בדף זה נסביר את ההרחבה השנייה של משפט תאלס – משפט תאלס בשעון החול.
סרטון הסבר
מצורפים שני סרטונים קצרים.
הסרטון הראשון מסביר את ההרחבה.
הסרטון השני נותן טיפ קצר כיצד ניתן לזכור את השוויונות הנובעים מההרחבה.
הסבר כתוב
אם AD ΙΙ BC/
ומעבירים שני חותכים בניהם כך:
אז על פי ההרחבה השנייה של משפט תאלס ניתן לקבוע את השוויונות הבאים:
שימו לב שאם היינו שוכחים שההרחבה של משפט תאלס קיימת אז היינו יכולים להגיע לבדיוק אותם שוויונות בעזרת הוכחת דמיון המשולשים:
AOD ∼ COD
מה שההרחבה של משפט תאלס עושה זה “לקצר תהליכים” ולאפשר לנו להגיע למשוואה בלי להוכיח את דמיון המשולשים.
דוגמה לתרגיל
נתון כי AD | | BC.
כמו כן:
BO = 9, CO = 8, BC = 9
AO = 4
- מצאו את BD.
- מצאו את AD.
מציאת BD
על מנת למצוא את BD נמצא את OD.
על פי ההרחבה השנייה:
8OD = 4 *9 =36 / : 8
OD = 4.5
BD = 9 + 4.5 = 13.5
סעיף ב: מציאת AD
על פי ההרחבה השנייה של משפט תאלס:
8AD = 9 * 4 = 36 / : 8
AD = 4.5
מצבים נפוצים בהם יש את ההרחבה השנייה
דוגמה 1
כאשר בטרפז מעבירים שני אלכסונים נוצר מבנה של ההרחבה השנייה.
ברוב המקרים מדובר על שני אלכסונים.
אבל גם אם מעבירים סתם שני חותכים בין בסיסי הטרפז אז נוצר מבנה המתאים למשפט תאלס בשעון החול.
דוגמה 2
כאשר לוקחים “שעון חול רגיל”.
ומוסיפים לו עוד ישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים אז נוצרים 3 שעוני חול עם אפשרות ליצור להם משוואה משותפת.
אני אראה את זה על טרפז, אבל זה נכון לכל “שעון חול”.
בטרפז ABCD מעבירים את האלכסונים AC, BD הנפגשים בנקודה O.
דרך הנקודה O מעבירים את החותך EF.
נשים לב שיש לנו כאן 3 זוגות של ישרים כאשר בכל זוג ניתן להשתמש בהרחבה השנייה (שעון החול).
נעבור על כל זוג בנפרד על מנת שיהיו ברורים:
שעון החול הנוצר על ידי האלכסונים AC, BD.
שעון החול הנוצר על ידי AC, EF.
שעון החול הנוצר על ידי BD, EF.
ונשים לב כי ניתן ליצור קשר במשוואות בין משפטי תאלס השונים.
למשל היחס:
נמצא בשני משפטי תאלס ולכן ניתן ליצור משוואה כזו:
דוגמה 3
כאשר משורטט צורה מסוימת הכוללת ישרים מקבילים כמו מקבילית או מלבן.
ואז מוסיפים את בניות העזר הבאות.
(הארכת צלע וחיבורה לקודקוד נגדי).
אז נוצר משפט תאלס בשעון החול עבור המשולשים המסומנים.
עבור טרפז ובניות עזר זה תראה כך:
הערה
אמרנו שכאשר מעבירים אלכסונים בטרפז נוצר “שעון חול”.
אבל האם כאשר מעבירים אלכסונים במקבילית נוצר גם כן “שעון חול”?
תשובה
בעיקרון כן, נוצר כאן שעון חול אבל לא נוהגים להשתמש בו כי מכוון שבמקבילית AD = BC נוצרת כאן חפיפת משולשים בין המשולשים
AOD ≅ COB
החפיפה מאפשרת להגיע למסקנות יותר מדויקות לגבי צלעות המשולשים ולכן נהוג כאן לחפוף את המשולשים ולא להשתמש בהרחבה השנייה של משפט תאלס.
עוד באתר: