:
4y = 120  / : 4
y = 30.

שטח הפאה הצדדית הוא 30 סמ"ר.
צלע אחת של הפאה היא צלע הבסיס, 5 סנטימטר.
לכן הצלע השנייה צריכה להיות 6, כי:
30 = 6 * 5

תשובה: אורך ורוחב התיבה הם 5 סנטימטר. גובה התיבה 6 סנטימטר.

3.תרגילים

תרגילים 1-3 הם תרגילים בסיסיים שכולם צריכים לדעת. הם עוסקים בנוסחה לחישוב שטח פנים של תיבה. עם / בלי שרטוט. עם / בלי חישוב נפח תיבה.
תרגילים 4-5 הם בנושא חישוב שטחי פנים של תיבות צמודות אחת לשנייה.
תרגיל 6 הוא שאלת הבנה קשה יחסית (קשה לתלמידים עד כיתה ז).

לתרגילים 1,3,5 יש פתרונות וידאו המופיעים מיד לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1: חישוב שטח פנים ללא שרטוט התיבה
אורך תיבה הוא 5 ס"מ. רוחב תיבה הוא 3 ס"מ והגובה 2 ס"מ.
חשבו את שטח הפנים של התיבה.
חשבו את נפח התיבה.

פתרון
הגדלים שלנו הם 2,3,5.
והם יוצרים מלבנים בגדלים:
2,3  >>   6=2*3.
2,5 >>  10 = 2*5
3,5 >>  15= 5*3
סכום שטחי המלבנים הוא:
31 = 6+10+15

שטח הפנים של התיבה כולל 6 מלבנים, לכן נכפיל פי 2.
62 = 2*31.
תשובה: שטח הפנים של התיבה הוא 62 סמ"ר.

חלק שני: נפח תיבה
נפח התיבה מתקבל על ידי הכפלת שלושת הגדלים:
30 = 2*3*5
תשובה: נפח התיבה 30 סמ"ק.

תרגיל 2: שטח פנים עם שרטוט התיבה
אורך תיבה הוא 5 ס"מ, רוחבה הוא 2 ס"מ וגובהה הוא 4 ס"מ.
חשבו את שטח הפנים של התיבה.
חשבו את נפח התיבה.

שרטוט התרגיל

פתרון
המלבנים הם:
4,2
4,5
2,5
שטח הפנים הוא:
(4*2 +4*5 + 2*5) * 2
(10+20+8) * 2
76 = 38 * 2
תשובה: שטח הפנים של התיבה הוא 76 סמ"ר.

נפח התיבה:
40 = 2*4*5
תשובה: נפח התיבה הוא 40 סמ"ק.

תרגיל 3: שטח פנים ופריסה של תיבה
עבור התיבה שאורך המקצועות בגודל 5,2,4 ס"מ שרטטו את פריסת התיבה.
(יש מספר תשובות נכונות לשאלה זו, אם אתם רוצים שהתשובה שלכם תהיה כמו בפתרון בחרו בבסיס התיבה כזה שיופיע בצדדים).

פתרון
נבחר בבסיס התיבה כזה שיופיע בצדדי הפריסה (צלעות הבסיס 2,5 ס"מ).
נחבר את הבסיס למלבן שאורכי צלעותיו 5,4 ס"מ.

כך נראית הפריסה של התיבה
כך נראית הפריסה של התיבה

תרגילים קשים יותר

תרגיל 4: תיבה מכסה תיבה
נתונה תיבה שאורך המקצועות שלה הוא 8, 6, 3. ותיבה קטנה יותר שאורך המקצועות שלה הוא 3,1,5.

  1. חשבו את שטח הפנים של כל אחת מהתיבות.
  2. חשבו את שטח הפנים של הגוף שנוצר משתי התיבות.

תרגיל: חישוב שטח פנים של שתי תיבות

פתרון

נחשב את שטח הפנים של התיבה הגדולה:
(6*3+3*6+8*8)2
180 = 90 * 2
שטח הפנים של התיבה הגדולה הוא 180 סמ"ר.

שטח הפנים של התיבה הקטנה:
(1*3 +1*5 + 3*5) 2
46 = 23 *2
שטח הפנים של התיבה הקטנה הוא 46 סמ"ר.

