תיבה סיכום

בדף זה נסכם 14 סוגי שאלות שאתם יכולים לפגוש בנושא תיבה.

  • 9 סוגים בנושא נפח תיבה.
  • 5 סוגים בנושא שטח פנים.
  • 2 סוגים בנושאים נוספים.

הערה
כאשר אתם מציבים מספרים בנוסחה עליכם לדאוג שכל המספרים הם בעלי אותן יחידות.
אם למשל קיבלתם גדלים שהם גם במטרים וגם בסנטימטרים עלכם להעביר את כל הגדלים למטרים או לסנטימטרים ורק לאחר מיכן לבצע את החישוב.

תרגילים בנושא נפח

נושאי התרגילים הם:

  1. חישוב נפח בסיסי.
  2. חישוב נפח של תיבה ריבועית.
  3. קובייה.
  4. חישוב נפח על פי פריסה של תיבה.
  5. ידוע הנפח חסר אחד הגדלים של התיבה.
  6. שאלות בהם שופכים לתיבה מים.
  7. נפח תיבה לעומת נפחים אחרים.
  8. תיבה שחתכו חלק ממנה.

1.חישוב נפח בסיסי
לתיבה יש שלושה ממדים.
אורך, רוחב גובה.
הנוסחה אומרת שנפח התיבה שווה למכפלת שלושת הגדלים הללו:
נפח = גובה * רוחב * אורך

נהוג לסמן:
v נפח.
a אורך התיבה.
b רוחב התיבה.
h גובה התיבה.

והמשוואה היא:
v = a*b*h

למשל:
7 אורך, 2 רוחב, 10 גובה סנטימטר.
חשבו את הנפח.
פתרון
v = 2*7*10 = 140.
סמ"ק.

2.חישוב נפח של תיבה ריבועית
בתיבה ריבועית האורך שווה לרוחב. למשל:
אורך 3, רוחב 3, גובה 5 סנטימטר.
v = 3*3*5 = 30
סמ"ק.

3.חישוב נפח של קובייה
בקובייה האורך, רוחב והגובה שווים.
לכן מספיק לדעת אחד מיהם על מנת לחשב את הנפח.

חשבו את נפח הקובייה שאורך מקצוע שלה הוא 5 סנטימטר.

v = 5 * 5 * 5
v = 25 * 5 = 125
תשובה: הנפח 125 סמ"ק.

4.חישוב נפח על פי פריסה של תיבה
לפעמים נראה פריסה של תיבה ויבקשו שנחשב את הנפח.
במקרה זה עלינו לאתר את שלושת הממדים של התיבה (אורך רוחב וגובה) וכך לבצע את החישוב.

והפריסה שלה

פתרון
נשים שיש בפריסה הזו רק 3 מספרים (2,3,4).
לכן אלו הם האורך, רוחב וגובה של התיבה.
V = 2*3*4 = 24

פריסה של תיבה ריבועית
בפריסה של תיבה ריבועית קשה יותר לזהות את הממדים, כי אנו נראה רק שני מספרים שונים.
במקרה זה נזהה את הפאה שהיא ריבוע וממנה ניקח את אותו מספר פעמיים.

ניתן לראות שיש פאה אחת שהממדים שלה הם 6*6, לכן אנו ניקח את שני הממדים הללו והשלישי יהיה 3.
v = 6*6*3 = 108

5.ידוע הנפח חסר אחד הגדלים של התיבה
בנוסחת נפח תיבה יש 4 גדלים.
a,b,h,v
אם אנו יודעים 3 מיהם ולא משנה איזה 3 נוכל להשלים את הרביעי על הצבה של ה 3 שאנו יודעים בנוסחת הנפח.

למשל.
אורך 2, רוחב 3. נפח 30.
חשבו את נפח התיבה.

פתרון
נציב את מה שאנו יודעים בנוסחת הנפח ונקבל:
x  * 2 * 3 = 30
6x = 30
x = 5
גובה התיבה 5 סנטמטר.

