פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות בשאלון 381 קיץ 2017

בדף זה הצעה לפתרון מלא לבחינת הבגרות במתמטיקה שאלון  381 קייץ 2017 מועד א.

הפתרונות לא כוללים את השאלון עצמו – אך תוכלו למצוא אותו בקלות עזרת החיפוש ” שאלון  381 קייץ 2017 מועד א”.

אם יש לכם שאלות על הפתרונות – אתם מוזמנים להשאיר אותם במערכת התגובות של האתר.

בהתחלה יופיעו התשובות הסופיות ולאחר מיכן הפתרונות המלאים.

את חומר הלימוד לשאלון זה תוכלו למצוא בשאלון 381 או בגרות במתמטיקה 3 יחידות.

תשובות סופיות

1.א)  הנקודות הן (A(-3,0)  , B(0,-3)  C(1,0.
ב) (הוכחה) שתי הנקודות מקיימות את משוואת הישר ולכן נמצאות עליו.
ג) מכוון שערך הישר גבוה יותר כאשר x=-2 אז הוא נמצא מעל הפרבולה.

2. א) אלון ילמד 26 ימים.
ב) נדב ילמד 20 יום.
ג) נדב יסיים מוקדם יותר.

3. א) כעבור 4 שנים המחיר 78,7322 שקלים.
ב) מחיר המכונית יורד ב 10%% כל שנה.
ג) מחיר המכונית כעבור 6 שנים הוא 63,773 שקלים.

4. א) SO = 28.562 ס”מ.
ב) זווית SFO שווה ל 62.3 מעלות.
ג) הגובה SE=34.868 ס”מ.
ד) תשובה: שטח משולש SAB הוא 523.022 סמ”ר.

5. א) 0.14.
ב) 0.995.

6. א) x=5 ואלו התלמידים שקיבלו 700.
ב) הציון השכיח הוא 80.
ג) 24 תלמידים נבחנו בבחינה.
ד)  החציון הוא 75.
ה) ההסתברות היא 0.5.

פתרונות מלאים לתרגילים

שאלה 1: פרבולה

א. y=x²+2x-3
נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים:
בנקודה B מתקיים x=0.
y = 0² +2*0-3= -3
בנקודות A, C מתקיים y=0
0 =x²+2x-3
x+3)(x-1)=0)
x= -3, x=1
תשובה: הנקודות הן (A(-3,0)  , B(0,-3)  C(1,0.

ב) y= -x-3. נציב את הנקודות A,B במשוואת הישר ונראה אם הן מקיימות אותו.
עבור (A(-3,0
0= 3-3
0=0   – הנקודה A נמצאת על הישר.
עבור  (B(0,-3
0-3=3-
3- = 3-    – הנקודה B נמצאת על הישר.
מצאנו כי שתי הנקודות מקיימות את משוואת הישר ולכן נמצאות עליו.

ג. נמצא את ערך הפרבולה וערך הישר כאשר x = -2.
y= -x-3
y = 2-3 =-1
y=x²+2x-3
y = (-2)² -4-3 = 4-4-3=-3
תשובה: מכוון שערך הישר גבוה יותר כאשר x=-2 אז הוא נמצא מעל הפרבולה.

• עוד בנושא פרבולה 3 יחידות.

שאלה 2: סדרה חשבונית

א. 26 = 780:30
תשובה: אלון ילמד 26 ימים.

ב. למספר המילים שנדב לומד בכול יום יש הפרש קבוע (2) ולכן זו סדרה חשבונית.
ידוע לנו כי:
a₁ = 20
d=2
s_n = 780
n = ?

נציב את הנתונים בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:
s_n = (2a₁ + (n-1)d) * n/2 – הנוסחה לסכום סדרה חשבונית.
0.5n ((2*20 + (n-1)2) = 780
0.5n (40 +2n -2) =780
0.5n (38+2n)=780
19n +n² =780
n² +19n -780 =0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים (במבחן יש לפרט) ונקבל n=20, n=ה-39
מכוון שמספר ימי הלימוד הוא מספר חיובי התשובה הנכונה היא n=20.

ג. נדב יסיים מוקדם יותר משום שהוא ילמד 20 ימים לעומת 30 ימים של אלון.

• עוד בנושא סדרה חשבונית 3 יחידות.

שאלה 3: גידול ודעיכה

א. מחיר הקנייה 120,000 שקלים.
כעבור 4 שנים המחיר 78,732 שקלים.

ב. נחשב את q על פי הנוסחה M_t=M₀q^t
הנתונים שלנו הם:
m₀ = 120,000
m_t = 78,732
t=4
q= ?
78,732 = 120,000q⁴
q⁴ = 0.651
q=0.9
תשובה: לכן מחיר המכונית יורד ב 10% כל שנה.

