פתרון מלא לבחינת הבגרות בשאלון 382 קיץ 2017

בדף זה הצעה לפתרון מלא לבחינת הבגרות במתמטיקה שאלון 382 קיץ 2017 מועד א.

בדף זה פתרון בגרות שאלון 382 (לשעבר 803) קיץ 2019.

את החומר ניתן ללמוד בדפים הבאים:

תשובות סופיות

1. א) מחיר האופניים הרגילים לפני ההוזלה הוא 6000 שקלים.
ב) אופני השטח יקרות ב 508.88 שקלים.

2. א) (B (4,00.
(C(14,0.
ב) (D( 13, -3
משוואת BD היא y= -0.333x + 1.3333.
ג) מכפלת השיפועים היא 1-.
ד) שטח המשולש הוא 30 יחידות ריבועיות.
ה) פי 2.

3. א) אורכו של הרדיוס הוא 5.
משוואת המעגל היא: x-4)² + (y-5)² = 25)
ב) (B (2,0) A (8,0
ג) (C (6,10.
ד) היקף המשולש הוא 20.12 יחידות.

4. א) תחום ההגדרה הוא x≠0.
ב) נקודת המינימום היא (4,4). נקודת המקסימום היא (12- , 44-).
ג) פונקציה יורדת כאשר x<4 וגם x>0 או x>-4 וגם x<0.
הפונקציה עולה כאשר x>4 או x<-44.
ד)

5. א) שיפוע המשיק הוא 2-.
משוואת המשיק היא y= -2x +22.
ב) (B (1,0
ג) x=3 בנקודה C.
ד) השטח המוגבל שווה ל 177 יחידות.

6. א) עבור x=1 ההפרש הוא מקסימלי.
ב) אורך אלכסון AC הוא 5√.

פתרונות מלאים

שאלה 1: בעיית קנייה ומכירה עם אחוזים

נגדיר:
x – מחיר האופניים הרגילים.
x+300 – מחיר האופניים היקרים.

0.12*(x+300) – הסכום שבו עלה מחיר אופני השטח.
0.18x – הסכום שבו ירד מחיר האופניים הרגילים.

הסכומים הללו שווים ולכן המשוואה היא:
(0.18x = 0.12*(x+300
0.18x = 0.12x + 36 /-0.12x
0.06x = 36 /:0.06
x = 600
תשובה: מחיר האופניים הרגילים לפני ההוזלה הוא 600 שקלים.

ב. 1.12*(x+300) – המחיר החדש של אופני השטח.
1108.8= 1.12 * 900
508.8 = 1108.8-600
תשובה: אופני השטח יקרות ב 508.8 שקלים.

עוד על בעיות קנייה ומכירה 3 יחידות.

שאלה 2: גיאומטריה אנליטית

א. הנקודה B היא נקודת החיתוך של הישר y= – 0.75x +3 עם ציר ה x.
בנקודה B מתקיים y=0. נציב זאת במשוואת הישר:
3-0.75x = 0 /+0.75x
3= 0.75x
x=4
תשובה: (B (4,0.

המרחק BC הוא 10 ושתי הנקודות נמצאות על ציר ה x לכן (C(14,0.

ב. על מנת למצוא את BD נמצא את D על ידי הנוסחה לאמצע קטע ואז נבנה משוואת ישר על פי שתי נקודות (נקודות B ו D).
מציאת הנקודה D, שהיא האמצע של AC.
(A( 12, -6) C(14,0
ערך ה X של D הוא:
2 / (12+14)
13 = 2 / 26.

ערך ה Y של D הוא:
2 / (0-6)
3 – = 2 / 6.
הנקודה (D( 13, -3

נמצא את משוואת הישר BD.
(B (4,0) , D( 13, -3
השיפוע:
(4-13) / (0+3)
0.333 – = 9- / 3

נשתמש בנקודה (B (4,0 למציאת משוואת הישר.
(y – 0 = 0.333(x-4
y= 0.333x – 1.333
תשובה משוואת BD היא y= 0.333x – 1.333.

