בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון 581 חורף 2017

סעיף א

סעיף ב

m =8.5

m הזמן שצינור א ממלא את הבריכה.
2m הזמן שצינור ב ממלא את הבריכה.
המשוואה הראשונה היא:

תשובה: תחום הערכים של m הוא:

המשוואה היא:

תשובה: m =8.5

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

S_bn = 0.5(3ⁿ -1)-2n

סעיף ג

S =((3)ⁿ-1) / -4

(a_n+1 = a_n / (4a_n+3
b_n = (1/a_n) +2 = (2a_n+1) / a_n

b_n =2+(4a_n+3) / a_n
b_n+1 = 2+(4a_n+1+3) / a_n+1 = (6a_n+1+3) / a_n+1

נציב את (a_n+1 = a_n / (4a_n+3 במשוואה.
b_n+1 = 6a_n / (4a_n+3) +3 / a_n / (4a_n+3) = 6a_n+3 / a_n
b_n+1 / b_n = (6a_n+3 / a_n) / (2a_n+1) / a_n) = (6a_n+3) / (2a_n+1) = 3

מצאנו כי לסדרה b_n מנה קבועה (3) שאינה תלויה ב n ולכן זו סדרה הנדסית.

נמצא את b₁.
b₁ = 1/-1 +2=1
הנוסחה של b_n על פי הנוסחה לאיבר הכללי של סדרה הנדסית:
b_n = 1*3^n-1 = 3^n-1

ננסה למצוא את הקשר בין הסדרה  d = 1/a₁ + ….+ 1/a_n לבין b_n.
אנו יודעים כי  b_n = (1/a_n) +2
b_n -2 = 1/a_n
כלומר:
b₁ -2 = 1/a₁
b₂ -2 = 1/a₂
b₃ -2 = 1/a₃
אנו רואים כי סכום הסדרה d = 1/a₁ + ….+ 1/a_n הוא סכום הסדרה b_n פחות 2n.

נגדיר את סכום הסדרה ההנדסית b_n.
S_n = (3ⁿ -1) / 2
לכן סכום הסדרה d = 1/a₁ + ….+ 1/a_n הוא:
S_bn = 0.5(3ⁿ -1)-2n – תשובה סופית.

עלינו לחשב את סכום הסדרה:
k = 1/a₁ -1/a₂+1/a₃ – 1/a₄….+1/a_n-1 -1 1/a_n
אם נציב b_n -2 = 1/a_n במקום איברי הסדרה נקבל:
(k =(b₁-2)- (b₂-2) +(b₃-2) – (b₄-2)…+(b_n-1-2)- (b_n-2
ניתן לראות שכאשר פותחים סוגריים אנו נשארים עם הביטוי:
k = b₁ – b₂+b₃– b₄ + … +b_n-1 – b_n
שימו שכל מספרי ה 2 מתבטלים בגלל שידוע שמספר איברי הסדרה הוא זוגי. אם המספר היה אי זוגי היינו נשארים עם 2 אחד.
הסדרה שמצאנו היא סדרה הנדסית שבה q=-3 ו a₁=1. הסכום של סדרה זו הוא:
S =((-3)ⁿ-1) / -4
מכוון ש n זוגי ניתן לרשום גם:
S =((3)ⁿ-1) / -4

סעיף א

0.625

סעיף ב

0.715

סעיף ג1

0.51

סעיף ג2

0.51

נתון כי P היא ההסתברות לפגוע בזריקה אחת, ונתון כי ההסתברות לפגוע ב-4 מתוך 5 זריקות גדולה פי 3 מההסתברות לפגוע בכל 5 הזריקות.

כדי למצוא את P נחשב את ההסתברות לפגוע ב-5 זריקות, ונחשב את ההסתברות לפגוע 4 מתוך 5(לפי ברנולי), ונבנה משוואה בהתאם:

ההסתברות לפגוע ב-4 מתוך 5 זריקות:

הצבה בנוסחת ברנולי:

ההסתברות היא:

5 * P⁴ * (1 – P)

ההסתברות לפגוע ב-5 זריקות היא P⁵

לכן נבנה את המשוואה:

3P⁵ = 5 * P⁴ * (1 – P)

3P =  5 – 5P  / + 5P

8P = 5  /  : 8

P = 5 / 8 = 0.625

מתמודד מנצח אם מספר הפגיעות שלו גדול ממספר ההחטאות, לכן המתמודד ינצח באחת משלושת האפשרויות הבאות:

יפגע 3 פעמים

יפגע 4 פעמים

יפגע 5 פעמים

נחשב את ההסתברות לכל אחד מהמקרים בנפרד ונסכום כדי לדעת מה ההסתברות של מתמודד לנצח במשחק