ג. כעבור 6 שנים הנתונים הם:
m₀ = 120,000
m_t = ?
t=6
q= 0.9
m_t = 120000 * 0.9⁶ = 120000* 0.531 = 63,773
תשובה: מחיר המכונית כעבור 6 שנים הוא 63,773 שקלים.

• עוד בנושא גידול ודעיכה 3 יחידות.

שאלה 4: טריגונומטריה במרחב

א. גובה הפירמידה SO מגיע אל נקודת מפגש אלכסוני המלבן.
EO = 0.5 BC = 20
לכן במשולש SOE
tan 55 = SO / EO
SO = tan 55 * EO = 1.428 * 20 = 28.562

ב. FO = 0.5 AB = 0.5 30=15
tan SFO = SO / FO = 28.582 / 15 =  1.904
SFO = 62.3
תשובה: זווית SFO  שווה ל 62.3 מעלות.

ג. על פי משפט פיתגורס במשולש SOE.
SE ² = SO² +OE² = 28.562² + 20²
SE² = 815.787 + 400=1215.787
SE=34.868
תשובה: הגובה SE=34.868 ס”מ.

ד. שטח משולש SAB הוא הבסיס (30=AB) כפול הגובה (SE=34.868) לחלק ב 2.
S = 34.868 * 30 / 2 = 523.022
תשובה: שטח משולש SAB הוא 523.022 סמ”ר.

• עוד בנושא טריגונומטריה במרחב 3 יחידות.

תרגיל 5: הסתברות

א) יש שני מצבים בהם “בדיוק אחד מהמתקנים מופעל”.
הראשון מופעל והשני לא מופעל.
השני מופעל והראשון לא מופעל.
עלינו לחשב את כל אחת מההסתברויות בנפרד ואז לחשב את הסכום שלהם.

ההסתברות שהראשון לא יופעל: 1-0.9 = 0.1.
ההסתברות שהשני לא יופעל היא: 1-0.95=0.05.

ההסתברות שהראשון מופעל והשני לא מופעל:
0.045 = 0.9*0.05
ההסתברות שהשני מופעל והראשון לא מופעל:
0.095 = 0.1 * 0.95
סכום ההסתברויות הוא:
0.14 = 0.045 + 0.095

ב) יש שתי דרכים לפתור את השאלה.
דרך אחת: ההסתברות המבוקשת היא “לפחות אחד מהמתקנים יפעל”.
ההסתברות המשלימה להסתברות זו היא “אף אחד מהמתקנים לא יופעל”. נחשב הסתברות זו ונחסר אותה מ 1.
ההסתברות שאף מתקן לא יופעל היא:
0.005 = 0.1 * 0.05
ההסתברות שלפחות אחד מהמתקנים יופעל:
0.995 = 1-0.005.

דרך שנייה: בכול מרחב המדגם יש 4 אפשרויות:
1.שני המתקנים יופעלו.
2-3.בדיוק אחד מהמתקנים יופעל (שתי אפשרויות) הסתברות זו היא 0.14.
4. אף מתקן לא יופעל.
את ההסתברות ל 2-3 חישבנו בסעיף א.  נוסיף לה את מאורע 1 ונקבל את הפתרון לסעיף:
0.885 = 0.9*0.995
0.995 = 0.885+0.14

תשובה: ההסתברות שלפחות אחד מהמתקנים יפעל היא 0.995.

תרגיל 6: סטטיסטיקה

א) על פי הנוסחה לחישוב ממוצע הממוצע הממוצע הוא: (מספר התלמידים) / (סכום הציונים).
נחשב את סכום הציונים של תלמידי הכיתה:
420 + 70x+ 880+90
70x + 1390
מספר תלמידי הכיתה הוא:
x+ 7+11+1=19+x
על פי הנוסחה לממוצע:
72.5 = (70x+1390) / (19+x).
70x+1390 = 72.5x + 1377.5 / -70x – 1377.5
2.5x = 12.5 /2.5
x=5
תשובה: x=5 ואלו התלמידים שקיבלו 70.

ב) תשובה: הציון השכיח הוא 80.

ג) 24 = 7+5+11+1
תשובה: 24 תלמידים נבחנו בבחינה.

ד) מכוון שיש 24 תלמידים החציון הוא הממוצע של התלמידים במקום ה 12 וה 13.
התלמיד במקום ה 12 קיבל 70.
התלמיד במקום ה 13 קיבל 80.
75 = 2 : (80+70)
תשובה: החציון הוא 75.

ה) מספר התלמידים שקיבלו 80 או יותר:
12 = 11+1.
ההסתברות לדגום תלמיד כזה היא:
0.5 = 24/12
תשובה: ההסתברות לדגום תלמיד שקיבל 80 או יותר היא 0.5.