6.שאלות בהם שופכים לתיבה מים
בתיבה מלבנית אורך מידות מלבן הבסיס הם 5 ו 6 סנטימטר.
גובה התיבה 7 סנטימטר.
לתוך תיבה זו שופכים 90 סמ"ק מים.
לאיזו גובה יגיעו המים?

הרעיון הוא:
כאשר נשפוך מים לתוך התיבה הם יצרו תיבה בתוך התיבה, זו התיבה האפורה שרואים בשרטוט.
הנפח של התיבה הפנימית הוא 90 סמ"ק.

פתרון
אורכי צלעות הבסיס הם 5 ו 6 סנטימטר.
לכן אנו יכולים להציב בנוסחה של נפח תיבה את הנתונים:
v = 90
a = 6
b = 5

h הוא מה שמחסר לנו. נקבל:
h * 6 * 5 = 90
30h = 90
h = 3
תשובה: גובה התיבה 3 סנטימטרים.

7.שינוי של ממדי התיבה
1.אם מכפילים את כל צלעות התיבה פי 2 כיצד משתנה נפח התיבה?
כאשר צלעות התיבה הן:
a,b,h
נפח התיבה הוא:
V = a*b*h
כאשר צלעות התיבה גדלות פי 2:
2a,  2b,  2h
נפל התיבה הוא:
V = 2a * 2b * 2h
V = 8abh

נפח התיבה גדל פי 8.

2.אם מכפילים פי 2 רק מקצוע אחד של התיבה כיצד משתנה נפח ושטח הפנים של התיבה?
נפח
אם מקצוע אחד הוא 2a (במקום a) אז הנפח הוא:
V  = 2a * b * h
V = 2abh
כלומר הנפח גדל פי 2.

8.תיבה לעומת נפחים אחרים
חישוב נפח תיבה הוא בעצם:
שטח הבסיס (מלבן) כפול גובה התיבה.
ויש עוד גופים שבהם הנפח הוא שטח הבסיס כפול הגובה: מנסרה משולשת, גליל.

לעומת זאת גופים המסתיימים בקודקוד כמו חרוט ופירמידה הנפח הוא שטח הבסיס כפול הגובה חלקי 3.

הקשר הזה יכול לעזור לכם לזכור את הנוסחאות בצורה קלה יותר.

דוגמאות לשאלות:

  1. לתיבה, מנסרה משולשת וגליל יש את אותו שטח בסיס וגובה. האם הנפח שלהם שווה? כן.
  2. לתיבה ופירמידה יש אותו שטח בסיס וגובה. מה היחס בין הנפחים שלהם? אם גובה התיבה הוא 4 סנטימטר. מה גובה הפירמידה צריך להיות על מנת שהנפחים יהיו שווים?

פתרון
א)עבור אותו שטח בסיס וגובה נפח התיבה הוא פי 3 מנפח הפירמידה.
ב)על מנת שהנפחים יהיו שווים גובה הפירמידה צריך להיות פי 3 מגובה התיבה. לכן גובה הפירמידה הוא 12 סנטימטר.

9.תיבה שחתכו חלק ממנה
כאשר מורדים חלק מתיבה ניתן לחשב את נפח החלק שנשאר על ידי חישוב נפח התיבה המקורית פחות נפח התיבה שהחסירו.
למשל, חשבו את נפח הגוף שבשרטוט.

פתרון
נחשב את נפח התיבה המקורית ולאחר מיכן את נפח התיבה שנחתכה.
נפח התיבה המקורית הוא:
v = a*b*h
v = 3 * 5 * 7
v = 15 * 7 = 105

נחשב את צלעות התיבה שנחתכה
BE = AD – FC
BE = 3 -1 = 2
EF = CD – AB
EF = 7 – 4 = 3

B'B הוא גובה התיבה שנחתכה וגודלו 5.
נפח התיבה שנחתכה הוא:
V = BB' * EF * BE
V = 5 * 3 * 2
V = 15 * 2 = 30

נחשב את נפח הגוף שנותר
V = 105 – 30 = 75
תשובה: נפח הגוף שנותר הוא 75 סמ"ק.