כזכור, ההסתברות לפגיעה בזריקה בודדת היא 0.625(חישוב מהסעיף הקודם)

ההסתברות ל-3 פגיעות:

לחישוב ההסתברות נשתמש בנוסחת ברנולי:

P₁ = 10 * 0.625³ * (1 – 0.625)² = 0.34

ההסתברות ל-4 פגיעות:

P₂ = 5 * 0.625⁴ * (1 – 0.625) = 0.28

ההסתברות ל-5 פגיעות:

P₃ = 0.625⁵ = 0.095

ההסתברות לזכות במשחק:

P = P₁ + P₂ + P₃ = 0.34 + 0.28 + 0.095 = 0.715

ההסתברות של אביגיל לזכות במשחק היא 0.715

נשים לב כי נתון שאביגיל החטיאה בזריקה השנייה, לכן האפשרויות שלה לנצח במשחק הן לפגוע 3 או 4 פעמים(לא יכולה כבר לפגוע 5).

בגלל שהחטיאה את הזריקה השנייה, נשארו לה 4 זריקות לפגוע 3 או 4.

נחשב את ההסתברות לפגוע 3 פעמים מתוך 4 ואז ההסתברות לפגוע 4 מתוך 4, ונסכום

ההסתברות לפגוע 3 מתוך 4:

נשתמש בנוסחת ברנולי.

המקדם הבינומי:

ההסתברות ל-3 פגיעות מ-4 נסיונות:

P₁ = 4 * 0.625³ * (1 – 0.625) = 0.36

ההסתברות ל-4 פגיעות ל-4 נסיונות:

P₂ = 0.625⁴ = 0.15

ההסתברות לזכות אם החטיאה בזריקה השנייה:

P = P₁ + P₂ = 0.36 + 0.15 = 0.51

ההסתברות לזכות אם אביגיל החטיאה בזריקה השנייה היא 0.51

נתון כי תמר החטיאה את הזריקה הראשונה.

לא משנה לנו איזו זריקה היא החטיאה, אלא שידוע שהיא החטיאה אחת.

לכן מבחינה הסתברותית, המקרים של אביגיל ותמר זהים.

לכן מכיוון שההסתברות של שתיהן לפגוע בזריקה בודדת היא זהה, ההסתברות של שתיהן לזכות זהה.

לכן ההסתברות של תמר לזכות היא 0.51.

בניית עזר:

O – מרכז המעגל הגדול

P – מרכז המעגל הקטן

OP – קטע המרכזים בין המעגלים

ראשית נוכיח כי OP אכן עובר דרך נקודות F ו -A

כעת נוכיח כי OE || PD ונשתמש במשפט תאלס כדי להוכיח את השוויון הדרוש

ההרחבה הראשונה למשפט תאלס במשולש ΔAOE:

AD / AE = PD / OE = r / R

ההרחבה הראשונה למשפט תאלס במשולש ΔACE:

AD / AE = BD / EC

לפי כלל המעבר:

r / R = BD / EC = AD / AE

r * EC = R * BD

סעיף א

BC= -2R cos 2α

סעיף ב

45 < a < 90

סעיף ג

1:3 הוא היחס בין רדיוס משולש ΔCOD למשולש ΔAED.

נחשב את שלושת הזוויות במשולש BCD.

1. C = B = 180 – a
2. ABD = 90 זווית היקפית הנשענת על קוטר.
3. BDA = 90 -a משלימה ל 180 מעלות במשולש BDA.
4. CDB = 2a – 90 משלימה ל 180 מעלות במשולש CDB.

על פי משפט הסינוסים במשולש BCD:

לפישוט הביטוי נשתמש בזהויות הבאות:

sin(-a) = -sina , sin(90 – a) = cos a

BC = 2R * sin∠BDC = 2R * sin(2a – 90) = -2R * sin(90 – 2a) = -2r * cos 2a

BC= -2R cos 2α

בסעיף א מצאנו:

∠CDB = 2a – 90

לכן a > 45
וגם a < 90 על מנת שסכום 2a יהיה קטן מ 180.

תשובה סופית:

45 < a < 90

1. נוכיח דמיון משולשים ΔAED ∼ ΔCOD.

אם יחס השטחים בין המשולשים הוא 9 אז יחס הדמיון הוא 9√ = 3(יחס השטחים הוא יחס הדמיון בריבוע).

נסמן: r – רדיוס המעגל החוסם את ΔAED

לפי משפט הסינוסים ב-ΔAED:

לפי משפט הסינוסים ב-ΔOCD:

1:3 הוא היחס בין רדיוס משולש ΔCOD למשולש ΔAED.

