שטח מעגל סיכום

בדף זה נסכם את סוגי השאלות בנושא שטח עיגול.
הנושאים של השאלות הם:

1. נוסחת שטח עיגול.
2. חישוב שטח עיגול על פי רדיוס
3. חישוב שטח עיגול על פי קוטר.
4. חישוב רדיוס המעגל כאשר ידוע השטח.
5. שטחים של צורות מורכבות.
6. שטח גזרה.

1.נוסחת שטח מעגל

הנוסחה לחישוב שטח מעגל: S=₶r².
ואם יותר נוח לכם לפתור תרגילים ללא חזקות אז אתם יכולים לפתור אותה כך:
S = ₶ * r * r

הנוסחה לחישוב היקף מעגל: P=2₶r.

r – רדיוס המעגל.
₶ – הוא מספר שגודלו 3.14.

2.חישוב פשוט: שטח עיגול על פי הרדיוס

דוגמה 1
חשבו את שטח העיגול שרדיוסו 5 סנטימטר.

פתרון
הנוסחה היא:
S = ₶ * r * r
נציב:
r = 5
3.14 = ₶

S = 3.14 * 5 *5
S = 3.14 * 25 = 78.5
תשובה: שטח המעגל הוא 78.5 סמ”ר.

שימו לב
הדבר היחידי שצריך לדעת על מנת את שטח העיגול הוא הרדיוס.

3.שטח עיגול על פי הקוטר

קוטר הוא מיתר במעגל העובר דרך מרכז המעגל.

קוטר תמיד שווה לשני רדיוסים.
אם הקוטר הוא 6 אז הרדיוס הוא 3.
אם הקוטר הוא 20 אז הרדיוס הוא 10.
אם הקוטר הוא 10 הרדיוס הוא 5.

לכן אם נותנים לנו נתון שהוא קוטר אנו נחלק אותו בשתיים, נמצא את הרדיוס ואז נחשב את השטח כפי שחישבנו קודם.

דוגמה 1
קוטר מעגל שווה ל 8 סנטימטר. חשבו את שטח העיגול.

פתרון
נחלק ב 2 את הקוטר על מנת למצוא את הרדיוס.
r = 8 : 2 = 4

גודל הרדיוס הוא 4 סנטימטר.
נציב בנוסחה:
S = ₶ * r * r
S = 3.14 * 4 * 4
S = 3.14 * 16 = 50.24
תשובה: שטח המעגל הוא 50.24 סמ”ר.

דוגמה 2
קוטר מעגל שווה ל 20 סנטימטר. חשבו את שטח העיגול.

פתרון
נחלק ב 2 את הקוטר על מנת למצוא את הרדיוס.
r = 20 : 2 = 10

גודל הרדיוס הוא 10 סנטימטר.
נציב בנוסחה:
S = ₶ * r * r
S = 3.14 * 10 * 10
S = 3.14 * 100 = 314
תשובה: שטח המעגל הוא 314 סמ”ר.

4.חישוב רדיוס המעגל כאשר ידוע השטח

כאשר נדע את השטח והרדיוס לא יהיה ידוע עדיין נציב את הנותנים בנוסחה:
S = ₶ * r * r
במקרה זה הדבר היחיד שלא נדע במשוואה הוא הרדיוס וכך נוכל למצוא אותו.

דוגמה 1
שטחו של עיגול הוא 28.26.
חשבו את רדיוס העיגול.

פתרון
הנוסחה היא:
S = ₶ * r * r
נציב בנוסחה:
S = 28.26
3.14 = ₶

נחלק את שני צדדי המשוואה ב 3.14

איזה מספר כפול עצמו שווה 9?
3
לכן:
r = 3
תשובה: רדיוס המעגל הוא 3 סנטימטרים.

דוגמה 2
שטחו של עיגול הוא 113.04.
חשבו את רדיוס העיגול.

