בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון 581 קיץ 2016

סעיף א

s₁₉  = 1064.

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג

a₁  = 56

סעיף ד

11,704

a₄+ a₈ + a₁₂ + a₁₆ = 224

נשתמש בנוסחה לאיבר הכללי על מנת להגדיר משוואה זו רק באמצעות a₁, d.
a₄ = a₁+ 3d
a₈ = a₁+ 7d
a₁₂ = a₁+ 11d
a₁₆ = a₁+ 15d

נציב:
a₄ + a₈ + a₁₂ + a₁₆ = 4a₁ + 36d= 224
a₁ + 9d)4 = 224)

a₁ + 9d = 56  – זו משוואה 1.

נשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית על מנת לחשב את סכום 19 האיברים.

(s₁₉  = 9.5 (2a₁+ 18d

s₁₉  = 19(a₁+ 9d)

נציב את משוואה 1 בביטוי זה:
s₁₉ = 19*56 = 1064
תשובה: s₁₉  = 1064.

s_n = n*a_n

נגדיר את שני צדדי המשוואה בעזרת a₁, d.

נצמצם את n ונקבל:

a₁ + 0.5dn – 0.5d = a₁ + dn – d
0.5d(n – 1)=0

n-1= 0  לא יתכן כי בסדרה קיים a₁₆
0.5d = 0
d=0

אנו יודעים כי:
a₁ + 9d = 56
a₁ + 0 = 56
a₁  = 56

b_n+1 – b_n = a_n + s_n
צריך למצוא את הסכום של:
(b₂– b₁) – (b₃-b₂) + (b₄-b₃) …  + (b₂₀ – b₁₉)

על מנת לחשב את הסכום עלינו להוכיח כי b_n היא סדרה חשבונית.

אנו יודעים כי: s_n = n*a_n

b_n+1 – b_n = a_n + s_n
(b_n+1 – b_n = a_n + n * a_n = a_n * (1+n

נחסר בין שני איברים סמוכים בסדרה b_n על מנת להראות שההפרש הוא מספר קבוע.
(b_n+1 – b_n – (b_n-b_n-1 =
אנו יודעים כי:
(b_n+1 – b_n  = a_n (1+n
b_n-b_n-1 = a_n-1 * n

(a_n (1+n) – (a_n-1 * n

בסדרה a_n הפרש הסדרה הוא 0 ולכן a_n = a_n-1 = 56
a_n (1+n) – (a_n-1 * n = 56 + 56n – 56n = 56

מצאנו כי הפרש הסדרה הוא מספר קבוע ולכן זו סדרה חשבונית שהפרשה הוא 56.
נמצא את האיבר הראשון בסדרה (n=1):
b₂ – b₁ = a_n (1 + n) = 56*2 =112

נציב a₁ = 112, d = 56, n = 19 בנוסחה לסכום סדרה חשבונית.

דרך נוספת לחישוב סכום הסדרה

נשתמש בכך שאנו יודעים שיש בסדרה 19 איברים:
(b₂– b₁) – (b₃-b₂) + (b₄-b₃) …  + (b₂₀ – b₁₉)

ולכן ניתן לחשב כל אחד מיהם ספציפית:
t₁ = b₂-b₁ = a_n (1+n)=56*2=112
t₂ =  b₃-b₂ = a₂ (1+2)=56*3=168

וכך הלאה, כל איבר גדול מקודמו ב 56.
לכן 19 האיברים הם:

112+168+224+280…. = 11,704

סעיף א

0.5

סעיף ב1

0.5

סעיף ב2

0.96875

זאת הטבלה עם הנתונים הפשוטים:

נתון שיש לנו הוא ש 1/8 מנבחני המושבים נכשלו במבחן.
0.4  אלו המושבים.
לכן 1/8 מהמושבים (אלו שנכשלו) הם:
0.05 = 1/8 * 0.4
ואלו שהצליחו הם:
0.35 = 0.4-0.05
נוסיף את הנתונים הללו לטבלה:

עכשיו נעשה שימוש בנתון השני:
“ההסתברות שנבחן מעיר יצליח במבחן גדולה פי 2.5 מההסתברות של נבחן מקיבוץ והצליח במבחן”
נגדיר:
x ההסתברות של “קיבוץ והצליח במבחן” .
2.5x ההסתברות של “עיר והצליח במבחן”.