תרגילים בנושא שטח פנים

נושאי התרגילים הם:

  1. חישוב בסיסי של שטח פנים.
  2. חישוב על פי פריסה.
  3. תיבה נוגעת בתיבה.
  4. תרגיל הפוך: נתון שטח הפנים חסר אחד ממקצועות התיבה.
  5. הגדלה של מקצועות התיבה.

1.חישוב בסיסי
חשבו את שטח הפנים והנפח של תיבה שאורך המקצועות שלה הוא 3,5,2.

חישוב שטח פנים
על מנת לחשב שטח פנים עלינו למצוא את הגדלים של שלושת המלבנים.
אלו הם הגדלים של המלבנים:
5,2   3,2   3,5
ושטח הפנים הוא:
(S = 2(3*5) + 2(3*2) + 2(5*2
S = 2*15 + 2*6 + 2*10
S = 30 + 16 + 24
S = 70

פתרון
חישוב נפח
נפח הוא מכפלת המקצועות:
v = 3 * 5 * 2 = 30
30 סמ"ק.

2.חישוב שטח פנים על פי פריסת תיבה


כאשר יש לנו פריסה של תיבה:

  1. נאתר את שלושת ממדי התיבה.
  2. נבנה את שלושת מלבני התיבה ונחשב את שטחם.

חשבו את שטח הפנים של התיבה שהפריסה שלה היא זו:

והפריסה שלה

פתרון
ניתן לראות שהממדים של תיבה זו הם 2,3,4.
לכן מלבני התיבה הם:
3,4   2,4   2,3
ושטח של התיבה הוא:
(S = 2(2*3) + 2(2*4) + 2(3*4
S = 2*6 + 2*8 + 2*12
S = 12 + 16 + 24
S = 52
תשובה: שטח התיבה 52 סמ"ר.

דוגמה 2: פריסה של תיבה ריבועית
כאשר נקבל פריסה של תיבה ריבועית יכול להיות קשה יותר לדעת את 3 הממדים של התיבה, כי הם מורכבים משני מספרים בלבד.

במקרה זה עלינו לאתר את המלבן שמורכב משני מספרים זהים (למעשה ריבוע) והא נותן לנו 2 מתוך שלושת ממדי התיבה.

פתרון
אנו רואים שאחד מפאות התיבה היא ריבוע שגודלו 6*6.
לכן שלושת ממדי התיבה הם:
6,6,3

שלושת המלבנים הם:
6,6
6,3
6,3

ושטח הפנים של התיבה מתקבל על ידי החישוב:
S1 = 2(6*6) = 72
S2 = 2(6*3) = 36
S3 = 2(6*3) = 36
שטח הפנים הוא:
S = 72 + 36+ 36 = 144
144 סמ"ר.

3.תיבה נוגעת בתיבה


כאשר חלק מתיבה מכסה חלק של תיבה אחרת נפעל על פי השלבים הבאים:

  1. נחשב את שטחי הפנים של כל אחת מהתיבות בנפרד.
  2. נחסר מהשטח שקיבלנו את פעמיים השטח המכוסה.

מדוע מחסרים את פעמיים השטח המכוסה?
כי יש שטח מכוסה פעם אחת על כל תיבה. לכן יש בעצם שני שטחים מכוסה.

דוגמה 1
חשבו את שטח הפנים של הגוף המשותף על פי הנתונים שבשרטוט.

פתרון
בדוגמה זו עלינו לחסר את שטח המלבן שגודל הצלעות שלו הוא 3,1 סנטימטר פעמיים מהשטח הפנים של של שתי התיבות ביחד.
כלומר עלינו לחסר:
S = 2( 3  *1) = 6
משטח הפנים של שתי התיבות ביחד.

שטח הפנים של התיבה הגדולה הוא
(S = 2(6 * 3) + 2(6 * 8) + 2(3*8
S = 2 * 18 + 2*48 + 2*24 = 180

שטח הפנים של התיבה הקטנה הוא
(S = 2(3 * 1) + 2(3 * 5) + 2(1*5
S = 2 * 3 + 2*15 + 2*5 = 46

סכום השטחים הוא:
S = 180 + 46 = 226
נחסר משטח זה את פעמיים השטח המשותף ונקבל:
220 = 6 – 226
תשובה: שטח הפנים של הגוף המשותף הוא 220 סמ"ר.