ג. (A( 12, -6) C(14,0
נמצא את השיפוע של AC.
(14-12) / (0+6)
3 = 6/2

מכפלת השיפועים של AC ו BD היא
1- = 3*0.33-
אם מכפלת השיפועים היא 1- אז הישרים מאונכים.

ד. נחשב את האורכים של AC ו BD על פי הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.
אורכו של AC הוא: (A( 12, -6) C(14,0
d² = (14-12)² + (0+6)²
d² = 2² +6² = 40
d=√40

אורכו של BD הוא: (B (4,0) , D( 13, -3
p² = (4-13)² + (0+3)² = (-9)²+3² = 90
p=√90

שטח המשולש הוא:
S = (√90 * √40) /2 = 60/2= 30
תשובה: שטח המשולש הוא 30 יחידות ריבועיות.

הערה: ניתן לפתור שאלה זו בקצרה על ידי שימוש בנתון כי BC=10 וכי המרחק בין הנקודה C לציר ה X הוא 6. לכן השטח הוא:
30 = 2 / 6*10
הבעיה היא שדרך זו נשענת גם על הסברים מילוליים ולא תמיד הם מדויקים.

ה. עבור שני המשולשים הגובה לצלע הוא אותו גובה: BD.
הבסיס של משולש ABC כפול באורכו מהבסיס של משולש BCD (כי BD הוא תיכון ל AC). ומכוון ששטח משולש הוא מכפלת הגובה בבסיס חלקי 2 אז שטח משולש ABC כפול בגודלו.

שאלה 3: גיאומטריה אנליטית מעגל

א. הישר MD מאונך לציר X ולכן ערכי ה X בנקודות שעליו אינם משתנים והם 4.
ערך ה Y בנקודה D שעל ציר ה X הוא 0.
(D (4,0) M( 4,5
המרחק בין הנקודות הוא על ציר ה y בלבד והוא 5-0 = 5
לכן אורכו של הרדיוס הוא 5.

משוואת המעגל היא:
x-4)² + (y-5)² = 25)

ב. בנקודות החיתוך עם ציר ה Y מתקיים x=0. נציב זאת במשוואת המעגל.
y-5)² + (0-4)² = 25)
y² -10x +25 +16=25 /-25
y²-10x +16 =0
x-2) * (x-8) =0)
x=2, x=8
(B (2,0) A (8,0

ג. אם BC הוא קוטר אז M הוא האמצע של BC. נשתמש בנוסחה למציאת אמצע קטע לצורך מציאת הנקודה C.
(M( 4,5) B (2,0
ערך ה X של C הוא:
4 = 2 / (x+2)
x+2 = 8 /-2
x=6
ערך ה Y של C הוא:
5 = 2 / (0+y)
10 = y
תשובה: (C (6,10.

ד. הישרים CM, DM הם רדיוסים ולכן אורך כל אחד מיהם הוא 5.
נחשב את אורכו של CD על פי הנוסח למרחק בין שתי נקודות.
(D (4,0) C (6,10
d² = (10-0)² + (6-4)²
d² = 10² +2² =100+4=104
d= √104 = 10.12
היקף המשולש:
20.12 = 5+5+10.12
תשובה: היקף המשולש הוא 20.12 יחידות.

עוד בנושא גיאומטריה אנליטית 3 יחידות.

תרגיל 4: חקירת פונקציה רציונלית

א. תחום ההגדרה הוא x≠0.

ב. f(x) = x-4 + 16/x
f ‘(x) =1-16/x²
בנקודות הקיצון הנגזרת שווה ל 0.
f ‘ (x) =1-16/x² = 0
x² = 16
x=4, x= -4

בעזרת הנגזרת השנייה נבדוק אם זו נקודת מינימום או מקסימום.
f ” (x) = -3*-16 / x³ =48 / x³
f ” (4) = 48 / 4³ >0
לכן כאשר x=4 זו נקודת מינימום.
f ” (-4) = 48 / (-4)³ <0
לכן כאשר x= -4 זו נקודת מקסימום.