סעיף א

b = -4 , a = 1

סעיף ב1

x ≠ -4 , x ≠ 1

סעיף ב2

(0 , 0)

סעיף ב3

אין אסימפטוטות אנכיות לצירים נוספות

סעיף ב4

תחום ירידה: x ≠ -4 , x ≠ 1

x < -4 , -4 < x < 1 , x > 1

תחום עלייה: אין.

סעיף ג

סעיף ד

0 < x < 1

סעיף ה

1/3 = S

נתחיל במציאת b.

נתון כי יש אסימפטוטה אנכית ב-x = 1, לכן המכנה מתאפס עבור ערך x זה.

נציב במכנה x = 1 ונשווה לאפס.

1² + 3 * 1 + b = 0

4 + b = 0  / – 4

b = -4

נתון כי יש אסימפטוטה אופקית ב- y = 1 , לכן:

או

באינסוף x זניח ביחס ל- x², לכן:

במינוס אינסוף x זניח ביחס ל-x² , לכן:

לכן a = 1

תשובה סופית: b = -4 , a = 1

הערה: ניתן לבדוק שאין לנו טעות חישוב לפי האסימפטוטה האנכית.

נתון כי יש אסימפטוטה אנכית ב- x = 1, לכן עבור ערך x זה המונה אמור לא להתאפס. אם הוא מתאפס, סימן שיש לנו טעות חישוב.

נציב x = 1 במונה:

1² + 4 * 1 = 5 ≠ 0

בדיקה זו היא לא אבסולוטית(יכול להיות שהמונה לא יתאפס ועדיין יש לנו טעות חישוב), אך יכולה לסייע במציאת טעויות חישוב מסוימות.

ההגבלה על תחום ההגדרה היא שהמכנה לא יתאפס.

לפי הסעיף הקודם:

נבדוק מתי המכנה מתאפס:

x² + 3x – 4 = 0

(x + 4)(x – 1) = 0

x₁ = -4 , x₂ = 1

לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא: x ≠ -4 , x ≠ 1

למציאת נק’ החיתוך עם ציר y נציב בפונקציה x = 0:

נק’ חיתוך עם ציר y היא: (0 , 0)

למציאת נק’ החיתוך עם ציר x נשווה את הפונקציה לאפס:

x² + 4x = 0

x(x + 4) = 0

x₁ = 0 , x₂ = -4

x = -4 נוגד את תחום ההגדרה, לכן:

נק’ חיתוך עם ציר x היא (0 , 0)

תשובה סופית:

נק’ החיתוך עם הצירים היא: (0 , 0)

חיפוש אסימפטוטות אנכיות נוספות

אנו נמצא אסימפטוטה אנכית כאשר ערך x המאפס את המכנה לא מאפס את המכנה.

מצאנו כי הערכים המאפסים את המכנה הם x₁ = -4 , x₂ = 1

x = 1 זו אסימפטוטה שנתונה לנו, לכן נבדוק את x = -4.

נציב x = -4 במונה ונבדוק אם הוא מתאפס:

4² + 4 * (-4) = 16 – 16 = 0

הערך x = -4 מאפס גם את המונה, לכן אין בו אסימפטוטה אנכית.

חיפוש אסימפטוטות אופקיות נוספות

בסעיף א מצאנו כי עבור a = 1 הפונקציה שואפת גם באינסוף וגם במינוס אינסוף ל- 1, לכן אין אסימפטוטות אופקיות נוספות.

תשובה סופית: אין אסימפטוטות אנכיות לצירים נוספות.

למציאת תחומי העליית והירידה של הפונקציה, נצטרך לגזור אותה ולהשוות את הנגזרת לאפס למציאת חלוקה לתחומים:

נגזור את הפונקציה לפי נגזרת מנה:

לסיכום:

(x – 1)² > 0

-1 < 0

המונה הוא מספר קבוע, לכן הנגזרת לא מתאפסת.

לכן הנגזרת שלילית עבור כל x שבתחום ההגדרה של הפונקציה.

לכן הפונקציה יורד עבור כל x שבתחום ההגדרה.

תשובה סופית:

תחום ירידה: x ≠ -4 , x ≠ 1

צורת כתיבה אחרת לתחום הירידה:

x < -4 , -4 < x < 1 , x > 1

תחום עלייה: אין.

נאסוף את הנתונים הידועים לנו עד כה:

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא: x ≠ -4 , x ≠ 1

אסימפטוטה אנכית- x = 1

אסימפטוטה אופקית- y = 1

נק’ החיתוך עם הצירים היא: (0 , 0)

תחום ירידה:

x < -4 , -4 < x < 1 , x > 1

תחום עלייה: אין.