דוגמה 2
חשבו את שטח הפנים של הגוף המשותף על פי הנתונים שבשרטוט

פתרון
הממדים של שתי התיבות הן:
תיבה משמאל:
10,6,4
תיבה מימין:
3,6,4

דרך ראשונה
ניתן לחשב את שטח הפנים של כל אחת מהתיבות.
ואז לחסר את פעמיים הפאה המכוסה.
צריך לחסר:
S = 2(6 * 4) = 48

דרך שנייה וקצרה יותר
ניתן להסתכל על הצורה כאילו יש תיבה אחת שהממדים שלה הם:
13,4,6
שטח הפנים של תיבה זו הוא:
(S = 2(13 * 4) + 2(13 * 6) + 2(4*6
S = 2 * 52 + 2*78 + 2*24 = 308
תשובה: 308 סמ"ר.

4.תרגיל הפוך: נתון שטח הפנים חסר אחד ממקצועות התיבה


בנוסחת שטח הפנים של התיבה יש 4 רכיבים: שלושת מקצועות התיבה ושטח הפנים של התיבה.
(S = 2(a*b) + 2(a*h) + 2(b * h

אם נדע 3 מתוך ארבעת הדברים נוכל להציב את הדברים בנוסחת שטח פנים של תיבה ולמצוא את הגודל הרביעי שיהיה המשתנה במשווה.
וזה לא משנה איזו שלושה גדלים אנו יודעים, אם יודעים שלושה ניתן להשלים את הרביעי.

דוגמה
שטח פנים של תיבה 158 סמ"ר.
אורך התיבה הוא 8 סנטימטר ורוחב התיבה הוא 5 סנטימטר.
חשבו את גובה התיבה.

פתרון
נניח שגובה התיבה הוא x.
אם כך אורכי צלעות שלושת המלבנים בתיבה יהיו:
8,5
x,8
x,5

נחשב את השטח של ששת המלבנים.

השטח של שני המלבנים שצלעותיהם הן 5,8 הוא:
(S = 2(5*8
S = 2 * 40 = 80
80 סמ"ר.

השטח של שני המלבנים שצלעותיהם הן x,8 הוא:
(S = 2(8 * x
S = 2 * 8x = 16x
16x סמ"ר.

השטח של שני המלבנים שצלעותיהם הן x,5 הוא:
(S = 2(5 * x
S = 2 * 5x = 10x
10x סמ"ר.

כל השטחים ביחד שווים ל 158 סמ"ר.
לכן המשוואה היא:
16x + 10x + 80 = 158
26x + 80 = 158
26x = 78  / :26
x = 3
תשובה: גובה התיבה הוא 3 סנטימטר.

*5.הגדלה של מקצועות התיבה


חלק זה הוא העשרה ומיועד לתלמידים טובים.
זה לא חלק הכרחי.

על מנת להבין כיצד משתנה שטח פנים של תיבה כאשר משנים את אורך מקצועותיו עליכם להבין שני דברים:

1.כאשר מגדילים את שתי צלעות מלבן פי 3 שטח המלבן גדל פי 9
שטח הפנים של תיבה מורכב מהשטחים של 6 מלבנים.
לכן שטח הפנים של תיבה מתנהג כמו שטח מלבן.

בדף שטח מלבן למדנו שאם מגדילים את את שתי צלעות המלבן פי 3 אז שטח המלבן גדל פי 9.
כלומר:
הצלעות המקוריות הן
a,b
ושטח המלבן המקורי הוא:
S = ab

ולאחר הגדלה של כל צלע פי 3 הצלעות הן:
3a,3b
ושטח המלבן הוא:
S = 3a * 3b = 9ab

כמובן שעל פי אותו עיקרון ניתן להגיד:
אם מגדילים את שתי צלעות המלבן פי 2 שטח המלבן יגדל פי 4.
אם מגדילים את שתי צלעות המלבן פי 4 שטח המלבן יגדל פי 16.
וכן הלאה.

