סכום המקומות האחרונים בסדרה חשבונית

בדף זה נלמד לחשב את סכום המקומות האחרונים בסדרה חשבונית.

חלקי הדף הם:

1. הסבר וידאו.
2. הסבר כתוב.
3. תרגילים.

חלקים 1,2 הם למנויים.
חלק מהתרגילים שבחלק 3 פתוחים לכולם.

3.תרגילים בנושא חישוב סכום איברים אחרונים

התרגיל הראשון הוא דוגמה פשוטה למה שכתוב למעלה, ולאחר מיכן מופיעים תרגילים נוספים.
תרגילים 2-3 קשורים לנושא אבל לא במדויק.
תרגילים 4-5 קשים יותר.

תרגיל 1 (הכי בסיסי)
בסדרה חשבונית הכוללת 10 איברים ידוע כי  a₁ = 4, d=5 חשבו את סכום 5 האיברים האחרונים.

פתרון
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(s_n=(2a₁+(n-1)d)(n:2
ואנו יודעים עבור סדרת 5 האיברים האחרונים את כל מה שצריך מלבד האיבר הראשון.

מציאת a₆
חמשת האיברים האחרונים בסדרה הם:
a₆,  a₇,  a₈,  a₉,  a₁₀
זו סדרה חשבונית שבאיבר הראשון שלה הוא a₆.
נשתמש בנוסחת האיבר הכללי על מנת למצוא את a₆
a_n = a₁ + (n-1)d
a₆ = 4 + (6 – 1)5 = 4 + 25 = 29

חישוב סכום 5 האיברים האחרונים
עבור סדרת חמשת האיברים האחרונים הנתונים הם:
a₆ = 29
d = 5
n = 5
s₅ = ?

הצבה בנוסחה
(s_n=(2a₁+(n-1)d)(n:2

2s₅ = (58 +20)5
2s₅ = 390  / :2
s₅ = 195

תשובה: סכום חמשת האיברים האחרונים הוא 195.

תרגיל 2 (בניית שני משוואות עם שני נעלמים)
סכום 3 האיברים הראשונים של סדרה הוא 60.
סכום 10 האיברים הראשונים של סדרה הוא 550.
מצאו את a₁ והפרש הסדרה.

פתרון
נזכור שבסדרה חשבונית יש שני נעלמים a₁, d.
נבנה בעזרת שני הנתונים שקיבלנו שתי משוואות עם שני נעלמים.

עבור 3 האיברים בראשונים.
s₃ = 60
n = 3
d = ?
a₁ = ?
נציב בנוסחה:
(s_n=(2a₁+(n-1)d)(n:2

2a₁ + 2d) * 3 = 120)
2a₁ + 2d = 40
a₁ + d = 20

עבור 10 האיברים הראשונים
s₃ = 550
n = 10
d = ?
a₁ = ?

נציב בנוסחה:
(s_n=(2a₁+(n-1)d)(n:2

2a₁ + 9d) * 10 = 1100)
2a₁ + 9d = 110
a₁ + 4.5d = 55

שתי המשוואות שקיבלנו הן
a₁ + d = 20
a₁ + 4.5d = 55
נפתור בשיטת השוואת מקדמים ונחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה ונקבל.
3.5d = 35  / :35
d = 10

מציאת a₁
נציב d = 10 במשוואה
a₁ + 10 = 20
a₁ = 10

תשובה: a₁ = 10, d = 10.

עוד באתר:

• סדרה חשבונית.
• סכום סדרה חשבונית.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.