תיבה

בדף זה נסכם את החומר בנושא תיבה.
החלקים של דף זה הם:

1. היכרות עם תיבה (מבנה התיבה, שלושת ממדי התיבה)
2. נפח תיבה.
3. פריסה של תיבה.
4. תרגילים.

1.היכרות עם תיבה

א)מבנה התיבה: פיאות ואלכסונים

תיבה היא גוף תלת ממדי המורכב משישה מלבנים.
אני ממליץ לכם לזכור זאת היטב ואם אתם מסתבכים בשאלה התייחסו אל השאלה כאל שאלה בנושא מלבנים.

המלבנים היוצרים את התיבה נקראים פאות וקיימים 6 פאות בתיבה.
צלעות התיבה נקראות מקצועות וקיימים 12 מקצועות בתיבה.

האלכסונים ששני הקודקודים שלהם נמצאים על אותה פאה נקראים “אלכסון פאה” (כמו הקווים האדומים בשרטוט השמאלי).
האלכסונים ששני הקודקודים שלהם נמצאים על פאות שונות נקראים “אלכסון התיבה” (כמו בשרטוט הימני).

ב)תיבה מוגדרת על ידי 3 גדלים

חשוב מאוד: תיבה מוגדרת על ידי שלושה גדלים. זכרו זאת.
בכול שאלה שאתם נשאלים אם תדעו את שלושת הגדלים תוכלו לענות על כל שאלה הקשורה לתיבה.
a – אורך התיבה.
b – רוחב התיבה (ניתן לראות זאת גם כעומק).
h – גובה התיבה.

תיבה ריבועית היא תיבה שבה בסיס התיבה הוא ריבוע ולכן a=b. בתיבה מסוג זה 2 מספרים מגדירים את התיבה כולה.

קובייה היא מקרה מיוחד של תיבה שבו שלושת הגדלים שווים אחד לשני. כלומר:
a=b=h.

• קובייה – הסבר מפורט יותר ותרגילים על צורה זו.

 

 

 

2.נפח שטח פנים ושטח מעטפת

נפח התיבה הוא המכפלה של: אורך כפול הרוחב כפול הגובה.
a * b *h.
שטח הפנים  הוא סכום השטחים של ששת מלבני התיבה.
2ab+2ah+2bh.
שטח המעטפת כולל את ארבעת המלבנים שנמצאים בצדדים (ללא הבסיסים).
2ah+2bh.

באתר יש דפים נפרדים עבור נפח ושטח פנים של תיבה:

• נפח תיבה.
• נפח תיבה סיכום.
• שטח פנים של תיבה.

3.פריסה של תיבה

פריסה של תיבה היא פתיחה התיבה והפיכתה לגוף דו ממדי עם 6 מלבנים.
כיצד תבצעו פריסה נכונה?
אני ממליץ לכם להיכנס לדף שרטוט פריסה של תיבה, יש שם דוגמאות לפריסות נכונות ולא נכונות.

דוגמה לפריסת תיבה.
אם נתונה לנו התיבה הזו:

אז הפריסה שלה יכולה להיות כך:
(ויש אפשרויות נוספות).

4.תרגילים

תרגיל 1: נתונים גדלי התיבה. מה גודלם של המלבנים

בתיבה נתון כי האורך (a) הוא 20 ס”מ, הרוחב הוא (b) הוא 10 ס”מ ואילו הגובה (h) הוא 80 ס”מ.
כתבו את הגדלים של שלושת זוגות המלבנים.

פתרון

אורך * רוחב. 20 * 10 ס”מ.
אורך * גובה 20 * 80 ס”מ.
רוחב * גובה 10 * 80 ס”מ.

תרגיל 2: תיבה מוגדרת על ידי_______ מספרים

אורך הצלעות של זוג מלבנים בתיבה הוא 4 ו 7 ס”מ וזוג מלבנים אחר הוא 7 ו 5 ס”מ.
מה הם אורכי הצלעות של זוג המלבנים השלישי?