2.על מנת שנוכל להגיד משהו על שטח הפנים צריכים להגדיל את כל המקצועות באותו מידה
לתיבה יש 3 מקצועות, אם נשנה את הגודל של חלק מהמקצועות רק חלק מהמלבנים יגדלו, וחלק אחר לא יגדלו או לא יגדלו באותה מידה.

לכן על מנת שנקבל שינוי מדויק בשטח הפנים של התיבה עלינו להגדיל את כל שלושת מקצועות התיבה פי אותה מידה.

אם נגדיל רק חלק ממקצועות התיבה אז לא נוכל להגיד משהו מדויק על שטח הפנים.
אם נגדיל חלק מהמקצועות פי מספר מסוים וחלק מהמקצועות פי מספר אחר אז לא נוכל להגיד משהוא מדויק על שטח הפנים.

לסיכום
אם נגדיל את כל מקצועות התיבה פי 2 אז שטח הפנים יגדל פי 4.
אם נגדיל את את כל מקצועות התיבה פי 8 אז שטח הפנים של התיבה יגדל פי 64.

אם נגדיל רק מקצוע אחד של התיבה או רק שתי מקצועות אז לא ניתן להגיד דבר מדויק על שטח הפנים.
גם אם נגדיל את מקצועות התיבה לא באותה מידה אז לא ניתן להגיד דבר מדויק על שטח הפנים.

הגדלה של מקצוע אחד (במקרה זה הגובה) משנה גדלים של 4 מקצועות אבל משיארה שתי פיאות ללא הגדלה. לכן לא ניתן לקבוע פי כמה שטח הפנים גדל.

תרגילים מסוגים נוספים

1.תרגיל: האם החוט מספיק?
לרשותי יש חוט באורך 30 מטרים.
האם אוכל ליצור מהחוט תיבה שאורך המקצועות שלה הם 2,3,5 מטרים?

פתרון
בשאלות הללו בעצם שואלים: האם האורך של של כל המקצועות ביחד גדול יותר או קטן יותר מהאורך של החוט?

על מנת לענות עלינו להבין כי כל מקצוע בתיבה מופיע 4 פעמים בתיבה (
לכן האורך של כל המקצועות בתיבה הזו יהיה:
(5 + 3 + 2) * 4
40 = 10 * 4

40 מטרים הוא אורך כל המקצועות בתיבה שבה המקצועות הם 2,3,5 מטרים.
יש לנו 30 מטר חוט.
לכן החוט לא יספיק על מנת ליצור תיבה כזו.

על מנת להמחיש שכל מקצוע מופיע בתיבה 4 פעמים צבעתי את 4 הגבהים באדום. 4 מקצועות הרוחב באדום. ו 4 מקצועות האורך בכחול.
על מנת להמחיש שכל מקצוע מופיע בתיבה 4 פעמים צבעתי את 4 הגבהים באדום.
4 מקצועות הרוחב באדום.
ו 4 מקצועות האורך בכחול.

2.קובייה החסומה בתיבה
נתונה תיבה שגודל הצלעות שלה הוא 10 אורך, 7 רוחב ו 12 גובה (סנטימטרים).
מה גודל הקובייה הגדולה ביותר שניתן לחסום בתיבה.

פתרון
קובייה שגודל הצלע שלה הוא 8 סנטימטר לא תוכל להיכנס ברוחב התיבה שהוא 7 סנטימטר.
הקובייה הכי גדולה שיכולה להיכנס בתיבה היא קובייה שרוחבה 7 סנטימטר.
לכן הקובייה הגדולה ביותר שניתן לחסום בתיבה היא קובייה שאורך צלעה 7 סנטימטר.

עוד באתר:

  1. נפח תיבה – הדף המלא כולל תרגילים וסרטוני וידאו.
  2. נפח קובייה.
  3. מתמטיקה לכיתה ז.
  4. פריסה של תיבה.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.