נפח קובייה ושטח פנים

לדף זה 5 חלקים.

  1. הסבר לנוסחאות קובייה.
  2. 8 תרגילים עם פתרונות מלאים ופתרונות וידאו. זה החלק החשוב של הדף.
  3. קובייה לעומת תיבה – סרטון המסביר את ההבדלים. אם יש לכם קושי עם התרגילים סרטון זה יכול לעזור.
  4. פריסה של קובייה – הסבר לפריסה נכונה ולא נכונה של קובייה.

1. נוסחאות נפח ושטח פנים

קובייה היא תיבה מיוחדת שבה אורכי כל המקצועות שווים. כלומר אורך=רוחב=גובה.
נהוג לסמן את אורך מקצוע (צלע) הקובייה באות a.

נפח הקובייה הוא a³.
שטח הפנים של הקובייה הוא 6a². (מכוון ש 6 הוא מספר הריבועים ו a² שטח של כל ריבוע).

חישוב נפח ושטח פנים של קובייה

2. תרגילים

מצורפים 8 תרגילים. לכל התרגילים פתרון כתוב ופתרון בוידאו.
פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגילים 1-2 הם תרגילים בסיסיים לחישוב נפח ושטח פנים.
תרגיל 3 דורש ידע בחישוב נפח תיבה ונפח קובייה.
תרגיל 4: כמה פעמים ניתן להכניס קובייה לתיבה?
תרגילים 5-6 הם תרגילים "הפוכים". הנפח או שטח הפנים ידועים ועלינו לחשב את אורך המקצוע.
תרגיל 7 הוא תרגיל הגיון.
בתרגיל 8 יש לכתוב ביטוי אלגברי.

תרגיל 1: חישוב נפח ושטח פנים

נתונה קובייה שאורך הצלע שלה הוא 10 ס"מ.
חשבו את נפחה ושטח הפנים שלה.

שרטוט התרגיל

פתרון

v = a³
v=10³=1000
תשובה: הנפח הוא 1000 סמ"ק.

שטח הפנים הוא:
6a²
600=10²*6
תשובה: שטח הפנים של הקובייה הוא 600 סמ"ר.

תרגיל 2: חישוב נפח ושטח פנים

נתונה קובייה שאורך הצלע שלה היא 1 מטר.
חשבו את הנפח ושטח הפנים של הקובייה.

פתרון
חישוב נפח
v = a³
V = 1³=1*1*1=1
תשובה: הנפח הוא 1 מ"ק.
(מ"ק – מטר קוב הן יחידות הנפח של מטרים).

חישוב שטח פנים
6a²
6=1² * 6.
תשובה: שטח הפנים הוא 6 מ"ר.

תרגיל 3: חיסור נפחים

מקובייה שאורך המקצוע שלה הוא 4 סנטימטר "נחתכה" תיבה שאורך המקצועות שלה הם 4,2,1.
חשבו את נפח הגוף החדש שנוצר.

שרטוט התרגיל

פתרון
עלינו לחשב את נפח הקובייה ואז לחסר את נפח התיבה "שנחתכה".
נפח הקובייה
64 = 4 * 4 * 4 = 4³

נפח התיבה
8 = 1 * 2 * 4

נפח הגוף החדש שנוצר:
56 = 8 – 64
תשובה: נפח הגוף החדש שנוצר הוא 60 סמ"ק.

תרגיל 4

(לתרגיל זה פתרון כתוב ופתרון וידאו, פתרון הוידאו מסביר טוב יותר).

  1. נתונה תיבה שהגודל המקצועות שלה הם 3,5,6 סנטימטר.
    כמה קוביות שאורך המקצוע שלהם הוא 1 סנטימטר ניתן להכניס בתוך התיבה.
  2. נתונה תיבה שאורך המקצועות שלה הוא 4,4,6 סנטימטרים. כמה קוביות שאורך המקצוע שלהם 2 סנטימטרים ניתן להכניס בתיבה זו.

שרטוט של החלק הראשון

שרטוט התרגיל

פתרון
נסתכל על המלבן שגודלו 5 * 3.
ניתן להכניס בתוכו 15 ריבועים שגודלם 1*1.
כאשר נכניס את הממד של הצלע שגודלה 6 עלינו להכפיל את ה 15 פי 6.
90 = 15 * 6
תשובה: ניתן להכניס 90 קוביות.

שרטוט של החלק השני
שרטוט התרגיל

פתרון של החלק השני
נסתכל על המלבן של 4*4.
ניתן להכניס בתוכו 4 קוביות קטנות.
כאשר נוסיף את המקצוע של 6 נצטרך להכפיל את זה פי 3.
12 = 4 * 3.
תשובה: ניתן להכניס 12 קוביות.