נמצא את ערכי הפונקציה כאשר x=4, x= -4.
f(4) = 4-4 + 16/4 = 4
f(-4) = -4-4 + 16/-4 = -12
תשובה: נקודת המינימום היא (4,4). נקודת המקסימום היא (12- , 4-).

ג. נקודת אי ההגדרה של הפונקציה היא x=0.
מימין לנקודת המינימום הפונקציה עולה ולכן x>4 עולה.
משמאל למינימום ועד לנקודת אי ההגדרה הפונקציה יורדת ולכן x<4 וגם x>0 הפונקציה יורדת.
מימין למקסימום ועד לנקודת אי ההגדרה הפונקציה יורדת לכן x>-4 וגם x<0 הפונקציה יורדת.
משמאל למקסימום הפונקציה עולה ולכן x<-4 עולה.
לסיכום: הפונקציה יורדת כאשר x<4 וגם x>0 או x>-4 וגם x<0.
הפונקציה עולה כאשר x>4 או x<-4.

ד. סקיצה של הפונקציה נראית כך:

תרגיל 5: משיק ואינטגרל

f(x) = x² +3
f ‘ (x) = 2x
f ‘ (-1) = 2*-1 = -2
תשובה: שיפוע המשיק שווה לשיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה לכן שיפוע המשיק הוא 2-.

נמצא את ערך הפונקציה כאשר x= -1.
f (-1) = (-1)² +3 = 4
נקודת ההשקה היא (4, 1-).
נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.
(y-y₁ = m (x-x₁
(y-4 = -2(x+1
y-4 = -2x -2 /+4
y= -2x +2
תשובה: משוואת המשיק היא y= -2x +2.

ב. בנקודת החיתוך y=0.
2-2x = 0 / +2x
2x=2 /:2
x=1
תשובה: (B (1,0

ג. נציב y=12 במשוואת הפונקציה.
12 = x² +3
x²=9
x=3, x=-3
תשובה: מכוון ש C נמצאת ברביע הראשון x=3 בנקודה זו.

ד. נחשב את השטח שבין הפונקציה לציר ה X בין 0 ל 3.
(בגלל בעיות טכניות לא ניתן לכתוב אינטגרל במערכת האתר כמו שצריך לכן זה יכתב אחרת ממה שאתם שצריכים לכתוב בבחינה)
x² +3 = 3x+x³ /3∫
(0) – (3 / 3³ +3*3)
18 = 9 +9

נחסר משטח זה את שטח המשולש שנוצר על ידי המשיק. -2x +2
2-2x = 2x -x² ∫
(0) – (1- 2*1)
1= 2-1
17 = 18-1.
תשובה: השטח המוגבל שווה ל 17 יחידות.

עוד על אינטגרלים 3 יחידות.

תרגיל 6: בעיית מינימום מקסימום

הפונקציה המבטאת את הפרש הצלעות היא:
f (x) = 2 √x – x
נמצא את נקודת המקסימום של הפונקציה
f ‘ (x) = 2 *0.5 / √x -1 = 1/√x – 1
f ‘ (x) = 1/√x – 1 =0
x =1√
x=1

נבדוק אם זו נקודת מינימום או מקסימום על ידי בדיקת ערך הנגזרת בסביבת הנקודה.
עבור x=0.5
f'(0.5) = 1 / √0.5 -1>0
לכן כאשר x =0.5 הפונקציה עולה.
עבור x=1.5
f ‘ (1.5) = 1/ √1.5 -1 <0
לכן כאשר x=1.5 הפונקציה יורדת.
מצאנו כי הפונקציה עולה מימין ויורדת משמאל לנקודה x=1 לכן זו נקודת מקסימום.

ב. צלעות המלבן הן:
AB=1, BC=2. על פי משפט פיתגורס במשולש ABC :
AC² = AB² + BC ²
AC² = 1+2² =5
AC=√5
תשובה: אורך אלכסון AC הוא 5√.

לומדים מתמטיקה