סטיית תקן: איך לחשב סטיית תקן

בדף זה נלמד על סטיית תקן.

החלקים של דף זה הם:

1. סרטוני הסבר.
2. היכרות וחישוב בסיסי של סטיית תקן.
3. חישוב סטיית תקן לנתונים בטבלה.
4. תרגילים.
5. שאלות מילוליות שיכולים לשאול אותכם על סטיית תקן.
6. חישוב סטיית תקן בתוך תרגילי התפלגות נורמלית.

חלקים 1-3 הם החלקים שמלמדים את העיקר.

1.סרטוני הסבר

2.היכרות וחישוב בסיסי של סטיית תקן

מהיא סטיית תקן?

סטיית תקן היא מדד סטטיסטי שנועד לתת לנו מידע עד כמה הנתונים הם "מפוזרים".
למשל, נסתכל על ציונים של תלמידים בכיתה:

1.     4, 4, 10
2.    6,  6,  6

הממוצע של שתי הקבוצות הוא 6 אבל בקבוצה אחת יש תלמידים עם פער גדול בציונים ובקבוצה השנייה יש 3 תלמידים עם ציונים שווים.

אם היו אומרים לנו רק את הממוצע של הקבוצות הללו לא היינו יכולים להבדיל בניהם.
כאשר יגידו לנו גם את סטיית התקן נוכל לדעת שאלו קבוצות שונות.

2.שלבי חישב סטיית תקן:

1. נחשב את הממוצע של המספרים.
2. נחשב את המרחק של כל מספר מהממוצע ונעלה את המרחק בריבוע. (אם הממוצע הוא x והמספר הוא c אז
   c – x)²) ).
3. נחבר את ריבועי המרחקים ונחשב את הסכום.
4. נחלק את הסכום במספר המספרים.
5. נוציא שורש ונקבל את סטיית התקן.

3.דוגמה:

חשבו את סטיית התקן של קבוצה המספרים 1,6,8,9.

פתרון
נחשב את הממוצע של ארבעת המספרים:
24 = 9 + 8 + 6 + 1
הממוצע הוא:
6 = 4 : 24

סכום ריבועי המרחקים של המספרים הללו מהמספר 6 הוא:

נבצע את הפעולות שבתוך הסוגריים:

נחבר ונכתוב תשובה:

תשובה: סטיית התקן שווה ל 3.08.

3.חישוב סטיית תקן לנתונים בטבלה

אם הטבלה שלנו היא כזו:

ציונים	x4	x3	x2	x1
מספר התלמידים	f4	f3	f2	f1

והממוצע הוא x, אז סטיית התקן s נתונה על ידי הנוסחה:

שימו לב: המונה מייצג את סכום ריבועי המרחקים מהממוצע.
המכנה מייצג את מספר התלמידים.

דוגמה
חשבו את סטיית התקן של הנתונים בטבלה הבאה:

ציון	90	80	70
מספר התלמידים	22	10	4

פתרון
נחשב את ממוצע הציונים.
3060 = 22 * 90 + 10 * 80 + 70 * 4
מספר התלמידים הוא:
36 = 22 + 10 + 4
הממוצע הוא:
85 = 36 : 3060

נחשב את המרחק של כל קבוצת ציונים מהממוצע.
המרחק של הקבוצה שקיבלה 90:
550 = ²(85 – 90) *22

הקבוצה שקיבלה 80:
250 = ²(85 – 80) * 10

הקבוצה שקיבלה 70:
900 = ²(85 – 70) * 4

בשורה אחת היינו כותבים את החישובים הללו כך.
זה סכום ריבועי המרחקים של הקבוצות מהממוצע:

נבצע פעולות בתוך הסוגריים:

נחבר ונכתוב תשובה סופית.

תשובה: סטיית התקן של המספרים היא 6.87.

בדף סטיית תקן, תרגילים נוספים (וגם בדף זה בהמשך).

4.תרגילים

בחלק זה שני תרגילים.

תרגיל 1
נתונה טבלה המציגה ציונים ומספר תלמידים שקיבל כל ציון.
חשבו את סטיית התקן של הציונים.

מספר התלמידים	12	10	8	2
הציון	90	80	70	60

פתרון
נחשב את הממוצע של הציונים:
2560 = 12 * 90 + 10 * 80 + 8 * 70 + 2 * 60
מספר הציונים הוא:
32 = 12 + 10 + 8 + 2
הממוצע הוא:
80 = 32 / 2560

נחשב את סטיית התקן
יש כאלו שנוח להם לבצע את החישובים בשורות מתחת לטבלה המקורית.

