בדף משפט תאלס למדנו את המשפט והרחבותיו.
בדף זה נתמקד בשילוב של משפט תאלס וטרפז.
ננסה לעבור על כמה דרכי חשיבה ומקרים נפוצים.
המצב הבסיסי ביותר הוא שכאשר אנו מעבירים שני אלכסונים בטרפז אנו מקבלים את ההרחבה השנייה “שעון החול” ויכולים להשתמש במשפט תאלס.
למשל על סמך הנתונים הבאים ניתן לחשב את AD.
7AD = 16
AD = 2.29
מקרה נוסף
מקרה נפוץ נוסף הוא כאשר בתוך הטרפז עובר ישר מקביל נוסף (EF) וגם ישר החותך את הישר הזה (AG).
בצורה הזו יש לנו את משפט תאלס במשולש ABG וכאשר מוסיפים את הנתונים המתאימים ניתן לבצע חישוב.
שימו לב
שבהרבה תרגילים הישר החותך לא יהיה קיים אלא אנו נצטרך להוסיף אותו כבניית עזר.
בדרך כלל מה שיהיה נתון זה ישר מקביל והיחס שהוא יוצר בשוק.
וכדי שאנו נוכל להשתמש בנתון הזה אנו נעביר חותך היוצר משולש יחד עם הצלע AB ואז יחד עם נתונים נוספים ומשפט תאלס נוכל לבצע חישוב.
כך נקבל את השרטוט המקורי, ואז נוסיף חותך שהוא לרוב אלכסון.
הערה
כאשר בטרפז מעבירים את EF כך שהוא מקביל לבסיסים (כמו למעלה).
האם ניתן לקבוע שעל פי משפט תאלס מתקיים השוויון
?
תשובה.
לא.
נזכור כי משפט תאלס מתקיים כאשר יש זוג ישרים מקבילים החוצים שוקי זווית.
ואילו כאן ישרים מקבילים אבל אין זווית – ולכן אין גם את משפט תאלס.
זווית הייתה יכולה להיווצר אם היינו מאריכים את שוקי הטרפז כך:
אבל במקרה זה הגדלים / יחסים של GA, GD לא היו ידועים לנו ובניית עזר זו נדירה יחסית (אבל קיימת).
הוכחה שהשוויון נכון (למרות שהוא לא נובע ישירות ממשפט תאלס).
נתון טרפז ABCD.
מעבירים בטרפז את EF כך ש:
EF | | AD
הוכיחו כי:
כדי להוכיח את השוויון עלינו ליצור את היחסים המופיעים בו.
וכדי לעשות זאת עלינו להעביר בניית עזר את האלכסון AC.
נשים לב שלאחר בניית העזר ניתן ליצור בעזרת משפט תאלס
במשולש ABC את היחס:
ובמשולש CDA את היחס:
שני היחסים הכתובים באדום הם יחסים הכתובים בשאלה המקורית – ועכשיו עלינו לקשר בניהם.
נסכם:
עלינו להוכיח כי:
ומצאנו כי:
נשים לב כי שני היחסים השחורים כוללים את אותם צלעות אבל הם הפוכים במונה ובמכנה.
לכן נהפוך את היחס השני:
ועכשיו היחס:
מופיע בשני הביטויים כחוליה מקשרת ואנו יכולים להשתמש בו כי להוכיח את המבוקש.
דוגמה נוספת לשרטוט עם חולייה מקשרת
בטרפז ABCD מעבירים את האלכסונים AC, BD הנפגשים בנקודה O/
דרך הנקודה O מעבירים את החותך EF.
נשים לב שיש לנו כאן 3 זוגות של ישרים כאשר בכל זוג ניתן להשתמש בהרחבה השנייה (שעון החול).
נעבור על כל זוג בנפרד על מנת שיהיו ברורים:
שעון החול הנוצר על ידי האלכסונים AC, BD.
שעון החול הנוצר על ידי AC, EF.
שעון החול הנוצר על ידי BD, EF.
ונשים לב כי ניתן ליצור קשר במשוואות בין משפטי תאלס השונים.
למשל היחס:
נמצא בשני משפטי תאלס ולכן ניתן ליצור משוואה כזו:
תרגילים
תרגיל 1: טרפז שמעבירים בתוכו אלכסונים
בטרפז ABCD מעבירים אלכסונים BD ו- AC. נקודת מפגש האלכסונים היא O.
נתון: OC = 4AO
AD = 12
חשבו את:
- BC.
- היחס DO:OB.
תרגיל 2: טרפז שמעבירים בתוכו קו מקביל לבסיסים
בטרפז ABCD מעבירים קו מקביל לבסיסים EF ואת AG כך ש: AGCD הוא מקבילית.
נתון כי: הבסיס הגדול (CD) גדול פי 1.25 מהבסיס הקטן (AD).
AE=6, EB=3, EH=2.
חשבו את אורכי הבסיסים.