פתרון

תיבה מוגדרת על ידי 3 מספרים: אורך, רוחב וגובה. בשאלה נתונים לנו כבר שלושת המספרים (4,5,7) ועלינו למצוא את השילוב שחסר.
4,5 – זו התשובה.

נפח ושטח פנים

תרגיל 1: חישוב שטח פנים כאשר נתונים שטחי מלבני התיבה

נתונה תיבה שבה שטחי המלבנים המרכיבים אותה הם: 10 סמ”ר, 25 סמ”ר, 40 סמ”ר.
א.מה הוא שטח הפנים של התיבה?
ב.אם ידוע כי שטח המלבן העליון הוא 25 סמ”ר. מה שטח מעטפת התיבה?

פתרון
כל מלבן נכלל פעמיים בשטח הפנים לכן שטח הפנים הוא:
(10+25+40)2
2*75=150.
תשובה: שטח הפנים של התיבה הוא 150 סמ”ר.

שטח המעטפת
שטח המעטפת כולל את שטחם של ארבעת המלבנים בצידי התיבה.
=(10+40)2
100.
תשובה: גודל שטח המעטפת הוא 100 סמ”ר.

תרגיל 2: חישוב שטח פנים ונפח על פי 3 ממדי התיבה

נתונה תיבה שבה האורך הוא 2 מטר, הרוחב 4 מטר ואילו הגובה 40 ס”מ.
חשבו את שטח הפנים והנפח של התיבה.

פתרון
לפני שאנו מכנסים מספרים לנוסחאות עלינו לוודא כי היחידות של כל המספרים הן באותן יחידות מדידה.
לכן התרגום של 40 ס”מ הוא 0.4 מטר.

נפח
2*4*0.4=3.2.
תשובה: נפח התיבה הוא 3.2 מ”ק.

שטח פנים
המלבנים הם:
2,4
2,0.4
4, 0.4
(2*4)2 + (2*0.4)2 + (4*0.4)2
2*8+ 2*0.8 + 2*1.6=
3.2+1.6+16=
20.8
תשובה: שטח הפנים של התיבה הוא 20.8 מ”ר.

תרגיל 3: אם מחלקים תיבה לשניים האם הנפח ושטח הפנים נשארים זהים?

נתונה תיבה אשר חצו אותה ל 2 חלקים.

1. האם נפח התיבה משתנה?
2. האם שטח פני התיבה משתנה. ובכמה?

פתרון
נפח התיבה אינו משתנה כאשר מחלקים תיבה לשניים.
שטח פני התיבה גדל משום שלאחר החיתוך נוספו לשטח הפנים שני מלבנים שלא היו חלק משטח הפנים בתיבה השלמה.
בכמה גדל שטח הפנים? זה תלוי במקום שבו חוצים את התיבה. בעיקרון נוספים לשטח הפנים שני מלבנים בגודל שבו נחצתה התיבה.

תרגיל 4: נפח ושטח פנים בבעיה מציאותית

במפעל מייצרים מקררים שאורכם ורוחבם הוא 1 מטר ואילו גובהם הוא 2 מטרים.
חשבו את נפח המקרר.
את המקררים אורזים בקרטון. אם מידות הקרטון הן בדיוק כמו מידות המקרר כמה שטח קרטון צריך על מנת לארוז מקרר מכל צדדיו (כולל למעלה ולמטה)?

פתרון
נפח
1*1*2=2.
תשובה: נפח המקרר הוא 2 מ”ק.

מידות הקרטון העוטף את התיבה הן למעשה שטח הפנים של התיבה.
המלבנים הם: 1,1   1,2   1,2
(2*1)4 + (1*1)2=
10.
תשובה: גודל הקרטון שנדרש על מנת לארוז מקרר הוא 10 מ”ר.

תרגיל 5: בנו תיבה על פי נפח נתון

תנו שתי דוגמאות למידות תיבה שהנפח שלה הוא 50 סמ”ק.

פתרון
אלו מידות אורך, רוחב, גובה לדוגמה. (בס”מ)
10,5,1.   50,1,1.   100,1,0.5.
5,5,2.     2,10,2.5  25,2,1