חוקי שורשים כללים ראשונים

בדף זה נלמד כללים בסיסיים של שורש.

זה הדף הראשון שעליכם ללמוד בנושא שורש.

הדף מיועד לתלמידי כיתה ט ומעלה.

חלקי הדף הם:

1. הסבר וידאו.
2. הסבר כתוב.
3. תרגילים.

• חוקי שורשים הוא הדף המרכזי באתר בנושא. דרכו תוכלו ללמוד נושאים נוספים.

1.הסבר וידאו

2.הסבר כתוב

1.כיצד מחשבים שורש?

כאשר אנו רוצים לחשב שורש של מספר נשאל את עצמנו

“איזה מספר חיובי בחזקת 2 ייתן לנו את המספר שבתוך השורש?”

 1 דוגמה
√100 =

איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 100?
10
לכן 10 היא התשובה.

√100 = 10

דוגמה 2
√25 =

“איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 25”?
5

√25 = 5

2.אין תוצאה שלילית לשורש

שורש מוגדר כתוצאה חיובית.
בתרגיל שלמעלה שאלנו:

“איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 25″?

לכן תוצאה של תרגיל שורש תמיד תהיה חיובית.

אם מבקשים ממכם לענות על השאלה:

√x = -6

התשובה היא: אין x הפותר את השאלה.

שימו לב, לתרגיל
x² = 100
יש שני פתרונות:
x₁ = 10
x₂ = -10

אבל לתרגיל שנראה דומה:
√100 = x
יש פתרון יחיד
x = 10

3.אין שורש למספר שלילי

למספרים שליליים אין שורש ממשי.
למשל
√-9

הוא תרגיל שאין לו תשובה.
כי אמרנו שעל מנת למצוא שורש עלינו לענות על השאלה:

“איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 9-“?

ואין מספר שבחזקת 2 נותן תוצאה שלילית.

4.ההגדרה של שורש היא חזקת 0.5 (חצי).

עליכם לדעת כי שורש שני של מספר שווה לחזקת ½.

√x = x^0.5
√8 = 8^0.5

הדבר ישמש אותנו כדי לכתוב שורש בצורה של חזקה ואז לפתור את התרגיל בעזרת חוקי חזקות.

חוק החזקות המתאים לתרגילים הבאים הוא:
a^m * aⁿ = a^{m + n}

√8 * √8 = 8^0.5 * 8^0.5
8^{0.5 + 0.5} = 8¹ = 8

√x * √x = x^0.5 * x^0.5
x^{0.5 + 0.5} = x¹ = x

5.שילוב של שורש, מינוס וחזקה

כאשר יש שורש וחזקה יחד צריך לבצע אותן, לא ניתן לבטל אותן אוטומטית.

למשל:

√(7²) = √49 = 7

אבל לא ניתן להתעלם מהפעולות ולתת להם לבטל אחת את השנייה.

צריך לבצע את שתיהן כי לפעמים התשובה לא תהיה המספר ההתחלתי.

כפי שקורה כאשר זו חזקה זוגית על מספר שלילי.

√(-5)² = √25 = 5

שתי דוגמאות נוספות למצבים בהם השורש והחזקה לא מבטלים אחד את השני:

אם החזקה היא רק על חלק מהשורש, לדוגמה:

כאשר הביטוי שבתוך השורש כולל משתנים לא ניתן לבטל את החזקה:

שתי שאלות שנשאלתי:

1.האם הביטוי x-√ הוא ביטוי מוגדר?

בחלק מהמקרים כן.

כאשר x הוא מספר חיובי הביטוי בתוך השורש שלילי ואז אנו מקבלים ביטוי לא מוגדר.

לעומת זאת, כאשר x שלילי הביטוי בתוך השורש חיובי. וניתן לקבל תוצאה.

למשל:
x = -9

√(-x) = √(- -9) = √9 = 3

2.כאשר x שלילי מה יהיה ערך הביטוי x²√

הערך יהיה חיובי.

על פי סדר פעולות חשבון נעלה את המספר השלילי x בריבוע.
נקבל מספר חיובי (כי כל מספר בחזקת 2 הוא חיובי).
כאשר נוציא שורש למספר חיובי נקבל מספר חיובי.

לסיכום
√x²
הוא ביטוי מוגדר וחיובי תמיד

6.חיבור וחיסור בתוך השורש

ששאלה ששואלים, האם:

√(a² + b²) = a + b

והתשובה לא.

כאשר יש פעולות חיבור או חיסור בתוך השורש קודם צריך לבצע את החיבור / חיסור ורק לאחר מיכן להוציא שורש.

במקרה של חיבור / חיסור לא ניתן להוציא שורש לכל אחד מהאיברים בנפרד.

דוגמה:

√(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13 = 3.6

ואילו אם היינו מוצאים שורש לכל מספר היינו מקבלים:

2 + 3 = 5

הערה
כאשר יש כפל של שני מספרים בתוך השורש ניתן להוציא שורש לכל אחד מיהם בנפרד.
וזה בגלל שבמקרה זה סדר פעולות חשבון לא משנה את התוצאה.

נלמד את זה בדף חוקי שורשים תרגילים יסודיים.

7.סדר פעולות חשבון עם שורש

אם יש מספר איברים בתוך השורש קודם מבצעים את הפעולות בתוך השורש על פי סדר פעולות חשבון.

לאחר מיכן מבצעים את פעולת השורש.

ולאחר מיכן מבצעים את 4 פעולות חשבון.

לדוגמה:

הערה
כאשר יש כפל או חילוק של שני שורשים ניתן להכניס מספר אל תוך השורש כפי שנלמד כאן.

8. חיבור וחיסור של אותו שורש

חלק זה מיועד לתלמידי 4-5 יחידות.

כאשר יש לנו את אותו שורש ניתן לחבר או לחסר אותו.

דוגמאות

3√2 + 6√2 = 8√2

7√5 – 4√5 = 3√5

√x + 3√x = 4√x

• חיבור חזקות הוא דף המסביר כיצד לחבר חזקות, חיבור שורשים נעשה בצורה דומה מאוד.

9.חוקי שורשים נוספים (למתקדמים)

כל חוק שורשים ניתן להסביר בעזרת חוק חזקות.
וגם, ניתן למחוק את כל חוקי השורשים וניתן להשתמש בחוקי חזקות בלבד.

מצורפים כאן חוקי שורשים נוספים שמיועדים לתרגילים מתקדמים (לא בדף זה).

 

3.תרגילים

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

• חוקי שורשים כללים ראשונים תרגילים

סוג 1: חישוב שורשים
חשבו את השורשים הבאים:

תרגיל 1

√4 =

תרגיל 2

√64 =

תרגיל 3

√121 =

תרגיל 4

√x = 9

מצאו את x

תרגיל 5

√x = 1

מצאו את x

תרגיל 6

√x = – 3

מצאו את x

סוג 2: כפל שורשים זהים
הסתמכו על חוק החזקה  a^m * aⁿ = a^{m + n}

ופתרו את התרגילים הבאים:

תרגיל 7

√7 * √7 =

תרגיל 8

√8 * √8 =

תרגיל 9

√9 * 9^1.5 =

תרגיל 10

מצאו את x