נשים את הנתונים הללו בטבלה:

אנו יכולים ליצור משוואה:
x + 2.5x + 0.35 = 0.7
3.5x = 0.35
x=0.1

הטבלה המלאה היא:

עכשיו אנו יכולים לענות בקלות יחסית על סעיפי השאלה:

0.3 לא הצליחו בבחינה.
0.15  לא הצליחו בבחינה ואינם מעיר.
p = 0.15 / 0.3 = 0.5

0.7 הצליחו בבחינה.
0.35 מאלו שהצליחו בבחינה אינם ממושב.
לכן ההסתברות לדגום שאינו ממושב בתנאי שהצליח בבחינה היא:
p = 0.35 / 0.7 = 0.5

1. נחשב את ההסתברות המשלימה. זו ההסתברות שבחרנו 5 נבחנים שידוע שהצליחו במבחן ואף אחד מיהם אינו ממושב.
2. 0.5 היא ההסתברות לבחור אדם שאינו ממושב אם ידוע שהאדם הצליח בבחינה.
3. ההסברות לבחור 5  כאלו היא:
   0.5⁵ = 0.03125
4. לכן ההסתברות המבוקשת היא:
   1-0.03125 = 0.96875

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

S_ΔCEF  = 9S / 8

סעיף ג

S / 16

יחס השטחים שווה ליחס הדמיון בריבוע, לכן:

S_ΔFDE = 9S_ΔABE / 16 = 9S / 16

S_ΔCEF = 2S_ΔFDE = 2 * 9S / 16 = 9S / 8

ראשית, נוכיח שהמשולשים ΔBGF ו – ΔEDF דומים

כעת נוכיח ש-AEDG מקבילית ונמצא את אורכי DF , FG:

במשולשים דומים, יחס השטחים שווה ליחס הדמיון בריבוע, לכן:

סעיף א1

TC  = K / 2cos β

סעיף א2

sin (a+β) = 4 sin a cos β

סעיף ב1

°β = 66.42

סעיף ב2

a = 37.37°

cos β = EC / AC
AC = EC / cos β

TC = 0.5AC = K / 2cos β

לפי סכום זוויות במשולש 180°(ΔBTC):

∠BTC + ∠TCB + ∠CBT = 180º

∠BTC = 180 – ∠TCB – ∠CBT = 180 – a – β

נשתמש במשפט הסינוסים במשולש ΔBTC:

sin (180-a-β) = 4 sin a cos β
נשתמש בזהות (sin (180-a-β) =sin (a+β ונקבל:
sin (a+β) = 4 sin a cos β

נסתכל על משולש ΔETC. אנו יודעים בו שתי צלעות, נמצא את השלישית ע”י הצבת k:

TC = K / 2cosβ

ונשתמש במשפט הקוסינוסים:

TE² = TC² + EC² – 2TC * EC * cos ∠TCB

cos²β = 0.16

cosβ = 0.4

°β = 66.42

את a ניתן למצוא על ידי הצבה ב sin (a+β) = 4 sin a cos β:

sin(a + 66.42) = 4 * sin a * cos66.42

נשתמש בזהות:

sin (a + b) = sin a * cos b + sin b * cos a

sin a * cos66.42 + sin66.42 * cos a = 1.6sin a

0.4sin a + 0.92cos a = 1.6sin a  / – 0.4sin a

0.92cos a = 1.2sin a

כעת נשתמש בזהות:

tg a = sin a / cos a

0.763 = tg a

a = 37.37°

תשובה סופית: a = 37.37° , β = 66.42°