נפח קובייה ושטח פנים

קובייה היא תיבה מיוחדת שבה אורכי כל המקצועות שווים. כלומר אורך=רוחב=גובה.
נהוג לסמן את אורך מקצוע (צלע) הקובייה באות a.

נפח הקובייה הוא a³.
שטח הפנים של הקובייה הוא 6a². (מכוון ש 6 הוא מספר הריבועים ו a² שטח של כל ריבוע).

חישוב נפח ושטח פנים של קובייה

תרגילים

נוסחאות קובייה ושני תרגילי חישוב נפח ושטח פנים
תרגילים בהם נתון הנפח / שטח פנים וצריך למצוא את אורך המקצוע או דברים אחרים

תרגילים 1-2 הם תרגילים בסיסיים לחישוב נפח ושטח פנים.
בתרגיל 2 יש מספר "תוספות" לתרגיל 1.
תרגילים 3-4 הם תרגילים "הפוכים" נותנים את הנפח או שטח הפנים וצריך למצוא את אורך מקצוע הקובייה.
תרגילים 5-6 הם תרגילי חשיבה.

תרגיל 1: חישוב נפח ושטח פנים

נתונה קובייה שאורך הצלע שלה הוא 10 ס"מ.
חשבו את נפחה ושטח הפנים שלה.

שרטוט התרגיל

פתרון

v = a³
v=10³=1000
תשובה: הנפח הוא 1000 סמ"ק.

שטח הפנים הוא:
6a²
600=10²*6
תשובה: שטח הפנים של הקובייה הוא 600 סמ"ר.

תרגיל 2: חישוב נפח ושטח פנים + תוספות

נתונה קובייה שאורך הצלע שלה היא 1 מטר.

  1. חשבו את הנפח ושטח הפנים של הקובייה.
  2. כמה קוביות של 10 ס"מ ניתן להכניס לקובייה זו.
  3. מתוך קובייה זו נחתכה תיבה שאורך המקצועות שלה 0.2  ,1 ,2 מטרים חשבו את הנפח שנותר מהקובייה המקורית.

פתרון
חישוב נפח
v = a³
V = 1³=1
תשובה: הנפח הוא 1 מ"ק.
(מ"ק – מטר קוב הן יחידות הנפח של מטרים).

חישוב שטח פנים
6a²
6=1² * 6.
תשובה: שטח הפנים הוא 6 מ"ר.

מספר הקוביות שניתן להכניס
לאורך מקצוע אחד ניתן להכניס 10 = 100:10 קוביות.
ומכוון שמדובר בנפח (עם 3 ממדים) כמות הקוביות היא:
1000 = 10 * 10 * 10
תשובה: 1000 קוביות.

הנפח שנשאר לאחר שנפלה תיבה
נחשב את נפח התיבה:
0.4 = 2*1*0.2
הנפח שנשאר = נפח התיבה – נפח הקובייה
0.6 = 0.4 – 1
תשובה: הנפח שנשאר 0.6 מ"ק.

תרגיל 3: נתון נפח, מצאו את הצלע ושטח הפנים

נתונה קובייה שהנפח שלה הוא 8 מ"ק (מטר קוב – אלו יחידות הנפח במטרים).
חשבו את אורך מקצוע הקובייה ואת שטח הפנים שלה.

פתרון

a * a  *a = a³ = 8
8 = 2 *2 * 2
לכן אורך מקצוע הקובייה הוא 2.
שטח הפנים: 24=2²*6.
תשובה: אורך מקצוע הקובייה הוא 2 מטר ושטח הפנים של הקובייה הוא 24 מ"ר (מטר רבוע).

תרגיל 4: נתון שטח פנים מצאו את אורך המקצוע והנפח

נתון כי שטח הפנים של קובייה הוא 24 סמ"ר.
מצאו את אורך מקצוע הקובייה והנפח שלה.

פתרון

6a²=24 / :6
a²=4
a=2
v = a³ =2³ = 8

אם אתם עדיין לא מסתדרים עם משוואות ניתן לפתור את השאלה באופן המילולי הבא:
שטח הפנים (24 סמ"ר) הוא השטח של 6 ריבועים שווים לכן השטח של ריבוע אחד הוא:
4 = 24:6
אם שטח ריבוע הוא 4 סמ"ר אז אורך הצלע הוא 2 ס"מ.
הנפח הוא:
8 = 2*2*2

תרגיל 5: איזו קובייה ניתן לחסום בתיבה

מה הגודל הגדול ביותר של מקצוע קובייה שניתן להכניס לתוך תיבה שגודל המקצועות שלה 10,15,20 ס"מ?

פתרון

אם לקובייה יהיה מקצוע הגדול מ 10 ס"מ אז הקובייה לא תצליח להיכנס במלואה בתוך התיבה.
לכן הגודל הגדול ביותר של של מקצוע הקובייה הוא כמו הגודל של המקצוע הקטן ביותר של התיבה: 10 ס"מ.

תרגיל 6: קשה מהרגיל

מכפילים את כל צלעות הקובייה פי 2.  פי כמה גדל נפח הקובייה החדשה ביחס לישנה? פי כמה גדל שטח הפנים של הקובייה?

הקובייה מימין נראית הרבה יותר גדולה - אבל הגדלנו את אורך המקצוע רק פי 2

הקובייה מימין נראית הרבה יותר גדולה – אבל הגדלנו את אורך המקצוע רק פי 2

פתרון
נגדיר את צלע הקובייה הקטנה כ x.
x³ – נפח הקובייה.
6x² – שטח פנים של הקובייה.

עבור הקובייה החדשה:
2x – צלע הקובייה.
2x)³ = 8x³)   – נפח הקובייה.
2x)² * 6 = 24x²)

לכן: נפח הקובייה גדל פי 8 (8x³ מול x³).
שטח הפנים גדל פי 4 (24x² מול 6x²).

פריסה של קובייה

דוגמאות לפריסה נכונה ולא נכונה. הסבר כיצד "מקפלים" את הקובייה

פריסה של קובייה מורכבת מ 6 ריבועים – כמספר פאות הקובייה.

פריסה נכונה מאפשרת לקפל בחזרה את הריבועים וליצור קובייה.
פריסה שגויה היא פריסה בה כאשר מקפלים בחזרה את הריבועים נוצרים ריבועים "שעולים" אחד על השני או שהקובייה אינה "נסגרת" מכל הצדדים.

דוגמאות לפריסה נכונה:

פריסות נכונות של קובייה (ויש נוספות)

פריסות נכונות של קובייה (ויש נוספות)

דוגמאות לפריסה לא נכונה:

דוגמאות לפריסה לא נכונה (ויש עוד)

דוגמאות לפריסה לא נכונה (ויש עוד)

 

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.