לכן סקיצת הפונקציה היא:

מתקיים f(x)| = -f(x)| כאשר f(x) < 0.

לפי סקיצת הפונקציה, נראה כי f(x) < 0 עבור:

0 < x < 1

תשובה סופית:

מתקיים f(x)| = -f(x)| עבור:

0 < x < 1

נתון כי g(x) = f ² (x) * f ‘ (x)

ודורשים מאיתנו למצוא שטח מתחת לגרף הפונקציה, לכן צריך לבצע אינטגרל על g(x).

g(x) מורכבת מפונקציה מורכבת כפול נגזרת הפונקציה הפנימית, לכן:

∫g(x) = f ³ (x) / 3

כעת נדרש למצוא את גבולות האינטגרציה למציאת השטח.

מצאנו בסעיפים קודמים כי הפונקציה מתאפסת רק עבור x = 0 ושהנגזרת לא מתאפסת.

לכן החיתוך היחיד של g(x) עם ציר x הוא x = 0.

צריך למצוא את השטח המוגבל ע”י g(x) , ציר x והישר x = 0.5.

f ² (x) > 0 כי כל מספר בריבוע הוא חיובי

f ‘ (x) < 0 כי מצאנו שהנגזרת שלילית עבור כל x בתחום ההגזרה.

לכן g(x) < 0 עבור כל x בתחום ההגדרה.

לכן השטח הדרוש הוא:

סעיף א

x > a , x < -a

סעיף ב

אסימפטוטות אנכיות: x = a , x = -a

אסימפטוטות אופקיות: y = 1 , y = -1

סעיף ג

תחום עלייה: אין

תחומי ירידה: x > a , x < -a

סעיף ד

סעיף ה1

אסימפטוטות אנכיות: x = a , x = -a

אסימפטוטה אופקית: y = 0

סעיף ה2

סעיף ו

סעיף ז1

x ≠ 0

סעיף ז2

על תחום ההגדרה של הפונקציה יש שתי הגבלות:

הביטוי בתוך השורש צריך להיות אי שלילי, ואסור למכנה להתאפס.

לכן תחום ההגדרה הוא:

x² – a² > 0  / + a²

x² > a²

x > a , x < -a

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא x > a , x < -a

אסימפטוטות אנכיות

למציאת האסימפטוטות האנכיות נבדוק מתי המכנה מתאפס:

x² – a² = 0  / + a²

x² = a²

x₁ = a , x₂ = -a

המונה הוא x, ונתון כי a > 0 לכן המונה לא מתאפס עבור x = a , x = -a.

לכן אסימפטוטות אנכיות: x = a , x = -a

אסימפטוטות אופקיות:

a הוא מספר, לכן בשאיפה לאינסוף או מינוס אינסוף הוא זניח ביחס ל-x² , לכן:

לכן אסימפטוטות אופקיות: y = 1 , y = -1

תשובה סופית:

אסימפטוטות אנכיות: x = a , x = -a

אסימפטוטות אופקיות: y = 1 , y = -1

למציאת תחומי העלייה והירידה נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס לבדוק אם יש חלוקה נוספת חוץ מתחום ההגדרה:

ולסיכום:

לפי תחום ההגדרה מתקיים: x² – a² > 0 וגם:

בנוסף, תמיד מתקיים: a² > 0

לכן 0 > a²-

לכן: f ‘ (x) < 0 עבור כל x בתחום ההגדרה

תשובה סופית:

תחום עלייה: אין

תחומי ירידה: x > a , x < -a

נאסוף את הנתונים הידועים לנו מהסעיפים הקודמים:

תחום ההגדרה הוא x > a , x < -a

אסימפטוטות אנכיות: x = a , x = -a

אסימפטוטות אופקיות: y = 1 , y = -1

תחום עלייה: אין

תחומי ירידה: x > a , x < -a

לכן סקיצת הפונקציה נראית כך:

לפי סקיצת הפונקציה אנו רואים כי שיפוע הגרף שואף למינוס אינסוף עבור x = a , x = -a

לכן לנגזרת יש אסימפטוטות אנכיות ב x = a , x = -a

בנוסף, אנו רואים כי כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף או מינוס אינסוף, הפונקציה שואפץ למספר מסוים, לכן שואפת להיות קבועה(שיפוע אפס)

לכן האסימפטוטה האופקית של הנגזרת היא y = 0.

תשובה סופית:

אסימפטוטות אנכיות: x = a , x = -a

אסימפטוטה אופקית: y = 0

מסעיף ד אנו יודעים כי הנגזרת תמיד שלילית.