תרגיל 5: נתון נפח, מצאו את הצלע ושטח הפנים

נתונה קובייה שהנפח שלה הוא 8 מ"ק (מטר קוב – אלו יחידות הנפח במטרים).
חשבו את אורך מקצוע הקובייה ואת שטח הפנים שלה.

פתרון

a * a  *a = a³ = 8
8 = 2 *2 * 2
לכן אורך מקצוע הקובייה הוא 2.
שטח הפנים: 24=2²*6.
תשובה: אורך מקצוע הקובייה הוא 2 מטר ושטח הפנים של הקובייה הוא 24 מ"ר (מטר רבוע).

תרגיל 6: נתון שטח פנים מצאו את אורך המקצוע והנפח

נתון כי שטח הפנים של קובייה הוא 24 סמ"ר.
מצאו את אורך מקצוע הקובייה והנפח שלה.

פתרון

6a²=24 / :6
a²=4
a=2
v = a³ =2³ = 8

אם אתם עדיין לא מסתדרים עם משוואות ניתן לפתור את השאלה באופן המילולי הבא:
שטח הפנים (24 סמ"ר) הוא השטח של 6 ריבועים שווים לכן השטח של ריבוע אחד הוא:
4 = 24:6
אם שטח ריבוע הוא 4 סמ"ר אז אורך הצלע הוא 2 ס"מ.
הנפח הוא:
8 = 2*2*2

תרגיל 7: איזו קובייה ניתן לחסום בתיבה

מה הגודל הגדול ביותר של מקצוע קובייה שניתן להכניס לתוך תיבה שגודל המקצועות שלה 10,15,20 ס"מ?

מה גודל הקובייה הגדולה ביותר שניתן לחסום בתיבה זו?

מה גודל הקובייה הגדולה ביותר שניתן לחסום בתיבה זו?

פתרון

אם לקובייה יהיה מקצוע הגדול מ 10 ס"מ אז הקובייה לא תצליח להיכנס במלואה בתוך התיבה.
לכן הגודל הגדול ביותר של של מקצוע הקובייה הוא כמו הגודל של המקצוע הקטן ביותר של התיבה: 10 ס"מ.

תרגיל 8: (מיועד לתלמידי כיתות ז-ח).

מכפילים את כל צלעות הקובייה פי 2.
פי כמה גדל נפח הקובייה החדשה ביחס לישנה?
פי כמה גדל שטח הפנים של הקובייה?

הקובייה מימין נראית הרבה יותר גדולה - אבל הגדלנו את אורך המקצוע רק פי 2

הקובייה מימין נראית הרבה יותר גדולה – אבל הגדלנו את אורך המקצוע רק פי 2

רמז: הגדירו את צלע הקובייה המקורית כ x ובנו ביטוי אלגברי המציג את נפח ושטח הפנים של הקובייה המקורית והקובייה שהוגדלה.

פתרון
נגדיר את צלע הקובייה הקטנה כ x.
x³ – נפח הקובייה.
6x² – שטח פנים של הקובייה.

עבור הקובייה החדשה:
2x – צלע הקובייה.
2x)³ = 8x³)   – נפח הקובייה.
2x)² * 6 = 24x²)

לכן: נפח הקובייה גדל פי 8 (8x³ מול x³).
שטח הפנים גדל פי 4 (24x² מול 6x²).

סיכום השאלה בטבלה:

אורך מקצוע נפח  שטח פנים
נוסחת הקובייה a 6a²
הקובייה המקורית x 6x²
הקובייה שהוגדלה 2x 2x)³ = 2³x³ = 8x³) 2x)² * 6 = 4x²*6 = 24x²)

3. קובייה לעומת תיבה

סרטון זה נועד לעזור למי שהתקשה עם התרגילים.
אם הסתדרתם עם התרגילים כנראה שאינכם צריכים את הסרטון.

4. פריסה של קובייה

דוגמאות לפריסה נכונה ולא נכונה. הסבר כיצד "מקפלים" את הקובייה

פריסה של קובייה מורכבת מ 6 ריבועים – כמספר פאות הקובייה.

פריסה נכונה מאפשרת לקפל בחזרה את הריבועים וליצור קובייה.
פריסה שגויה היא פריסה בה כאשר מקפלים בחזרה את הריבועים נוצרים ריבועים "שעולים" אחד על השני או שהקובייה אינה "נסגרת" מכל הצדדים.

דוגמאות לפריסה נכונה:

פריסות נכונות של קובייה (ויש נוספות)

פריסות נכונות של קובייה (ויש נוספות)

דוגמאות לפריסה לא נכונה:

דוגמאות לפריסה לא נכונה (ויש עוד)

דוגמאות לפריסה לא נכונה (ויש עוד)

 

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.