נפח חרוט ושטח פנים

בדף זה נלמד לחשב נפח ושטח פנים של חרוט.

החלקים של הדף הם:

1. סרטון הסבר.
2. מה הוא חרוט.
3. פריסה של חרוט.
4. נוסחאות נפח ושטח פנים.
5. נפח חרוט תרגילים.

1.סרטון הסבר

 

2.מה הוא חרוט

חרוט הוא גליל שמסתיים בנקודה ולא במעגל שלם.

• המעגל הנמצא בתחתית החרוט נקרא בסיס החרוט.
• הנקודה הנמצאת בקצה החרוט נקראת קודקוד החרוט.
• הקו המחבר את קודקוד החרוט עם נקודה על המעגל נקרא הקו היוצר של החרוט.

3.פריסה של חרוט

פריסה של חרוט נראית כמו השרטוט מימין.
צריך לשים לב שבפריסה חצי העיגול גדול משמעותית מהעיגול השלם שנותר (הבסיס).
לכן השרטוט השמאלי שגוי.

4.נפח ושטח פנים

מחשבים את נפח החרוט כמו את נפח הגליל , שטח הבסיס כפול הגובה. רק שבחרוט מחלקים את התוצאה ב 3.

3 / (V=(₶R²*h – נפח חרוט.
3 / (V=(₶R*R*h נוסחת נפח חרוט ללא שימוש בחזקה על הרדיוס.

נוסף על כך:
שטח מעטפת: R*L*₶
שטח פנים: R*L*₶ + ₶R²

דוגמה לחישוב נפח של חרוט:
רדיוס בסיס חרוט הוא 4 סנטימטר.
גובה החרוט 6 סנטימטר.
חשבו את נפח החרוט

פתרון
נציב את כל המספרים בנוסחה
3 / (V=(₶R*R*h
ונקבל:

תשובה: נפח החרוט הוא 33.49 סמ”ק.

5.נפח חרוט תרגילים

במהלך הפתרון את יכולים להשאיר את המספר  ₶ כפי שהוא ואין צורך להציב 3.14 במקומו.
התרגילים בסרטוני הוידאו ובטקסט זהים.

תרגיל 1: חישוב נפח

חשבו את נפחו של של חרוט שרדיוס בסיסו הוא 6 ס”מ וגובהו 10 ס”מ.

פתרון
שטח הבסיס הוא:
6²₶
36₶
360₶=10 * 36₶
120₶=360₶:3
376.8 = 3.14 * 120
תשובה: נפח החרוט הוא 120₶ סמ”ק (או 376.8 סמ”ק).

תרגיל 2: חישוב נפח ושטח פנים על פי קוטר

קוטרו של בסיס החרוט הוא 10 ס”מ וגובה החרוט הוא 10 ס”מ.
חשבו את נפחו של החרוט.

פתרון
חישוב נפח
חשוב לזכור שעל מנת לחשב את שטח הבסיס – עיגול
עלינו להשתמש ברדיוס ולא בקוטר.
r=10:2=5    רדיוס החרוט
s=₶r²=25₶    שטח בסיס החרוט.
83.33₶ = 3 / 250₶ = 3 / 10 * 25₶
261.65 = 3.14 * 83.33
תשובה: נפח החרוט הוא 83.33₶ סמ”ק (או 261.65).

תרגיל 3: יודעים את הנפח, חשבו את הגובה

נפחו של חרוט הוא 30₶ סמ”ק. ידוע כי שטח בסיס החרוט הוא 10₶. חשבו את גובה החרוט.

פתרון
אם נפחו של חרוט הוא 30₶ אז מכפלת הגובה בשטח הבסיס צריכה להיות 90₶ – כי בנוסחת הנפח מחלקים ב 3.
שטח הבסיס הוא 10₶. לכן צירך להתקיים:
90₶  = _____  * 10₶
המספר החסר הוא 9.
תשובה: גובה החרוט הוא 9 ס”מ.

תרגיל 4: נפח חרוט לעומת נפח גליל

שטח בסיס חרוט ובסיס גליל הוא 12 סמ”ר.
הגובה בשני הגופים הוא 9 ס”מ.

1. האם הנפח של שני הגופים זהה?
2. אם לא בצעו שינוי שיהפוך את הנפחים לשווים.

פתרון
נפח גליל שווה לשטח הבסיס כפול הגובה.
נפח חרוט שווה לשטח הבסיס כפול הגובה לחלק ב 3.
לכן נפח הגליל יהיה גדול פי 3 מנפח החרוט.

חלק שני: מה לעשות על מנת שהנפחים יהיו שווים.
על מנת להפוך את הנפחים לשווים ניתן להגדיל את גובה החרוט פי 3 ל 27 ס”מ. או להקטין את גובה הגליל  פי 3 ל 3 ס”מ.

אפשרות אחרת היא לשנות את רדיוס הגליל / חרוט אבל זה מורכב יותר כי הרדיוס נמצא בחזקת 2 בנוסחת הנפח.

 

תרגיל 5: נפח חרוט שמילאו במים

נתון חרוט שגובהו 6 ס”מ ואורך רדיוס בסיסו הוא 5 ס”מ.
שפכו לתוך החרוט מים בנפח 35₶ סמ”ק.
חשבו את נפח החרוט שנוצר.

פתרון
לפני שפיכת המים:

נפח החרוט השלם הוא:

3 / (V=(₶R²*h

3 / (V=(₶*5²*6

3 / (V=(₶*150
₶V = 50

לאחר ששפכו מים בנפח 35₶ סמ”ק:

נוצר חרוט בשטח הריק.
נפחו הוא נפח החרוט השלם פחות נפח המים ולכן:

50₶-35₶ = 15₶

נפח החרוט שנוצר הוא 15₶.

עוד באתר:

1. מבחן בנושא נפח חרוט.
2. חישוב נפח של צורות שונות.
3. נפח תיבה, הסבר ותרגילים.