בנוסף, מסעיף ה 1 אנו יודעים כי האסימפטוטות של הפונקציה הן:

אסימפטוטות אנכיות: x = a , x = -a

אסימפטוטה אופקית: y = 0

מסקיצת גרף הפונקציה אנו יודעים כי בשתי האסימפטוטות האנכיות הנגזרת שואפת למינוס אינסוף, לכן סקיצת הנגזרת תיראה כך:

לכן הפונקציה אי זוגית, לכן עבור תחום סימטרי מתקיים:

לכן נציב ונקבל:

בסעיף א מצאנו כי תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x > a , x < -a

נציב a = 0:

תחום ההגדרה של הפונקציה: x > 0 , x < -0

ובכתיב יותר נכון: x ≠ 0

בסעיף ג מצאנו כי:

כשנציב a = 0 המונה יתאפס, ולכן:

f ‘ (x) = 0

לכן הפונקציה קבועה עבור a = 0.

בסעיף ב מצאנו כי האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה הן y = 1 , y = -1 ללא תלות ב-a, לכן בגלל שהפונקציה קבועה היא תיראה כך:

סעיף א1

∠PAC = 0.25π

סעיף א2

R = 12

סעיף ב

שטח המשולש המקסימלי הוא 36.

נתון כי אורך הרדיוס הוא R.

AP = R כי זה קטע מהמרכז לקשת המעגל.

נגדיר:

∠PAL = a

לכן לפי טריגונומטריה ב-ΔAPL:

AL = AP * cos a = R * cos a

למציאת השטח הדרוש(הירוק) נמצא את שטח הגזרה הכולל ונחסר ממנו את שטח המשולש.

שטח הגזרה

נתון כי הגזרה היא שישית מעגל שרדיוסו הוא R.

שטח המעגל הוא πR²

לכן שטח הגזרה הוא:

S₁ = πR² / 6

שטח המשולש

את שטח המשולש נחשב לפי הצלעות שמצאנו ונוסחת שטח משולש של טריגונומטריה:

S_ΔAPL = 0.5 * AP * AL * sin ∠PAL

S_ΔAPL = 0.5 * R * R * cos a * sin a

נשתמש בזהות:

sin 2a = 2 sin a * cos a  / : 4

0.25sin 2a = 0.5 sin a * cos a

S_ΔAPL = 0.25R² * sin 2a

לכן נגדיר פונקציה f(a) שהיא השטח הדרוש והיא תהיה:

כאשר תחום ההגדרה הרלוונטי לנו הוא:

0 ≤ a ≤ π / 3

למציאת השטח המינימלי נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס:

f ‘ (a) = -0.25 * 2R² * cos 2a = -0.5R² * cos 2a = 0

cos 2a = 0

מכאן יש שתי אפשרויות:

2a = 0.5π או 2a = -0.5π

גודל של זווית לא יכול להיות שלילי, לכן הפתרון הרלוונטי הוא:

2a = 0.5π  / :2

a = 0.25π

לכן חשודה לקיצון היא a = 0.25π

נוודא שאכן מדובר בנק’ מינימום:

נציב בנגזרת a עבור כל תחום למציאת חיוביות/שליליות הנגזרת:

f ‘ (a) = -0.5R² * cos 2a

f ‘ (0.1π) = -0.5R² * cos 0.2π = -0.4R² < 0

f ‘ (0.3π) = -0.5R² * cos 0.6π = 0.15R² > 0

הזוית עבורה השטח האפור הוא מינימלי היא:

∠PAC = 0.25π

נתון כי השטח האפור המינימלי הוא 24π – 36

בסעיף הקודם מצאנו כי הזוית בה השטח הוא מינימלי היא 0.25π , לכן:

לכן צריך למצוא R המקיים:

וגם

0.25R² = 36

מהמשוואה הראשונה:

R² = 144

מהמשוואה השנייה:

R² = 144

R₁ = 12 , R₂ = -12

רדיוס לא יכול להיות גודל שלילי, לכן הפתרון הרלוונטי הוא R = 12

השטח הירוק הוא מינימלי כאשר שטח המשולש הוא מקסימלי, לכן שטח המשולש הוא מקסימלי כאשר:

∠PAC = 0.25π

בסעיף א 1 מצאנו:

S_ΔAPL = 0.25R² * sin 2a

נציב בנוסחת השטח a = 0.25π ו- R = 12

S_ΔAPL (0.25π) = 0.25 * 12² * sin (2 * 0.25π) = 0.25 * 144 * 1 = 36

תשובה סופית: שטח המשולש המקסימלי הוא 36.