סטיית תקן: אך לחשב סטיית תקן

בדף זה:

  1. למה צריך סטיית תקן?
  2. חישוב סטיית תקן. הסבר ותרגילים.
  3. שאלות מילוליות שיכולים לשאול אותכם על סטיית תקן.
  4. חישוב סטיית תקן בתוך תרגילי התפלגות נורמלית.
  5. דפים נוספים באתר: ממוצע, בגרות במתמטיקה 3 יחידות.

1.למה צריך סטיית תקן?

נסתכל על שתי קבוצות המספרים
49,50,51
0,50,100
לשתי קבוצות המספרים יש ממוצע שווה (50).
אבל בקבוצה הראשונה המספרים קרובים אחד לשני ובקבוצה השנייה רחוקים.

סטטיסטיקאים חיפשו מדד שיגיד להם מתי המספרים קרובים אחד לשני ומתי רחוקים.
סטיית התקן עושה את זה.
כאשר סטיית התקן גדולה זה אומר שהמספרים מפוזרים, קיימים פערים גדולים בניהם.
כאשר סטיית התקן קטנה זה אומר שהמספרים סמוכים אחד לשני.
נהוג לסמן את סטיית התקן באות s.

2. חישוב סטיית תקן

שלבי חישוב סטיית התקן של קבוצת מספרים:

  1. נחשב את הממוצע של המספרים.
  2. נחשב את המרחק של כל מספר מהממוצע ונעלה את המרחק בריבוע. (אם הממוצע הוא x והמספר הוא c אז
    c – x)²) ).
  3. נחבר את ריבועי המרחקים ונחשב את הסכום.
  4. נחלק את הסכום במספר המספרים.
  5. נוציא שורש ונקבל את סטיית התקן.

לדוגמה, מצאו את סטיית התקן של המספרים:
5,10,15,25

פתרון
1.נחשב את הממוצע
15 = 4 / (25 + 15 + 10 + 5)
2. נחשב את המרחק של כל מספר מהממוצע ונעלה בריבוע.
100 = ²(10-) = ²(15 – 5)
25 = ²(5-) = ²(15 – 10)
0 = ²(15 – 15)
100 = ²(10) = ²(15 – 25)
3. סכום ריבועי המרחקים הוא:
225 = 100 + 0 + 25 + 100
4. נחלק במספר המספרים (מספר האיברים, 4)
56.25 = 4 / 225
s = √56.25 = 7.5

תשובה: סטיית התקן של המספרים היא 7.5

פתרון של התרגיל במשוואה אחת היה נראה כך:

חישוב סטיית תקן

חישוב סטיית תקן עבור נתונים בטבלה

אם הטבלה שלנו היא כזו:

מספר התלמידים f4 f3 f2 f1
הציונים x4 x3 x2 x1

והממוצע הוא x, אז סטיית התקן s נתונה על ידי הנוסחה:

נוסחה לחישוב סטיית תקן

נוסחה לחישוב סטיית תקן

שימו לב: המונה מייצג את סכום ריבועי המרחקים מהממוצע.
המכנה מייצג את מספר התלמידים.

תרגיל 1

נתונה טבלה המציגה ציונים ומספר תלמידים שקיבל כל ציון.
חשבו את סטיית התקן של הציונים.

מספר התלמידים 12 10 8 2
הציון 90 80 70 60

פתרון
נחשב את הממוצע של הציונים:
2560 = 12 * 90 + 10 * 80 + 8 * 70 + 2 * 60
מספר הציונים הוא:
32 = 12 + 10 + 8 + 2
הממוצע הוא:
80 = 32 / 2560

נחשב את סטיית התקן
יש כאלו שנוח להם לבצע את החישובים בשורות מתחת לטבלה המקורית.

מספר התלמידים 12 10 8 2
הציון 90 80 70 60
המרחק מהממוצע ²(80 – 90)* 12 ²(80 – 80)* 10 ²(80 – 70)* 8 ²(80 – 60) * 2
התוצאה 1200 0 800 800

סטיית התקן היא:

חישוב סטיית התקן 9.354

תרגיל 2

נתונה קבוצת המספרים:

הציון 90 85 80  75
מספר התלמידים 12 7 x  5

ידוע כי הממוצע הוא 85. חשבו את

  1. מספר התלמידים שקיבל ציון 80.
  2. את החציון.
  3. את סטיית תקן.

פתרון

הממוצע הוא:
חישוב ממוצע

מספר התלמידים הוא:
x + 5 + 7 + 12 = x + 24
סכום הציונים הוא:
80x + 75*5 + 85 * 7 + 90 * 12 = 80x + 2050

אנחנו יודעים שהממוצע הוא 85, לכן המשוואה היא:
חישוב ממוצע התרגיל

(80x + 2050 = 85(x + 24
80x + 2050 = 85x + 2040  / -80x – 2040
5x = 10  / :5
x = 2
תשובה: מספר התלמידים שקיבל את הציון 80 הוא 2.

נחשב את סטיית התקן.

הציון 90 85 80  75
מספר התלמידים 12 7 x  5

500 = ²(85 – 75) * 5
50 = ²(85 – 80) * 2
0 = ²(85 – 85) * 7
300 = ²(85 – 95) * 12
סכום המרחקים הוא:
850 = 300 + 0 + 50 + 500

לכן סטיית התקן היא:
חישוב סטיית התקן

תשובה: סטיית התקן היא 5.15.

3. שאלות מילוליות על סטיית תקן

במהלך השאלות על סטיית תקן יבקשו ממכם לחשב את סטיית התקן ובנוסף יתכן כי יתנו לכם שאלה מילולית.
שאלה כמו אחת מהשאלות הבאות.