חלק שני: שטח הפנים של הגוף המשותף
שטח הפנים של הגוף המשותף הוא לא סכום שטחי הפנים של שני הגופים משום שהפאה התחתונה של התיבה הקטנה היא לא חלק משטח הפנים והיא גם חוסמת חלק משטח הפנים של התיבה הגדולה.

גודל המלבן הוא המכוסה הוא:
3 = 1*3
יש להחסיר פעמיים את שוח מלבן זה.
6 = 3 * 2
כי גם התיבה הקטנה מפסידה מלבן וגם התיבה הגדולה.

220 = 6- 46 + 180
תשובה: שטח הפנים של הגוף המשותף הוא 220 סמ"ר.

תרגיל 5: תיבות צמודות
הממדים של של תיבה הם 2,3,5 מטר.
מארבעה תיבות בגודל זהה בנו את הגוף שבשרטוט. חשבו את שטח הפנים והנפח של הגוף שנוצר.

שרטוט התרגיל
המספרים 1-4 שבשרטוט אלו הם התיבות השונות

פתרון

חישוב נפח.
הנפח אינו קטן או גדל כתוצאה מחיבור מספר תיבות יחד.
נפח של תיבה אחת הוא:
30 = 3 *2* 5
נפח של 4 תיבות:
120 = 30 * 4
תשובה: 120 מ"ק.

חישוב שטח פנים
נחשב את שטח הפנים של התיבות כאילו אינן צמודות ולאחר מיכן נחסר את השטח הצמוד.
שטחי המלבנים הוא:
10 = 5*2
15 = 5 * 3
6 = 3*2
סכום השטחים: 31 = 10+15+6
כל מלבן מופיע בתיבה פעמיים ולכן שטח הפנים של התיבה הוא:
62 = 31 *2
שטח פנים של 4 תיבות לא צמודות הוא:
248 = 62 * 4
248 מ"ר.

נחסר את השטחים שתיבה אחת מכסה על אחרת:
בין תיבה 1 ו 2 מכוסים שני מלבנים שצלעותיהם 2,5 מטר.
גם בין תיבות 2 ו 3 מכוסים שני מלבנים שצלעותיהם 2,5 מטר.
סך הכל 4 מלבנים של 2,5 מכוסים
40 = (2*5) * 4

בין תיבות 3 ו 4 מכוסים שני מלבנים שצלעותיהם 3,5 מטר.
30 = (3 * 5) *2
סך הכל שטח פנים "שהולך לאיבוד" בגלל שתיבה מכסה על אחרת:
70 = 40 + 30

שטח הפנים של הגוף המורכב מארבעת התיבות:
178 = 248-70
תשובה: 178 מ"ר.

תרגיל 6: שאלה קשה מהרגיל
אם מגדילים פי 2 את אורך, רוחב וגובה התיבה. האם גם שטח הפנים של התיבה יגדל פי 2?

פתרון
לא. שטח הפנים יגדל פי 4.
שטח הפנים של התיבה הוא סכום שטחים של מלבנים ולכן מתנהג כמו שטח מלבן.
נניח ויש לנו מלבן שגודל צלעותיו הוא 2,3.
שטחו הוא 6 = 2*3.
וכאשר נגדיל כל אחת מהצלעות פי 2:
השטח החדש הוא 24 = 4*6.
שטח המלבן גדל מ 6 ל 24 שזה פי 4.
באותה צורה יגדל שטח הפנים של התיבה.

הערה: חלק ממכם אולי חושבים עכשיו שאם נגדיל רק את אחד מצלעות התיבה פי 2 אז שטח הפנים של התיבה יגדל פי 2 – אבל גם זה לא נכון.
הסיבה היא שכאשר מגדילים את אחת מצלעות התיבה אנו מגדילים פי 2 רק שניים מתוך שלושת זוגות המלבנים שיש בתיבה. לכן שטח הפנים של התיבה יגדל במקרה זה בפחות מפי 2.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

12 מחשבות על “שטח פנים של תיבה”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את הדף הזה שדרגתי לאחרונה.
      אם משהו לא מובן בדף אתה צריך לשאול באופן מדויק על החלק בפתרון השאלה או ההסבר שלא ברור.
      מאמירה כללית כמו שכתבת אני לא יכול לשפר.
      וזה משהו שאפשר לקחת לעתיד: אם אתה רוצה שמישהו ישפר משהו, אז נסה להיות איתו מדויק.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.