פתרון
הנוסחה היא:
S = ₶ * r * r
נציב בנוסחה:
S = 113.04
3.14 = ₶

נחלק את שני צדדי המשוואה ב 3.14

איזה מספר כפול עצמו שווה 36?
6
לכן:
r = 6
תשובה: רדיוס המעגל הוא 6 סנטימטרים.

5.שטחים של צורות מורכבות

המפתח לפתרון שאלות של שטחים או היקפים מורכבים הוא למצוא את הקשר בין הצורות.
בחלק זה ניתן מספר דוגמאות למציאת הקשר.

תרגיל 1
על מלבן שאורך צלעותיו 4,10 סנטימטר בנו חצי עיגול.
חשבו את שטח הצורה שנוצרה ואת היקף הצורה שנוצר.

פתרון
המפתח:
להבין שקוטר המעגל הוא אורך הצלע הגדולה של המלבן.
לכן רדיוס העיגול הוא:
r = 10 : 2 = 5

שטח הצורה שנוצרה היא סכום השטחים:
S =  ₶ * r * r + 4*10
S = 3.14*5*5 + 4*10 = 118.5
תשובה: שטח הצורה הוא 118.5 סמ”ר.

היקף הצורה
היקף הצורה הוא 3 צלעות מלבן + חצי היקף עיגול.

היקף הצורה הוא 33.7 סנטימטר.

תרגיל 2
בתוך מעגל שרדיוסו 10 סנטימטר נמצא מעגל שרדיוסו 6 סנטימטר.
חשבו את השטח האפור.

פתרון
השטח האפור שווה לשטח המעגל הגדול פחות שטח המעגל הקטן.
S = 3.14 * 10² – 3.14 * 6²
S = 314 – 113.04 = 200.96
תשובה: גודל השטח הצבוע באפור הוא 200.96 סמ”ר.

תרגיל 3
בתוך ריבוע שצלעו 8 סנטימטר חסומים 4 עיגולים.
חשבו את השטח הצבוע באפור.

פתרון
המפתח
המפתח הוא לראות שאורך צלע הריבוע שווה ל 4r.
לכן:
4r = 8
r = 2

השטח המבוקש
השטח המבוקש הוא שטח הריבוע פחות השטח של 4 הריבועים.
שטח ריבוע הוא מכפלת צלע הריבוע בעצמה.
S = 8² – 4*3.14*2²
S = 64 – 4 * 3.14 * 4 = 13.76
תשובה: השטח האפור הוא 13.76 סנטימטר.

תרגיל 4
בתוך מעגל שרדיוסו 20 סנטימטר חוסמים 4 עיגולים.
חשבו את השטח האפור.

פתרון
המפתח
כל מעגל קטן הוא 2 רדיוסים. לכן 4 העיגולים כוללים 8 רדיוסים.
8 הרדיוסים שווים לקוטר העיגול הגדול שהוא 40 סנטימטר. (שימו לב שהם שווים לקוטר העיגול הגדול ולא לרדיוס העיגול הגדול).
לכן:
8r = 40
r = 5

חישוב השטח
השטח הוא השטח של העיגול הגדול פחות השטח של ארבעת העיגולים הקטנים.
S = 3.14 * 20² – 4 * 3.14 * 5²
S = 1256 – 314 = 942
תשובה: שטח החלק האפור הוא 942 סמ”ר.

6.שטח גזרה

תרגיל 1
במעגל שרדיוסו 10 סנטימטר יש זווית מרכזית שגודלה 120 מעלות.
חשבו את השטח עליו נשענת הזווית. (השטח האפור בשרטוט).

פתרון
השטח המבוקש הוא:

נפשט את הביטוי ונקבל:

תשובה: השטח האפור הוא 10.466 סמ”ר.

7.קישורים

1. שטח מעגל הדף המלא עם תרגילים נוספים.
2. היקף מעגל.
3. מתמטיקה לכיתה ז.