שאלה 1
חישבו את ממוצע המשקל של 20 ארגזי עגבניות ומצאו כי המשקל הממוצע הוא 14 ק"ג וסטיית התקן היא 2.
הוסיפו ארגז עגבניות נוסף וממוצע המשקל של ארגזי העגבניות לא השתנה.
האם סטיית התקן השתנתה?

פתרון
אם הממוצע לא השתנה זה אומר שמשקל ארגז העגבניות החדש הוא 14 ק"ג, בדיוק כמו הממוצע.
סטיית התקן מבטאת את המרחק מהממוצע ומשקל הארגז שנוסף הוא במרחק 0 מהממוצע.
לכן סטיית התקן תקטן לאחר תוספת הארגז החדש.

שאלה 2
בכיתה ממוצע המבחן בהיסטוריה היה 72 וסטיית התקן הייתה 8.
המורה החליט להוסיף 5 נקודות לכל תלמיד.
האם הממוצע ישתנה?
האם סטיית התקן תשתנה?

פתרון
כאשר מעלים 5 נקודות הממוצע יעלה ב 5 נקודות, הממוצע יהיה 77.

סטיית התקן
סטיית התקן לא תשתנה.
המרחק של כל ציון מהממוצע לא ישתנה.
ניקח לדוגמה תלמיד שקיבל 80.
לפני התוספת המרחק של תלמיד זה מהממוצע הוא:
8 = 72 – 80
לאחר התוספת הציון של התלמיד הוא 85 והממוצע 77.
המרחק של התלמיד מהממוצע הוא:
8 = 77 – 85.
לכן סטיית התקן לא תשתנה.

שאלה 3
(שאלה זו לא הכרחית לתלמידי תיכון).
ממוצע מספרים הוא 70 וסטיית התקן היא 5.
מכפילים את כל המספרים פי 2.
האם וכיצד הממוצע ישתנה?
האם וכיצד סטיית התקן תשתנה?

פתרון
כאשר מכפילים פי 2 את הציונים גם הממוצע יגדל פי 2.

סטיית התקן
סטיית התקן תגדל, כי המרחק של כל אחד מהציונים (מלבד אלו שקיבלו בדיוק את הציון הממוצע יגדל).
ניקח כדוגמה את המספר 60.
לפני ההכפלה המרחק שלו מהממוצע הוא:
10- = 70 – 60
לאחר ההכפלה המספר הופך ל 120 והממוצע ל 140.  המרחק הוא:
20 – = 140 – 120
אנו רואים שלאחר ההכפלה המרחק של ציון מהממוצע גדל, לכן גם סטיית התקן גדלה.

לסיכום השאלות המילוליות:

  • כאשר מוסיפים לקבוצת מספרים ציון שגודלו שווה לממוצע סטיית התקן קטנה (ובתנאי שסטיית התקן היא לא 0).
  • כאשר מוספים לכל איברי הקבוצה מספר קבוע הציון לא משתנה.
  • כאשר מכפילים במספר גדול מ 1 את כל איברי הקבוצה סטיית התקן גדלה (ובתנאי שסטיית התקן היא לא 0).

4. חישוב סטיית תקן בהתפלגות נורמלית

הנושא של סטיית התקן מופיע בשאלות על התפלגות נורמלית.
מספר דוגמאות לחישוב סטיית תקן בשאלות התפלגות נורמלית.

  • אם אתם מרגישים שאתם לא יודעים לקרוא את ההתפלגות הנורמלית עצה או רוצים שאלות מסוגים נוספים בקרו בדף התפלגות נורמלית.

תרגיל 1
קבוצת מספרים מתפלגת נורמלית עם ממוצע 12.
הציון הנמצא שתי סטיות תקן מתחת לממוצע הוא 7.
חשבו את סטיית התקן.

פתרון
בהתחלה יופיע פתרון ללא שרטוט ולאחר מיכן השרטוט.

המרחק של המספר (7) מהממוצע הוא:
5 – = 12 – 7
המרחק הוא גם 2- סטיות תקן. לכן:
2s = -5  / : -2-
s = 2.5
תשובה: סטיית התקן שווה ל 2.5.

ההפרש בין המספרים הוא 5 שהם גם 2 סטיות תקן

ההפרש בין המספרים הוא 5 שהם גם 2 סטיות תקן

תרגיל 2
קבוצה מספרים מתפלגת נורמלית.
המספר שרק 2% נמצאים מעליו הוא 18. המספר הנמצא 34% מתחת לממוצע הוא 6.
חשבו את סטיית התקן.
חשבו את הממוצע.

פתרון
חישוב סטיית התקן.
נמצא את המיקום של המספרים 18 ו 6 על ההתפלגות הנורמלית.
2% נמצאים מעל 2 סטיות תקן מעל הממוצע ולכן 18 נמצא 2 סטיות תקן מעל הממוצע.
34% מתחת לממוצע זה 1 סטיות תקן מתחת לממוצע ולכן 6 נמצא שם.

המספרים 6 ו 18 על ההתפלגות הנורמלית

המספרים 6 ו 18 על ההתפלגות הנורמלית

המרחק בין המספרים הוא:
12 = 6 – 18
המרחק בין המספרים הוא 3 סטיות תקן. לכן סטיית תקן אחת שווה ל:
4  = 3 : 12

חישוב הממוצע
המספר 6 נמצא 1 סטיית תקן מתחת לממוצע.
סטיית תקן שווה ל 3. לכן הממוצע הוא:
9 = 3 + 6

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.