מספר התלמידים	12	10	8	2
הציון	90	80	70	60
המרחק מהממוצע	²(80 – 90)* 12	²(80 – 80)* 10	²(80 – 70)* 8	²(80 – 60) * 2
התוצאה	1200	0	800	800

סטיית התקן היא:

תרגיל 2

נתונה קבוצת המספרים:

הציון	90	85	80	75
מספר התלמידים	12	7	x	5

ידוע כי הממוצע הוא 85. חשבו את

1. מספר התלמידים שקיבל ציון 80.
2. את החציון.
3. את סטיית תקן.

פתרון

הממוצע הוא:

מספר התלמידים הוא:
x + 5 + 7 + 12 = x + 24
סכום הציונים הוא:
80x + 75*5 + 85 * 7 + 90 * 12 = 80x + 2050

אנחנו יודעים שהממוצע הוא 85, לכן המשוואה היא:

(80x + 2050 = 85(x + 24
80x + 2050 = 85x + 2040  / -80x – 2040
5x = 10  / :5
x = 2
תשובה: מספר התלמידים שקיבל את הציון 80 הוא 2.

נחשב את סטיית התקן.

הציון	90	85	80	75
מספר התלמידים	12	7	x	5

500 = ²(85 – 75) * 5
50 = ²(85 – 80) * 2
0 = ²(85 – 85) * 7
300 = ²(85 – 95) * 12
סכום המרחקים הוא:
850 = 300 + 0 + 50 + 500

לכן סטיית התקן היא:

תשובה: סטיית התקן היא 5.717.

5.שאלות מילוליות על סטיית תקן

במהלך השאלות על סטיית תקן יבקשו ממכם לחשב את סטיית התקן ובנוסף יתכן כי יתנו לכם שאלה מילולית.
שאלה כמו אחת מהשאלות הבאות.

שאלה 1
חישבו את ממוצע המשקל של 20 ארגזי עגבניות ומצאו כי המשקל הממוצע הוא 14 ק"ג וסטיית התקן היא 2.
הוסיפו ארגז עגבניות נוסף וממוצע המשקל של ארגזי העגבניות לא השתנה.
האם סטיית התקן השתנתה?

פתרון
אם הממוצע לא השתנה זה אומר שמשקל ארגז העגבניות החדש הוא 14 ק"ג, בדיוק כמו הממוצע.
סטיית התקן מבטאת את המרחק מהממוצע ומשקל הארגז שנוסף הוא במרחק 0 מהממוצע.
לכן סטיית התקן תקטן לאחר תוספת הארגז החדש.

שאלה 2
בכיתה ממוצע המבחן בהיסטוריה היה 72 וסטיית התקן הייתה 8.
המורה החליט להוסיף 5 נקודות לכל תלמיד.
האם הממוצע ישתנה?
האם סטיית התקן תשתנה?

פתרון
כאשר מעלים 5 נקודות הממוצע יעלה ב 5 נקודות, הממוצע יהיה 77.

סטיית התקן
סטיית התקן לא תשתנה.
המרחק של כל ציון מהממוצע לא ישתנה.
ניקח לדוגמה תלמיד שקיבל 80.
לפני התוספת המרחק של תלמיד זה מהממוצע הוא:
8 = 72 – 80
לאחר התוספת הציון של התלמיד הוא 85 והממוצע 77.
המרחק של התלמיד מהממוצע הוא:
8 = 77 – 85.
לכן סטיית התקן לא תשתנה.

שאלה 3
(שאלה זו לא הכרחית לתלמידי תיכון).
ממוצע מספרים הוא 70 וסטיית התקן היא 5.
מכפילים את כל המספרים פי 2.
האם וכיצד הממוצע ישתנה?
האם וכיצד סטיית התקן תשתנה?

פתרון
כאשר מכפילים פי 2 את הציונים גם הממוצע יגדל פי 2.

סטיית התקן
סטיית התקן תגדל, כי המרחק של כל אחד מהציונים (מלבד אלו שקיבלו בדיוק את הציון הממוצע יגדל).
ניקח כדוגמה את המספר 60.
לפני ההכפלה המרחק שלו מהממוצע הוא:
10- = 70 – 60
לאחר ההכפלה המספר הופך ל 120 והממוצע ל 140.  המרחק הוא:
20 – = 140 – 120
אנו רואים שלאחר ההכפלה המרחק של ציון מהממוצע גדל, לכן גם סטיית התקן גדלה.

לסיכום השאלות המילוליות:

• הוספת נתון חדש: כאשר המרחק של הנתון החדש מהממוצע שווה לממוצע המרחקים של כל הנתונים סטיית התקן לא תשתנה
  כאשר המרחק מהממוצע גדול יותר – סטיית התקן תגדל
  ולהפך תקטן
• כאשר מוספים לכל איברי הקבוצה מספר קבוע סטיית התקן לא משתנה.
• כאשר מכפילים במספר גדול מ 1 את כל איברי הקבוצה סטיית התקן גדלה (ובתנאי שסטיית התקן היא לא 0).

6.חישוב סטיית תקן בהתפלגות נורמלית